Sin. a I m
ou, en opérant la division :
log.
f q sin.1 a
2 ic
f q sin.1 a
s. a — /'sin. a ^1 -I q sin. a ^ J
Dans les cas ordinaires des applications, où le second terme sous le signe log. est très-petit devant l’unité, on peut remplacer le logarithme par
Sic
f q . — sin.1 a tn
( Sic
cds. a — f sin- a ( H q sin. a
et l'on aura définitivement, toute réduction faite :
1 /'St
TJ o1
cos. a— ^sin
pour l’expression de la valeur moyenne de la force P.
/ Sic
. a-H/cos. a [1 -4- — (/sin. a
/ Sa
in. a [ 1 -t q sin. a
dirigée en sens contraire du mouvement du point»! ; et par une autre force fP
horizontale , dirigée dans le sens nm. On remarquera également que
sin. a
la roue est sollicitée au point mpar la force verticale -*-/T agissant de
tarif?, a
haut en bas; par la force horizontale P-*- dirigée perpendiculairement
tang. a
au plan de cette roue, ou parallèlement à son axe; et enfin par la force liori-
rv
zontale , comprise dans ce même plan, et agissant dans le sens mn. Ces
sin. a
actions devront être composées avec les forces appliquées à la circonférence de la vis et de la roue, pour obtenir les efforts exercés sur les tourillons : les résultats de cette composition différeront suivant la position des forces dont il s’agit. On voit d’ailleurs que les axes de la vis et de la roue supportent nécessairement ici des efforts dirigés parallèlement à ces axes.
TITRE VI
ÉVALUATION NUMÉRIQUE DE I-’aCTION DES MOTEURS, ET DU TRAVAIL EFFECTUÉ PAR LES MACHINES.
64. Les opérations ou fabrications que l’on exécute au moyen des machines sont très-variées. Il est nécessaire qu’on puisse avoir une idée exacte du travail que chacune exige, et qu’on soit à même de rapporter à une unité commune la quantité de travail effectuée par diverses machines employées à des usages différents. Un examen attentif de celte matière a appris que le genre de travail qu'il était le plus convenable d'adopter pour terme de comparaison était l’élévation verticale des corps pesants.
Quelle que soit la nature d’une machine, le travail qu’elle exécute pourrait toujours être facilement transformé en l’élévation d’un poids. On y parviendrait en supprimant l’effort de la résistance, et attachant au point d’application et suivant la direction de cet effort une corde passant sur une poulie de renvoi, à l’extrémité de laquelle on suspendrait un poids égal à l’effort que la résistance exerçait. L’élévation de ce poids remplacerait le travail de la machine. L'action que le moteur exerce est de la même nature que celle de la résistance. Cette action consiste également dans une pression exercée contre un point qui se meut. Elle peut être remplacée par la descente d’un poids
égal à l'effort que le moteur produisait , agissant suivant une corde tendue dans la direction de cet effort.
Le travail à effectuer pour élever verticalement un corps pesant est d'autant plus grand que le poids du corps et la hauteur à laquelle on l’élève sont plus grands. Ce travail est proportionnel au produit de ces deux quantités. Désignant le poids par Q, et la hauteur par q, l'expression numérique de ce travail est le produit Q -7. Il représente un nombre d'unités dont chacune est le travail à faire pour élever l’unité de poids à l’unité de hauteur.
