N I NU

On exprimera ensuite l’équilibre du treuil en posant l’équation :

ijui donnera la valeur de P , après que l’on aura remplacé IV et N’ par les expressions précédentes.

.37. Ces formules se simplifient, quand les rayons P et p' des deux tourillons sont égaux. On peut alors se dispenser, pour évaluer l’effet du frottement , de calculer séparément les pressions N et N'. La somme de ces pressions est :

N + N' = t/(M+0)' + 3(M -4-Q) Pco«. X-4-P*.

On a donc pour l'équation d’équilibre :

rfP

P. R = Q.r-+-/'f J/ ( M -t- 0)’ 2 (M -4- Q) P co». X -4- P1 -i (o -4-ftQ) .r.

58. On aura le cas où la force P serait verticale, en supposant cos. 1, ce qui donne :

rfp

39. Les formules précédentes conviendront au cas d’une poulie, en supposant r=R.

On abrège beaucoup la résolution des équations des n“* 36 et 37 en mettant pour P sous le radical du second nombre une première valeur approchée, calculée en négligeant l'effet du frottement, qui est :

Oh (oh-60)

Si la valeur P trouvée de cette manière ne parait pas suffisamment exacte, on peut en calculer une autre, en mettant la première sous le radical.

40. Les formules précédentes, en y faisant M = o peuvent s’appliquerai) cas d’un cabestan dont l’axe est vertical, la corde exerçant l'effort Q étant dirigée horizontalement. Dans ce cas P représente ordinairement la somme de plusieurs puissances, dont les points d'application doivent être distribués symétriquement autour de l’axe de rotation. Il résulte de cette disposition, que ces puissances n’exercent aucun effort sur les points d’appui de cet axe, et qu’on doit faire P=o dans le terme affecté de f'. On doit remarquer enfin que le poids M du treuil produirait sur le fond de la crapaudinc qui supporterait le pivot de ce treuil , un frottement que l’on devrait faire entrer dans l'équation d'équilibre, conformément au n°55.

41. Les considérations précédentes conduisent aux formules suivantes pour le calcul des palans ou moufles. Supposant les poulies égales et les cordons parallèles (Fig. 19), nommant

T0, T,, T,, T,.... T„ les tensions des cordons;

P la puissance qui soulève le poids, égale à la tension du dernier cordon;

Q le poids soulevé, égal à la somme des tensions des cordons passant sur les poulies;

r le rayon des poulies;

p celui des trous des poulies ;

d le diamètre de la corde ;

P, a, b , ,,, ayant les mêmes significations que ci-dessus; on aura d'abord, par le u° 38, en négligeant le poids des poulies,

T,r = TürH-/v p(T0h-T,)h (a-f-èT0)r,

d'où

ou . faisant pour abréger, * = , S

r-Pt *r

on a également

T g “ a -4- 6 T j <x ( 1 ~4* 6 -4-ês) -4- 6® To,

etc

Tb - a -4- 6 T# j “ s(1 -4- 6-4" 6* -4-, ...... -4-6 ) -4- 6 Tq ,

P = a -4- 6 = <x(1-+-ë-4-ë*-4- -4-6 )-4- 6n "4~l Tp ;

équation dans laquelle n représente le nombre de cordons qui aboutissent à la chape mobile.

42. Lorsque le poids soulevé est supporté par une chaîne (Fig. 20), la flexion de la chaîne fait naître un frottement dont l’effet peut être évalué comme il suit : Considérant une chaîne à mailles plates, réunies par des axes ; on remarque qu’il s’exerce en a et b sur ces axes des efforts P et Q qui fonl naître des frottements exprimés par/' P et f' Q. Ces frottements sont des forces agissant tangentiellemenl à la surface concave du trou du chaînon . en sens contraire du mouvement de la poulie. Nommant R le rayon de la poulie , r le rayon du trou du chaînon , remarquant que quand la chaîne se

plie en b et se redresse en a, les chaînons décrivent en tournant sur leurs axes des angles égaux à ceux que décrit la poulie sur le sien , on aura par le principe des vitesses virtuelles, pour exprimer l’équilibre de la poulie (abstraction faite du frottement sur l'axe de cette poulie).

d'où

P. R = Q . R-4 -r (Pr-t-Qr),

OU

FLOTTEMENT DES ENGRENAGES [l].

