THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES ENGRENAGES

6. Les engrenages sont destinés à transmettre un mouvement circulaire d’une roue à une autre roue. Le plus souvent les axes des deux roues sont parallèles entre eux ; quelquefois ils forment un angle, et dans ce dernier cas l’appareil prend le nom d 'engrenage conique. Lorsque le rayon de l'une des roues devient infini, ou que la portion de circonférence qui porte l'engrenage devient une portion de ligne droite . elle prend le nom de crémaillère.

Considérons (Fig. 6) deux roues dont les centres sont placés dans les

points C, C'. Le mouvement sc transmet généralement de la première roue à la seconde au moyen de deux portions de courbe A m, A' ni, dont l'une pousse l'autre à leur point de contact m. Soit EB la direction de la normale commune à ces courbes en m; les vitesses de rotation de chacune des roues seront entre elles réciproquement comme les distances CE, C'E', ou comme les distances CB, CB. On peut donc, en déterminant les courbes Km, K'm , de manière que, dans les diverses situations des roues, le point B tombe en des points donnés delà ligne CC', régler à volonté le rapport des vitesses respectives de ces roues.

La condition à laquelle on s’assujettit est que le rapport de ces vitesses demeure constant dans toutes les positions des roues. Il faut alors que la situation du point B ne change pas. Nous indiquerons les solutions dont les mécaniciens font principalement usage.

7. Soit CC’ (Fig. 7 ) la ligne qui joint le centre C, C' des deux roues. CB. C'B les rayons des cercles primitifs, c’est-à-dire les rayons dont le rapport détermine le rapport des vitesses de rotation respectives de ces roues. Si la courbe fixée au cercle dont le centre est C', se réduit à un point m (ce qui est le cas de l’engrenage d’une roue et d’une lanterne), la courbe A m, fixée à l’autre cercle, doit être l’épicyclotde que décrirait un point du cercle dont le rayon est C'B roulant sur le cercle dont le centre est C.

R. Si la courbe (Fig. 8), fixée au cercle dont le centre est C',est une ligne droite Cm dirigée suivant le rayon de ce cercle (ce qui est le cas ordinaire de l’engrenage de deux roues), la courbe Am, fixée à l’autre cercle, doit être l’épicycloidc que décrirait un point du cercle dont le diamètre est égal à C’ B , roulant sur le cercle dont le centre est C.

Il est convenable, dans les applications, que ce soit la roue qui porte la courbe qui conduise l’autre. Quand chacune des roues doit conduire et être conduite alternativement, il fautquc les dents de chacune portent des pointes courbes par lesquelles elles poussent , et des parties droites par lesquelles elles sont poussées. Un engrenage est d’autant plus parfait que les dents sont plus petites et plus multipliées.

9. Les constructions précédentes , employées le plus fréquemment dans les applications, ont l’inconvénient que les efforts exercés par une dent sur l’autre varient avec la position de ces dents, ce qui donne lieu à ce qu’elles s'usent inégalement, et à ce que la forme en est promptement altérée. Cet inconvénient n’aurait pas lieu si (Fig. 9), en donnant à la fois de la courbure à la partie de la dent qui conduit et à celle qui est conduite , on prenait pour la courbe de ces dents des portions Am, Km des développantes des cercles primitifs décrites respectivement par la tangente commune EE’à ces deux cercles. Dans ce cas le point de conlact m des deux courbes demeure constamment situé sur la ligne F.E’, et la normale commune aux deux

t ourbes, menée par ce point, ne cesse pas de se confondre avec celte li(jnc.

L'engrenage où l'on emploie les développantes des cercles présente aussi cet avantage, que l’on peut sans difficulté faire engrener avec la même roue d’autres roues de divers diamètres, ce qui permet de changer à volonté la distance des deux axes de rotation.

10. Une roue (Fig. 10) peut faire marcher une verge droite en poussant un point ou une ligne droite perpendiculaire à cette verge. La courbe Km, fixée à la roue , doit , dans ces deux cas , être une portion de la développante du cercle tangent h la direction de la verge. Quand la verge doit conduire la roue , il faut que celte verge porte des dents dont les parties courbes , taillées suivant une cyeloide décrite par un point du cercle dont le diamètre est CB, poussent des lignes droites dirigées suivant les rayons de la roue.