65. D’après ce qui précède, considérant une machine en mouvement, et nommant P . Q , les efforts , supposés constants, exercés respectivement aux points d'application du moteur et de la résistance;
p, q, les espaces parcourus respectivement dans un temps donné par chacun de ces points, dans le sens des efforts P et Q; les quantités de travail effectuées par le moteur et par la résistance dans le même temps seront exprimées respectivement par les produits
t>p et 09-
Si les efforts P, Q ne sont point constants, on les considérera comme données en fonction des espaces p, q parcourus dans la direction de ces efforts. Les quantités de travail effectuées par le moteur et la résistance seront alors exprimées par les intégrales
fPtlp et fQdq,
qui doivent être prises entre des limites correspondant aux instants oh commence et où finit le travail. ,
Les expressions précédentes représentent évidemment les quantités d action exercées aux points d’application du moteur et de la résistance. Ainsi une quantité d’action, c’est-à-dire le produit d’un poids par une ligne, est l’évaluation numérique d'un travail fait. C’est en unités de cette espèce que s’expriment les quantités de travail exigées par les fabrications ou opérations mécaniques auxquelles donnent lieu les usages cl les besoins de la société.
TITRE VIL
nu MOUVEMENT DES MACHINES DANS I.E CAS OU I.A VITESSE DES PARTIES EST CONSTANTE. OU NK VARIE QUE PAR DEGRÉS «SENSIBLES.
66. On considérera d'abord une machine dans laquelle, lorsque le mouvement est réglé, les efforts exercés aux points d’application du moteur et de la résistance sont constants. En observant une semblable machine, lorsqu elle
commence à se mouvoir en partant du repos, on remarque qu'il arrive toujours que l'effort du moteur est plus Grand , et celui de la résistance plus petit qu’ils ne seront quand la machine travaillera. Le mouvement se produit, et la vitesse alimente progressivement, comme pour un corps soumis à l’action de deux forces accélératrices agissant en sens contraire , dont l'une l’emporte sur l'autre. A mesure que la vitesse augmente, l’effort de la résistance croit, celui du moteur diminue; et il arrive bientôt un terme où ees efforts ont respectivement les valeurs qu’il faudrait leur donner pour mettre la machine en équilibre. Désignons, comme dans l’article précédent, par P et Q les efforts qui sont exercés respectivement aux points d'application du moteur de la résistance; par p et q les espaces parcourus par ces points à la lin d’un temps donné, dans la direction de ces efforts. Considérons de plus les résistances au mouvement qui résultent de la constitution de la machine, telles que les frottements , la raideur des cordes, la résistance des milieux, etc. ; et nommons en général F l’effort qu'il faut surmonter pour vaincre une de ces résistances, et f l’espace qui a été parcouru à la fin du même temps dans la direction de l’effort F par le point où celte résistance s’exerce. Les moments virtuels des actions du moteur et de la résistance seront respectivement P dp et Q dq; eton pourra représenter par 2 F df la somme des moments virtuels dus aux résistances résultant de la constitution de la machine. On exprimera donc, en vertu du principe des vitesses virtuelles, la condition de l’équilibre, le moteur étant regardé comme surmontant toutes les résistances, en |»osant l'équation
P,lp— Zfdf— Q<lq=o, OU V(t/)=SFi//'+tMf
Or , cette équation exprime que la quantité d’action imprimée au système est nulle ; donc, conformément au principe de la conservation des forces vives, la force vive de ce système doit cesser d’augmenter; c’est-à-dire que la vitesse de la machine cesse de croître , et quelle continue indéfiniment à se mouvoir avec une vitesse uniforme tant que les efforts P et Q conservent des valeurs telles que l’équation précédente soit satisfaite. On voit d’après cela que la nature du mouvement de la machine, dans le cas dont il s’agit, consiste :
1“ En ce que, après un certain temps ( ordinairement très-court, et à peine appréciable) , ce mouvement devient uniforme;
2" En ce «pic le moteur et la résistance exercent à leurs points d’application respectifs des efforts dont les valeurs sont telles que ces efforts se feraient mutuellement équilibre au moyen de la machine, conformément aux lois de la statique;
« 3“ En ce que les quantités d’action exercées respectivement et en même
temps par le moteur et la résistance à leurs points d’application seraient alors
48G LEÇONS SUH L’APPLICATION
égales entre elles, si (ce qui est impossible) les résistances inhérentes à la constitution de la machine étaient nulles.