43. Considérant une roue dont le centre est C (Fig. 21 ) , conduisant une autre roue dont le centre est C', au moyeu de la courbe n ni qui pousse la courbe n' m, il s’agit de connaître, pour une situation quelconque des courbes nm, n'm, de quelle quantité l’on doit augmenter la force qui est appliquée à la première roue, pour surmonter le frottement qui a lieu de la part de l’une de ces courbes sur l’autre.

Am et BmB' étant respectivement, pour la position des courbes nm et ’ wm que l’on considère, la normale et la tangente commune de ces deux courbes à leur point de contact m, on nommera

R, R' les distances CA, C'A ;

? l’angle m A C' formé par la normale m A avec la ligne des centres ;

p, p' les distances CB, C'B';

n la distance A ni ;

P la force appliquée à la roue dont le centre est C pour la faire tourner, et qui est supposée agir à la distance R du centre C ;

/"le rapport du frottement à la pression.

En remarquant que CD = R sin. ? , et que la pression exercée de la part d’une courbe sur l’autre en m , est déterminée par la condition de faire équilibre à P autour du centre C , on aura pour la valeur de cette pres- P fP

sion ; et pour la résistance provenant du frottement qui en résulte, .

sia. f sin. 9

Cette résistance est dirigée suivant la ligne B B', et son effet est de s’opposer au mouvement de la roue dont le centre est C avec le bras de levier CB, et au mouvement de la roue dont le centre est C' avec le bras de levier C' B'. Par conséquent, à raison de l’obstacle opposé au mouvement de la roue dont

[i] La théorie du frottement des engrenages , exposée ci-dessous , est la même , au fond , que celle due à M. Poncelet, qui, le premier, l’a donnée dans les feuilles lithographiées de son cours de mécanique, professé à l’École d’application de l’artiljerie et du génie à Metz.

le centre cslC', la force P doit être augmentée de la quantité— — . — ;

lin. f R’

et à raison de l’obstacle opposé au mouvement de la roue dont le centre

est C , la même force doit être augmentée de la quantité . — . On aura

lin. ? R

donc

lin. 9 \ R R ' /

pour la quantité cherchée dont il faut augmenter la force P, afin de surmonter le frottement de l’engrenage.

Comme on a p = n R cos. ?, p’=n — R' cos. ç, l’expression précédente équivaut à

fP (R + R') n lin. f RR'

44. Si la tangente B B' passait entre les centres C, C' des deux roues . (Fig. 22), la résistance provenant du frottement s’opposerait toujours au

mouvement de la roue dont le centre est C, mais elle favoriserait le mouvement de la roue dont le centre est C'. La quantité dont il faudrait augmenter la force P serait alors

fP fp p' \

sin. <p \ R R ' /

et comme l’on aurait p = n -+- R cos. ? , p’ = R' cos. <p — n, cette quantité serait encore exprimée par

sin. f RR'

Cette formule et celle du n" 43 conviennent également au cas où les courbes se poussent avant la ligne des centres.

45. On peut encore parvenir aux mêmes résultats de la manière suivante. La résistance due au frottement peut être considérée comme équivalente à la force d’un ressort qui unirait les points des deux courbes qui sont en contact. Or, en formant les moments virtuels des forces du système , dont la somme doit être nulle lorsque ce système est en équilibre , le moment virtuel de la force de ce ressort sera égal à la force multipliée par la variation de la longueur du ressort. Donc ici le moment virtuel du frottement est le produit de la résistance qui est due au frottement multiplié par la quantité dont les points des deux courbes qui sont en contact s’écartent l’un de l’autre lorsque le système prend un mouvement virtuel infiniment petit.

