FROTTEMENT UE L'ENGRENAGE DE LA VIS SANS FIN ( FIG

60. Considérons une vis à filet rectangulaire conduisant une roue dentée. Soit cc l’axe de la vis supposé vertical , c' le centre de la roue , dont le plan contient l’axe de la vis. On peut faire abstraction de l’épaisseur de la roue , et ne considérer qu’une section transversale faite au milieu de cette épaisseur. La section ni ri de la courbe des dents, conformément au n" 13, sera une portion de la développante du cercle primitif de la roue dont le rayon est AC', et cette courbe sera conduite par les éléments mn du filet de la vis, qui sont des droites horizontales. AC est le rayon primitif de la vis et le point de contact ni, par lequel le mouvement sc transmet, demeure toujours à une distance de l’axe de la vis égale à ce rayon. Nous désignerons par R, R' les rayons primitifs A Cet AC', par a l’angle que forme l’hélice décrite par le point ni avec un plan horizontal, et par n la distance variable Km.

La force horizontale P agissant de manière à faire tourner la vis à la distance R de l’axe de cette vis, il s’agit de trouver de combien il faut augmenter cette force pour tenir compte de la résistance provenant du frottement de l’engrenage. Pour cela, on remarquera que la pression qui s’établit au point de contact m entre le filet de la vis et la dent de la roue est une force normale à la surface du filet, dont la composante horizontale doit être égale

à P : la valeur de cette pression est donc . La composante verticale de

sin. a P

cette même pression est , et rette dernière foree agit dans la diree-

lang. a

lion m A pour faire tourner la roue.

En désignant toujours par f le rapport du frottement à la pression, la

on aura donc

F =/l |/ 1 -+- lang. 1 a -F- tang. 1 G.

Éliminant > entre les deux premières équations, il vient :

Le coefficient p représente une force dirigée suivant le rayon r, et détruite par la rigidité de la vis. Sa valeur est

0 tang. 6

1 — /'sin. a Yé* h - tans. *•« •+- lang. 1 S

[lang. a -t-/ cos. a.

1 — /sin. a

y' I -t- lang.1 a -i- tang

l/'l ■+• tang.’ a -i- tang

résistance provenant du frottement est donc ici : cette résistance est

dirigée dans le plan tangent à la surface hélicoidc mené par le point de contact m. Considérons d’abord le point m comme appartenant à la vis, et décrivant l hélice du filet, le frottement opposera au mouvement de ce point f P ’

la résistance - — , dirigée suivant la tangente à cette hélice, et dont la corn-

posante horizontale- . cos. «, ou , tend à faire tourner la vis en

s,n- ® tang. a

sens contraire de l’action de la force P. Donc il faut en premier lieu, pour détruire cet effet, ajouter à P la quantité--. Considérons ensuite le

tang. a

point m comme appartenant à la roue : le frottement opposera au mouve-

ment de ce point la résistance , dirigée suivant la tangente horizon-

sio. a

taie mn à la courbe de la dent, et qui tend à faire tourner la roue en sens contraire de son mouvement, en agissantà la distance Am, ou m, du centre

de cette roue, en sorte que cette résistance équivaut à une force — — — qui

8in.ii R'

agirait à la distance AC', ou R', de ce même centre. Mais pour faire équili- ■ . . fP «

ore a une force qui agirait à la circonférence du cercle primitif de

sin.a R' r

la roue, il faudrait appliquer à l’extrémité du rayon primitif de la vis une

t ■ , - fp " /’P »

force égalé a - — tang. a, ou . Donc il faut eu second lieu ajou-

sin.a R7 cos. a R' *

ter à P cette dernière quantité pour tenir compte de l’obstacle que le frottement oppose au mouvement de la roue. On a donc

\ tang. a cos. a R'/

pour l’expression de la résistance due au frottement de l’engrenage, celte résistance étant considérée comme une force agissant, aussi bien que la force P, à l’extrémité du rayon primitif de la vis.

61. On peut encore, d’après la considération employée n° 15, parvenir au même résultat de la manière suivante. Soit n la force ‘appliquée à la distance R de l’axe de la vis, qui détruit la résistance due au frottement de l’engrenage , et supposons que la vis tourne d’un angle infiniment petit » : le moment virtuel de la force n sera n. R». Il est visible d’ailleurs qu’en même

temps que la vis décrit l angle la roue décrit sur son axe l’angle .

Le moment virtuel de la résistance due au frottement se prendra ici en mttl-

rv

tipliant cette résistance, qui est — — ,

sin. a

1" Par l'espace parcouru par le point m dans le sens de l’hélice lorsque ce point se déplace horizontalement de la quantité R », espace qui est R» cos.

2” Par l’espace parcouru par le même point dans le sens de la courbe mn

Rutanft. a Rtolang. a

lorsque la roue tourne de l’angle espace qui est n On

aura donc pour l’équation qui doit donner n ,

/ P / Ru tang. a \

Il . R » = (Ru. cos. a -f-f* J ,

sin. a \ R' /

qui s’accorde avec le résultat précédent.

62. L’expression de la résistance due au frottement qui vient d’être trouvée, varie avec la quantité n. On doit employer dans les applications la valeur moyenne de cette résistance , qui sera évidemment

tang. a cos. a 3 R’

a désignant l’espace occupé par une dent sur le cercle primitif de la roue [il.