11. Les dispositions précédentes conviennent principalement au cas où l'on veut que la roue imprime h la verge droite un mouvement continu dans le même sens. On veut quelquefois, qu’après avoir poussé la droite la roue la ramènedans la même situation. Fixant au cercle, dont le centre este (Fig. 11), deux portions de courbes tracées suivant la développante de ce cercle, et placées en sens opposés, la verge B in sera poussée et tirée alternativement, suivant sa direction, à chacun des tours de la roue, et la vitesse de cette verge et celle de la roue conserveront toujours le même rapport. Cette disposition est la plus convenable ; mais il n'est pas nécessaire que la courbe fixée au cercle en soit la dévelopiwnte: il suffit que les distances B m croissent proportionnellement aux arcs correspondants AB. Et, en général, ayant fixé d’avance les espaces à parcourir par les deux points, on déterminera facilement, par une simple construction graphique, les courbes par lesquelles le mouvement doit être transmis , pour que ces deux espaces soient parcourus en même temps d’un mouvement uniforme.

12. Lorsque les axes ne sont point, parallèles , ce qui oblige à employer un engrenage conique, les mêmes considérations peuvent encore être appliquées. Les cercles primitifs ne sont pas alors situés dans un même plan , et doivent être regardés comme les bases des deux cènes droits , dont le sommet commun est au point de rencontre des deux axes, et qui se touchent suivant une arête. Le roulement de l’un de ces cônes sur l’autre, s’il en résultait un frottement suffisant, transmettrait le mouvement de rotation d’un des axes à l’autre. Les dents des deux roues sont ici formées par des portions de surface conique dont le sommet est également au point de rencontre des deux axes. Dans le cas de l’engrenage d’une roue avec une lanterne, les parties courbes des dcnLs delà roue seront formées par des portions de cône ayant pour base des portions d’épicyclotde sphérique, décrites par le cercle primitif de la lanterne roulant sur le cercle primitif de la roue. Dans le cas de l’engrenage d’une roue avec un pignon,

les portions d’épicycloïde sphérique seront décrites par un cercle d'un diamètre moitié moindre que le cercle primitif du pignon.

Si l'on veut employer un engrenage analogue au n" 9. les dents seront formées par les surfaces coniques décrites par le plan tangent commun aux cônes primitifs des deux roues, que l’on ferait rouler sur ces deux cônes de manière à les développer.

13. Considérant une vis à filets rectangulaires, qui engrène avec une roue dentée, en supposant que le plan de la roue contient l’axe de la vis, les éléments rectilignes des dents de la roue, au lieu d’étre perpendiculaires au plan de cette roue, devront être inclinés sur ce plan , et l’angle compris entre le plan et les éléments devra être égal à l'inclinaison du filet de la vis sur son axe. De plus, si l’on considère une section quelconque faite dans les dents parallèlement au plan de la roue, la courbe, suivant laquelle les dents seront coupées, devra être la développante du cercle primitif de la roue, comme dans le cas du n" 10.

TRACÉ D’US ETGRESAGX.

11. Pour une roue conduisant une lanterne. Ayant fixé les nombres de tours que la roue et la lanterne doivent faire respectivementdans le même temps, et la distance des centres, on connaît les rayons primitifs CA, C’A (Fig. 12), qui doivent être entre eux réciproquement comme ces nombres de tours. On trace les cercles primitifs. On fixe le nombre des fuseaux de la lanterne et des dents de la roue , d'après la grosseur qu’on veut leur donner. On marque sur les cercles primitifs les axes des fuseaux et les milieux des intervalles des dents, en divisant ces cercles en parties égales. On trace, à partir de chaque point de division sur la roue, des portions d’épicyclotde décrites comme on l’a dit n" 7, suivant lesquelles les dents de cette roue devraient être taillées si les fuseaux n’avaient pas de grosseur. On marque ensuite les cercles indiquant la grosseur des fuseaux, puis on trace, au dedans des épicycloldes susdites, des courbes qui leur sont parallèles, et qui en sont distantes d'une quantité égale au rayon des fuseaux. On ne doit pas laisser aux dents la forme aigue qui résulte de cette construction. On arrondit l’extrémité de ces dents, dont on pourrait retrancher à la rigueur tout ce qui dépasse le point m qui se trouve en contact avec le, fuseau n, à l’instant où le fuseau suivant, ayant dépassé la ligne des centres , commence à être conduit par la dent suivante. Il faut diminuer un peu dans l'exécution la grosseur des dents ou des fuseaux résultant de la construction, afin de laisser lin jeu nécessaire à la liberté de l’engrenage. La grandeur du jeu dépend de la précision avec laquelle l'engrenage est exécuté.