Cela posé soit n la force qu’il faut ajouter à P pour surmonter l’action du frottement : considérons le cas du n° 43 , et supposons que la roue dont le

tes

centre est C décrive un angle infiniment petit » ; le moment virtuel de O sera II. R o. Mais il est aisé de voir que le point m, lorsque cet angle sera décrit, se transportera à gauche sur la courbe mn d’une quantité que l’on trouvera en décrivant l’angle » avec le rayon CB ; d’un autre côté, la roue

Ru

dont le centre est C' décrira en même temps l’angle — ; et on verra égale-

ment que le point m se transportera à droite sur la courbe m n' d’une quan-

Ru

tité que l’on trouvera en décrivant l’angle — avec le rayon C'B'. Donc les

deux points qui étaient en contact en m se sont écartés l’un de l’autre à une

* //.Ru

distance/;» h , et par conséquent, le moment virtuel de la résistance

fP f p'. R» \

due au frottement sera — — ( . On trouvera donc lien posant

sin.çV R' /

l’équation

Il it « =

fin.

d’où

*in.v\R R'/

comme ci- dessus.

En considérant maintenant le cas du n° 44 , on voit que les points appartenant aux deux courbes mn, mn' qui étaient d’abord en rn, se transpor-

tent tous les deux à gauche des quantités/» «et , en sorte que l’écart

de ces deux points est ici exprimé par la différence de ces deux quantités , ce qui donne, comme dans ce numéro,

fin. 9 \ R R' /

46. En supposant aux courbes mn,mn' une figure quelconque, les quantités R, R', n, ?, varieront avec les positions des dents. L’effet du frottement variera également. Il convient, pour établir les conditions d’équilibre d’une machine d’estimer cet effet d’après la moyenne des valeurs que prend la quantité précédente dans toutes les positions des deux dents, depuis l’instant où elles commencent à se pousser, jusqu’à celui où elles se quittent.

47. Dans tous les engrenages assujettis à la condition que le mouvement de l’une des roues étant uniforme , celui de l’autre le soit également , et dont il a été question dans le titre III, les quantités R, R' seront constantes pour toutes les positions des dents; n et « seront seuls variables. Si les dents étaient très-serrées, ? différerait très-peu d’un angle droit, et nommant .v

l'angle compris entre C'A et le rayon C' m , n différerait trés-peu de R'r. L’expression du n° 44 différerait donc très-peu de

AP x.

Nommant x, et x' les angles décrits par la roue dont le centre est C', depuis l’instant où les roues se prennent avant la ligne des centres, jusqu’à ce que le point de contact m se trouve dans cette ligne, et depuis ce dernier instant jusqu'à celui où les dents se quittent après la ligne des centres, on aura pour la valeur moyenne de l’expression précédente dans cet intervalle :

fP. . , OU A P .

R 2 (JT, -*-*') R V 2 x, + x’

ou, en négligeant le deuxième terme compris dans la parenthèse,

R -v- R' xt 4- x!

fP- ■ ,

formule approchée, dans laquelle xi-*-x’ est l’angle occupé par une dent sur la roue dont le centre est C'. L’espace occupé par une dent sur l’une et l’autre roue est donc R' (.ri ■+■ .r'). en nommant a cet espace, l’expression de la résistance du frottement devient donc

AP

Nommant ni le nombre des dents de la roue dont le rentre est C, on a SR R

La formule précédente peut donc encore s'écrire

Il (R 4- R')

AP

Ces expressions pourront dans tous les cas être employées dans les applications, avec d’autant moins d’erreur que les dents seront moins grosses.

48. Si l’on veut maintenant appliquer exactement à chaque espèce d’engrenage les formules des n01 43 et 44, en commençant par l’engrenage d’une roue avec une lanterne (Fig. 23), tracé conformément aux n°* 7 et 14, on nommera x l’angle compris en AC' et le rayon mené au centre 0 du fuseau, r le rayon Ont du fuseau, et remarquant que l’angle A«0 est la moitié de l’angle x, et que l’angle AO a est droit, on aura

gjn. ? = co». x, A m OU n = 2 R' tin. { x— r.

Mettant ces valeurs dans la formule du n“ 44, elle devient

AP . ( -