COS. ■; X

/ — = 2 1<^. Ung. (ï }*), et / -

«/ ^ COS. Ï X Je

ix Ung. (jn-jj)

— = 2 log.

tang.

Par conséquent la valeur moyenne de la quantité précédente est

2 R' . 2 log. -

— r. 2 log. ■

fV.

fi-

Gette formule représente la quantité dont il faut augmenter moyennement la force P appliquée à la circonférence de la roue dont le centre est C, pour la rendre capable de surmonter la résistance provenant du frottement des dents.

Si l’on développe en série les quantités comprises sous les signes log., en se bornant aux premiers termes, eu égard à la petitesse des angles x' et—, la formule précédente se réduit à

résultat qui s'accorde avec celui du nn -57.

49. En considérant l'engrenage d’une roue avec un pignon ( Fig. 24 ), tracé conformément aux n»’ 8 et 15, x désignant l’angle formé avec la ligne des centres par le rayon Cm, qui est ici la courbe conduite, on aura Am on n= R' sin.#, et sin. ? = cos. x. Au moyen de ces valeurs, la formule du n" 44 devient

R -H R' «in. z

expression dont il faut prendre la valeur moyenne depuis l’instant où le point de contact m se trouve en A dans la ligne des centres, jusqu’à l’instant où la courbe nm cesse de pousser le rayon C'm. Nommant x' la valeur de l’angle x à ce dernier instant, et remarquant que

/■ sin. z /'x' sin. x

dx. = — log. cos. x, et / dx. = — log. cos. x",

cos. x ./ O COS. X

on aura pour cette valeur moyenne

R' -S- R log. cos. x'

Si les dents étaient engagées avant la ligne des centres (Fig. 25), ce serait alors le rayon Cm qui pousserait la courbe épicycloldale m »'. Nommant u l’angle ACm, on aurait sin. ? = cos. m et A m Ou n = R sin. v. La formule du n" 44 deviendrait

R -4- R' sin. «

R' cos. u

Mais nommant x l’angle A C'm', on aura Rw = R.r, et l’expression précédente pourra s’écrire

sin.

cos.

En désignant par x, la valeur de a1 à l’instant où le rayon C m commence à pousser la courbe mn', on aura pour la valeur moyenne de cette dernière expression.

log. cos.

La valeur moyenne de la quantité dont il faut augmenter la force P pour surmonter le frottement depuis l’instant où les dents s’engagent avant la

ligne des centres, jusqu’à l'instant où elles se quittent après cette ligne, sera

— fP (R -t- R') R

Ion. cos. x' H — — lo«. cos.

Si l'on développe en série les expressions précédentes, en se bornant aux premiers termes, on trouvera, comme ci-dessus, des résultats identiques avec ceux du n° 47.

50. Enfin pour les engrenages où les dents seraient tracées suivant les développantes de deux cercles (Fig. 26), l’angle <? est constant. Nommant a: l'angle décrit par le point ri autour du point C’, depuis l'instant où le point de contact m était en A dans la ligne des centres, jusqu’à l'instant où ce point est parvenu dans sa position actuelle ; remarquant que le rayon C' D' du cercle de la roue conduite èst égal à R' sin. ?. on aura x R' sin. pour la longueur absolue de l’arc décrit par le point ri depuis L’instant où le point de contact m était en A dans la ligne des centres; et par conséquent A m ou n = x R’ sin ?. La formule du n“ 44 devient donc ici

et la valeur moyenne de cette expression, en appelant x' l'angle décrit par le point w depuis l’instant où le point m était dans la ligne des centres, jusqu’à celui où les dents cessent de se pousser, est

Les formules approchées, données n° 47, deviennent exactes dans le cas dont il s’agit.

En nommant a l’espace occupé par une dent sur la roue dont le centre est C', la résistance moyenne provenant du frottement, que l’on regarde toujours comme une force agissant à l’extrémité du rayon R de la roue dont le centre est C, est éxprimé par

51. On aura le cas de l’engrenage d’une roue avec une crémaillère, ou celui d’une camme avec le mantonnet d’un pilon, en supposant le rayon R' infini; ce qui donne pour la résistance moyenne

Dans le cas du pilon, a représente la hauteur don! ce pilon est soulevé.