67. Nous avons supposé que, quand le mouvement de la machine était réglé, les efforts exercés aux points d’application du moteur et de la résistance étaient constants. Si l’on supposaitcesefforts arbitrairement variables, la machine prendrait un mouvement irrégulier qui ne pourrait être soumis utilement au calcul. Lorsque dans les machines les efforts dont il s’agit n'ont point des valeurs constantes, les variations de ces valeurs, aussi bien que les variations correspondantes des vitesses de leurs points d’application , sont ordinairement périodiques , comprises entre des limites fixes , et les périodes des variations se correspondent exactement pour le moteur et la résistance. Considérons une machine dans cet état, qui consiste essentiellement en ce que l’effort P du moteur est alternativement plus grand et plus petit qu'il ne devrait être, pour faire équilibre, conformément aux lois de la statique, à l’effort Q de la résistance { en regardant toujours l'effort du moteur comme surmontant les obstacles inhérents à la machine). Nommons D m un élément de la masse de la machine ; v la vitesse de cet élément au bout d’un temps donné ;
(D et S étant des lignes de différentiation et d'intégration qui se rapportent aux éléments de la masse des parties mobiles de la machine; d le signe de différentiation qui se rapporte au temps.)
Supposons d'abord qu’on se trouve à l'instant où il y a équilibre entre P elQ, et qu'à partir de cet instant, l’effortP devient plus grand, ou l’effortQ plus petit qu'ils ne devraient être respectivement pour que cet équilibre continuât à subsister. La force vive de la machine, exprimée par croî-
tra conformément à la loi exprimée par l'équation :
Sr<frDw = P</p- 'Lïdf — Qdq.
Elle ne cessera de croître qu’autont que Y* dp sera redevenu égal à 2 F df- t-Q dq; et alors la machine aura acquis la plus grande vitesse possible.
Supposons ensuite qu’à partir de cet instant, l’effort Qdela résistance surmonteà son tour l’effortPdu moteur, ensorlcquc Q <7 <7 soit yVdp—ZVdf. La vitesse de la machine décroîtra conformément à la loi exprimée par l'équation précédente. Elle aura atteint son minimum lorsque les efforts P, Q auront recommencé à se faire équilibre. Elle recommencera à croître à partir de ce dernier instant, si P surmonte Q, comme on l'a supposé d'abord ; et ainsi de suite indéfiniment.
La vitesse de la machine, dans les circonstances où l’on vient de la considérer, croit et décroît donc alternativement en oscillant autour d’une valeur moyenne. L’équation précédente montre que les accroissements ou décroissements de cette vitesse, et par suite, les écarts de ses mnximn et minimn.
à partir de sa valeur moyenne, sont d’autant plus grands, que l’excès du moment virtuel du moteur sur celui de la résistance est moins grand, que la masse et la vitesse des parties mobiles de la machine sont plus petites. En augmentant, la masse et la vitesse des parties de la machine, on diminue les variations que subit la vitesse par suite des variations dans les actions du moteur ou de la résistance.
68. Quand la vitesse d'une machine augmente et diminue alternativement, les roues qui reçoivent l’action du moteur conduisent les autres et sont conduites par elles alternativement, quoique le mouvement se fasse toujours dans le même sens.
69. Considérant un intervalle de temps entre deux maxima, ou entre deux mitiirna quelconques de la vitesse , il arrive nécessairement, par suite du principe des forces vives, que la quantité d’action fournie par le moteur pendant ce temps est égale à la quantité d’action qui a été consommée par les résistances. Car si ces quantités d’action n’étaient pas égales, la machine aurait acquis ou perdu au bout de l’intervalle de temps une quantité de force vive égale au double de leur différence. La vitesse aurait donc augmenté ou diminué, ce qui est contre la supposition.