15. Pour line roue engrenant avec un pignon. Ayant tracé (Fig. 13), comme il est dit ci-dessus, les cercles primitifs de la roue et du pignon, on

divise ces cercles en autant de parties égales An, A a" qu’ils doivent avoir de dents. On partage chaque intervalle An en deux parties, l’une A b pour l'épaisseur de la dent, l’autre ba pour celle du vide des dents : ces parties sont ordinairement à peu près égales entre elles. On trace, à partir des points A, b, a, des rayons qui forment les flancs droits des dents de la roue, et des portions d'épicyclolde , décrites comme il est dit n“ 8, qui en forment les parties saillantes. On marque ensuite dans chaque intervalle A a, que doit occuper une des ailes du pignon, une partie A b' pour Je vide de l’aile (qui doit être un peu plus grand que le plein A b des dents de la roue), et une partie a'b' pour le plein de l'aile. On trace les flancs droits des ailes, et les parties saillantes formées par des épicycloldes décrites par le cercle dont CA est le diamètre roulant sur le cercle primitif du pignon. Ou arrondit la pointe des dents et des ailes, où l'on peut supprimer tout ce qui est au delà du point m pour les dents de la roue, et du point m pour les ailes du pignon, en supposant que la partie saillante de la dent A b de la roue touche en m le flanc droit de l’aile a' b' du pignon, à l'instant où le flanc droit de la dent suivante de la roue commence à toucher en m' la courbe de l’aile suivante du pignon.

16. On voit qu’en général il résultera de cette construction que, quand la dent Kb cessera de pousser l’aile a'b', l’aile suivante du pignon n’aura pas encore dépassé la ligne des centres, et que sa partie courbe sera poussée par le flanc droit de la dent suivante de la roue, ce qui est un inconvénient, parce qu’il en résulte un frottement plus dur. Pour l'éviter, il faudrait qu’à l’instant où la dent A b quitte l’aile a'b', le point m' se trouvât dans la ligne des centres CC’. On ne parvient à remplir cette condition qu’en faisant les ailes du pignon suffisamment nombreuses et minces. On s’est assuré qu’il était impossible d'y satisfaire quand le pignon avait moins de 9 ailes et la roue moins de 64 dents, et quand le pignon avait moins de 10 ailes et la roue moins de 72 dents. Quand les pignons ont un plus grand nombre d’ailes, il n’y a plus de difficulté, pourvu que le nombre des dents de la roue soit réglé en conséquence. En adoptant le mode de tracé indiqué n" 11, les dents seront toujours poussées autant avant qu’après la ligne des centres; mais on voit que cet inconvénient a également lieu dans beaucoup d'autres cas.

Il est convenable que le nombre des dcnLs de la roue et celui des ailes du pignon soient premiers entre eux, afin que les mômes dents ne se rencontrent point : elles s’usent alors plus également.

17. Pour le tracé d’un engrenage conique, le procédé le plus simple consiste à développer les surfaces coniques entre lesquelles les dents sont comprises, et à tracer l’engrenage sur ces développements, comme on le ferait pour des roues planes. Cette construction donnera des panneaux, au moyen

desquels le tracé des dents pourra s’opérer avec une exactitude suffisante sur les surfaces coniques exécutées.

TITRE IV

nr raoTTF.ME.NT et de la roideür des cordes.