[i] La vis sans fin s'emploie d'ordinaire lorsqu'on veut transmettre un mouvement trustent et vaincre une résistance considérable. Celte résistance, en agissant par l'intermédiaire des organes de la machine, produit à la circonférence de la roue C' une pression 0 dirigée suivant Aui, parallèlement à l’axe de la vis , et que nous supposerons constante. La force motrice appliquée sur l'arbre de la vis , au moyen d’une manivelle ou autrement , produit A l'extrémité du rayon C A une pression P perpendiculaire A Q. 11 s'agit de trouver l’équalion d'équilibre entre les forces P cl Q , en tenant compte du frottement qui s’exerce au point m le long du filet hélicolde de la vis et des dents de la roue.

Si la vis tourne d'un angle infiniment petit </?, le mouvement virtuel de la force Pest PR dtp; celui de la force Q est — Q. Rdç. tang a; enfin, celui du frottement F est — F ils, en appelant ils la distance dont se sont écartés les deux points de la vis et de la roue, qui se trouvaient d'abord en contact au point m. Ainsi, l'équation d’équilibre sera :

P. Rdf — Q tang. x. R dtp — F ds = o.

La pression normale A la surface hélicolde est P sin. a •+- 0 cos. a, ce qui donne :

F = /"(P sin. a -t- 0 cos. a).

Si l’on appelle dç' l’angle infiniment petit décrit par la roue, pendant que la vis tourne de d?,on voit que ds est lliypolhénuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont l'élémentde Rpç

l’hélice et l'arc Hitf' décrit par l’extrémité de A m = n. Ainsi,

cos. a

R 2 d vJ cos.1 a

ti2 d ç'2 .

63. Quaiul on voudra établir les conditions de l’équilibre de cet appareil, et connaître les frottements qui auront lieu sur les tourillons des axes de la vis et de la roue, il faudra remarquer que, par l'effet de la pression normale

Soient m le nombre des dents de la roue, et 9' l’angle A C' n', on aura d’abord n = R' 9', ptiis(|ue la courbe de la dent est la développante du cercle dont R' est le rayon; ensuite, les

vitesses angulaires de la vis et de la mue étant entre elles dans le rapport de 2u à — , on

aura <1? = — m 1/9' et par conséquent

Rdf / R' 2 cos.2 a

du— I H 9'2,

cos. a V ni2 R2

2xR'

ou, en observant que = 2 * R tang. a

d * = \/ 1 -t- 9' 1 . sin.2 0 ,

cos. CL

substituant la valeur de Fr/a dans l’équation d’équilibre, on trouve r tang. a -t- / J/ 1 -t- ç'2 sin.2 a

r tang. a -t- / y I + ç^ sin.2 <1 ~t

L I —/"tang. a(/ I +y'* sin.2 a J

On voit que P varie avec l’angle 9', qui varie lui-même , dans chaque tour de la vis , depuis

— jusqu'à zéro. La plus grande valeurde P répond à 9' = — , et la plus petite à 9' = 0.

*/t fit

Dans les cas ordinaires des applications, le terme 9'2 sin2 a sera une très-petite quantité, égale à peine à un ou deux millièmes, et la différence entre les valeurs extrêmes de P sera tout à fait négligeable, en sorte qu’on pourra poser

tang. a /

-/■tang.

En général, la valeur moyenne de la force P s’obtiendra en divisant le travail de celte force /P R d 9, par le chemin parcouru 2* R, ce qui donne ■

1 S* 2 x Sx,/ O

Or, on a , en se rappelant que </9 = — mdip’

rtang-at-,-]

L 1 — /'tang. a J

Pd 9.

[f\S 1 -t- 9'2 sin.Ja -t- tang. a -1

/ tang. a|/l •+- 9'28ln.2a — 1 J qui sc transforme, en opérant la division, en

f Tcos. a -t 1.

L / sin. a j/ I -t-9'2 sin.2 a — cos. a J

sin. a

et du frottement qui s’établissent au point de contact m entre le filet de la vis et la dent de la roue, la vis se trouve sollicitée en ce point par la force verti- P fv

cale /T, agissant de bas en haut; par la force horizontale Ph ,

le second membre peut se réduire en fonction rationnelle d'une variable x, en posant

V/ 1 -+-9' 2 sin.2 a = 9' sin. a-4-ar,

et s'intégrer par les méthodes connues. Mais afin d'éviter la longueur des calculs, il est préférable ici de faire usage du théorème de M. Poncelet pour transformer en fonction rationnelle les radicaux de la forme Tjs et, vu la petitesse de 9' sin. a, on peut poser

l/l -f-9'2 sin.2 a = 1 -\-q 9' sin. a ,

expression qui sera exacte à moins de -i- près, en prenant q = «J-. On aura ainsi : d 9' 1

/■»in.a( I -t -q 9' sin. a) — cos.a f q sin.1 a

log. [/'sin.afl -t-q 9' sin. a)— cos.a).

intégrale qu’il faut prendre depuis 9' = — jusqu’à 9' = 0 , ce qui donne

f q sin.1 a

log.

, a — ftin.

cos. a—f sin. a