Il résulte de ce qui précède, qu’en n’ayant point égard à l’effet des résistances intérieures qui tiennent à la constitution de la machine, on peut dire que, dans une machine où le mouvement varie ainsi, il ne se perd point de quantité d’action par le seul effet de cette variation , puisque la quantité d’action fournie en excès par le moteur pendant l’accélération du mouvement, est fournie en moins pendant sa retardation. Mais si l’on a égard aux résistances intérieures telles que les frottements, cette proposition n’est plus exacte, parce que les pressions que les diverses parties de la machine exercent les unes contre les autres et contre les appuis fixes, pressions dont dépend principalement l’intensité des frottements, varient généralement par suite des accroissements et des décroissements alternatifs de la vitesse. Il peut arriver, d’après cela, que de trop grands écarts delà vitesse, au delà ou en deçà d’un terme moyen, produisent une consommation de quantité d'action qui serait épargnée si cette vitesse était constante ou à très-peu près constante.
TITRE VIII
1)11 SlOUVF.ME.NT DES MACHINES DANS I.E CAS OU IL ï A DES CHOCS ET OU LES VITESSES VARIENT ü’u'NE QUANTITÉ FINIE DANS UN TEMI‘8 TRÈS-COURT.
70. Considérons en premier lieu le choc de deux corps solides. Supposons que ces corps se meuvent dans le même sens, suivant une ligne droite passant
par leurs centres de gravité, et perpendiculairement à leur surface au point de contact. Nous admettrons que l’effet du choc est de déplacer les molécules des deux corps au point de contact et dans le point voisin, en sorte qu’il se formera à leur surface un enfoncement ou impression. Les molécules résistant à ce déplacement, il s’établit entre les deux corps une force de répulsion qui tend à les écarter l'un de l’autre, et en altère les mouvements. 11 s’agit de rechercher les lois de ces effets. Nommons m, ni les masses des deux corps ;
V , V' les vitesses des centres de gravité des deux corps à l’instant où le choc commence (ces vitesses sont supposées dirigées dans le même sens, V étant > que V'. Si les vitesses étaient dirigées en sens contraire, on donnerait à V' le signe — dans les formules); v, v' les vitesses des centres de gravité des deux corps au bout du temps t, compté à partir du commencement du choc : e, e' les espaces qui ont été parcourus par les centres de gravité des deux corps au bout du temps t;
x, x1 les profondeurs des impressions faites dans les deux corps au bout du temps t;
N la valeur de la force de la répulsion qui existe entre les deux corps au bout du temps t (cette force est variable et dépend principalement, suivant des lois inconnues, des quantités# et x').
Nous avons d’abord évidemment
e = tf ■+■ x +• i!
Le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité donne la relation
Enfin on a, dans le principe de la conservation des forces vives, m e’ V'») = 2 /"N ( — de + de'),
l’intégrale étant prise depuis l’instant où le choc commence. Cette dernière équation devient, à cause de la première,
m e1 -+-*»' v'* — (m V» •+- m' V'*) = — 2 (dx-¥ dx’).
En la combinant avec la seconde, on trouve, pour les expressions des vitesses des deux corps au bout du temps t,
r — ± \/ (V — V')» 2/-N(rfx-K/ir'),
+ m -t- m' V mm'
r'= =£ \/ (V — V')* î/’N((fi + ilX).
w + w ’ w + »t' y nt inf
On doit prendre les signes supérieurs pendant la partie du choc où les im-
DE LA MÉCANIQUE, 5m' PARTIE. 48!)
pressions augmentent, et les signes inférieurs pendant que les impressions diminuent. Ces formules feraient connaître les changements que subissent par l’effet du choc les mouvements des deux corps, si la valeur de la force de répulsion N était donnée en fonction des profondeurs x,x' des impressions.
71. Quoique la valeur de la force de répulsion demeure inconnue, les vitesses finales des deux corps sont cependant déterminées dans les deux cas suivants .