18. Quand une machine marche d’un mouvement continu, les pressions ou efforts exercés par le moteur et la résistance à leurs points d’application respectifs, sont les mêmes que ceux qui se feraient mutuellement équilibre, la machine étant supposée en repos. Il est donc nécessaire de considérer les machines dans l’état d'équilibre; et l’on doit faire entrer dans cette considération les résistances auxquelles le mouvement même donne naissance, et qui doivent être regardées comme des forces qu'il s’agit de détniire. Ces résistances consistent principalement dans les frottements et dans la roideur des cordes.

19. Le frottement est la résistance qu’on doit surmonter quand on entreprend de faire glisser l’une sur l'autre les surfaces en contact de deux corps. Cette résistance , suivant la grandeur et la nature des surfaces, le temps pendant lequel elles sont demeurées en contact, et la vitesse du mouvement, présente diverses variations, dont les lois ont été étudiées par l’expérience. On indique ici les résultats les plus remarquables qui ont été obtenus par Coulomb (Académie des sciences, savants étrangers, tome X).

« 1" Le frottement des bois glissant à sec sur les bois oppose, après un « temps suffisant de repos, une résistance proportionnelle aux pressions. « Cette résistance augmente sensiblement dans les premiers instants du « repos, mais après quelques minutes elle parvient ordinairement à son « maximum ou à sa limite.

« 2° Lorsque les bois glissent à sec sur les bois avec une vitesse quelcon- « que, le frottement est encore proportionnel aux pressions: mais sonin- « tensité est beaucoup moindre que celle que l’on éprouve en détachant les « surfaces après quelques minutes de repos : on trouve, par exemple, que « la force nécessaire pour faire glisser et détacher deux surfaces de chêne « après quelques minutes de repos est à celle nécessaire pour vaincre le « frottement lorsque les surfaces ont déjà un degré de vitesse quelconque,

« comme 9,5 est à 2,2.

« 5" Le frottement des métaux glissant sur. les métaux sans enduit est ‘I également proportionnel aux pressions ; mais son intensité est la même, soit

« qu'on veuille détacher les surfaces après un temps quelconque de repos, « soit qu’on veuille entretenir une vitesse uniforme quelconque.

>■ 4“ Les surfaces hétérogènes, telles que les bois et les métaux, glissant « l’une sur l’autre sans enduit, donnent pour leurs frottements des résultats « très-différents de ceux qui précèdent; car l’intensité de leur frottement, ■■ relativement au temps de repos, varie lentement, et ne parvient à la limite qu’après quatre ou cinq jours, et quelquefois davantage ; au lieu que, dans « les métaux, elle y parvient dans un instant, et dans les bois, en quelques « minutes. Cet accroissement est même si lent, que la résistance du frotte- « ment, dans les vitesses insensibles, est presque la même que celle qu’on sur- « monte en ébranlant ou détachant les surfaces après quelques secondes de <> repos. Ce n'est pas encore tout. Dans les bois glissant sans enduit sur les » bois, et dans les métaux glissant sur les métaux, la vitesse n’influe que très- « peu sur le frottement; mais ici le frottement crott très-sensiblement à « mesure que l’on augmente les vitesses ; en sorte que le frottement varie « à très-peu près suivant une progression arithmétique, lorsque les vitesses croissent suivant une progression géométrique. »

20. Il est permis, dans les applications aux machines qui peuvent sc présenter, de considérer la résistance du frottement comme étant composée de deux parties : 1° une partie proportionnelle à la pression, et qui est le frottement proprement dit; 2° une partie proportionnelle à l’étendue des surfaces en contact, et qu’on regarde comme provenant de l 'adhérence. Les valeurs de ces deux parties peuvent être considérées, pour les divers corps, comme ne variant pas sensiblement avec la vitesse du mouvement; mais elles ne sont pas les mêmes en général lorsqu’il s’agit de détacher des surfaces qui ont été en contact pendant quelque temps, ou’de continuer un mouvement commencé. On doit aussi distinguer le frottement des surfaces planes de celui des axes dans les mouvements de rotation. Les tableaux suivants contiennent, sur ces divers objets, les principaux résultats donnés par l’observation.

LEÇONS SDK L'APPLICATION

21. Frottement des surfaces planes qui ont demeuré en contact assez longtemps pour que la résistance ait atteint son maximum.

RAPPORT

INDICATION

du

FROTTERENT

OBSERVATIONS