1° Si la nature des corps est telle que leurs parties, après avoir cédé à une compression, ne tendent nullement à revenir à leurs positions primitives ( ce <pie l’on exprime ordinairement en disant que les corps ne sont point élastiques), à partir de l'instant où l'impression aura atteint son maximum, et où les vitesses des deux corps seront devenues égales entre elles, on aura constamment N = o ; on voit d’après cela que la limite de la valeur de l’intégrale /■N (dx ■+■ dar) est ici
2 tn -+- mf
et que l’effet du choc est de donner aux deux corps une vitesse commune exprimée par la formule
tn V m' y m m’
On peut remarquer que l’on parvient au même résultat en supposant que le changement de vitesse des deux corps s’opère instantanément, et que. conformément au principe de d’Alembert, les quantités de mouvement perdues par les deux corps à cet instant, sont telles, qu’elles pourraient sc faire réciproquement équilibre.
On remarquera de plus que la somme des forces vives des deux corps avant le choc, moins la somme des mêmes forces vives après le choc, est
( ni Y -( m' y )2
m V* -4- m’ V'a — (m cJ-t- OU mV’ + m'V'1 :
or cette quantité est la même chose que
m (V — v' )2 -a- tu' (— V' -a- o' )* ,
donc l'effet du choc est de faire perdre au système des deux corps la force vive qui serait due à la vitesse que l'un des corps a perdue et à la vitesse que l’autre a acquise.
72. 2° Si la nature des corps est telle, que lorsqu'une impression a été formée elle tend à sc détruire complètement, en sorte qu'à profondeur égale
i'JO
de l'impression, la force de répulsion est la même, soit «pic l’impression soit croissante ou décroissante (ce que l’on exprime ordinairement en disant que tes corps sont parfaitement élastiques ) ; et si de plus il arrive que les deux impressions soient totalement détruites à l'instant où les corps cessent d'étre en contact, l’intégrale /'N {dxs-dx) a pour cet instant une valeur nulle , puisqu’elle se compose de deux parties égales, l’une positive et l’autre négative, qui sè détruisent réciproquement. Les formules du n" 70 donnent alors pour les vitesses des deux corps à la fin du choc,
( w — m' ) V -4- 2 mf V'
Si au moyen de ces valeurs on forme la somme des forces vives mv7+m’v'1 du système des deux corps à la fin du choc, on trouve c'est-à-
dire la valeur de cette somme qui avait lieu avant le choc. Ainsi, dans le choc des corps parfaitement élastiques, la somme des forces vives ne. subit aucun changement, pourvu que les conditions énoncées ci-dessus soient remplies. Mais un examen spécial a appris qu’il n’arrivait pas, en général, que les impressions fussent totalement détruites à l’instant où les deux corps cessaient d’étre en contact. Il en résulte que les formules précédentes ne peuvent être considérées comme donnant toujours les vitesses des corps à la fin du choc : et que l’on ne peut admettre que , lors du choc des corps parfaitement élastiques, il n’y ait jamais aucune perle de force vive.
73. Dans le cas où les corps sont imparfaitement élastiques, c!est-à-dire, lorsque l’impression qui a été formée ne tend pas à se détruire entièrement, ou bien lorsque, les corps étant parfaitement élastiques, les proportions des masses et des vitesses initiales sont telles que ces corps se séparent avant que les impressions soient totalement détruites; les formules précédentes n'apprennent plus rien sur les valeursdcs vitesses finales, puisque l’on n'a pas les moyens de calculer la valeur de l'intégrale /TN [dx-^dx'). Le mouvement des deux corps ncpeutalorsétre connu qu’en soumettant directement au calcul leur composition mécanique. On remarquera d’ailleurs que, dans les applications aux machines, on s’écartera généralement peu des effets naturels , en supposant que les corps ne sont point élastiques, et admettant les résultats du n" 71. Cette supposition, que nous adopterons ici, tend à faire estimer la perte de force vive qui résulte des chocs un peu au-dessus de sa véritable valeur; et, dans les calculs relatifs à l’établissement des machines, il vaut mieux en général s’exposer à commettre une erreur dans ce sens que dans le sens con traire.
71. Considérons maintenant un système de corps solides, tels que ceux qui
constituent les machines, et admettons que, dans le mouvement de ce système, deux ou plusieurs de ces corps viennent à se choquer. Nous supposerons d'abord que les corps du système en mouvement ne sont soumis à l’action d'aucune force. A l’instant où le choc commencera, il s'établira entre les corps qui se sont choqués des forces de répulsion, dirigées suivant la normale commune aux surfaces de chaque corps menée au point de contact. Ces forces agiront pendant toute la durée du choc, et le mouvement du système sera modifié en conséquence. En supposant, conformément à ce qui vient d’étre dit, qu’il s’agit de corps non élastiques, le choc est fini lorsque les impressions étant parvenues à leur maximum, les points en contact des deux corps ont pris des vitesses égales, en sorte que ces points ont un mouvement commun, sans exercer l’un contre l’autreaucun effort. Nous désignerons par x ,y , s, les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque appartenant aux corps du système , au bout du temps t , compté à partir du commencement du choc ;
Dm l’élément de masse qui est placé dans ce point (S sera le signe d’intégration correspondant au signe de différentiation D) ;
U, V, W les vitesses du point dont il s'agit, dans le sens des axes rectangulaires des x, des y et des s, à l’instant où le choc commence ; n, v, w les vitesses du même point qui ont eu lieu au bout du temps t ; N la force de répulsion qui existe au bout du temps t entre les deux points en contact des deux corps qui se choquent ; n la longueur de la normale commune menée en ce point aux surfaces des deux corps, suivant la direction de laquelle agit la force N.
D’après le principe général auquel est assujetti le mouvement d’un système quelconque de points matériels, on a l’équation
[du d v dw
V dt dt dt
gx, Sy, ss représentent les espaces qui seraient décrits respectivement dans le sens de chaque axe par un point quelconque du système, si, considérant ce système dans l'état où il se trouve au bout du temps t , on lui faisait prendre un mouvement quelconque infiniment petit, sans violer les conditions de la liaison des éléments matériels; S n représente l’espace qui serait décrit en même temps par le point de contact de deux corps qui se choquent, dans la direction de la normale n. Le signe Z indique que l’on a fait la somme des quantités N'sn qui appartiennent aux points en contact des corps qui se choquent; et il faut remarquer que le choc de deux corps introduit dans la somme £ deux quantités de cette espèce, l’une relative au point du premier corps, l’autre relative au point du second corps repoussé par le premier, dans lesqucllés la quantité N a la même valeur, mais des signes contraires.
On remarquera maintenant que, la durée d’un choc étant généralement très-courte, les positions et les conditions de la liaison des éléments matériels ne subissent pas, pendant cette durée, de changements sensibles. Il y aura donc très-peu d'erreur à considérer les variations Sx, 5 y, sz, 5/1 comme des quantités constantes pendant l’intervalle de temps dont il s’agit. Si l’on intègre alors par rapport au temps l’équation précédente, il viendra S D m [(« — D) S x -*■ (» — V) Î.T ■+• (te — W) S s] ZfUt . V S n.
Or le dernier membre de celte équation peut toujours être supposé égal à zéro; puisque, pourvu que le mouvement virtuel imprimé au système soit tel que les surfaces en contact des corps qui se choquent ne se séparent point, les forces de répulsion donneront toujours des moments virtuels égaux deux à deux et de signes contraires. Nous avons donc ici
SD»» [(h — U ) S x -t- ( r — V)5 r-t-(«e — \V ) </ 1 ] = 0.
75. Considérons maintenant le système à l'instant où le choc finit, et ou d’après ce qui a été dit ci-dessus, les points en contact sont supposés demeurer appliqués les uns contre les autres sans se repousser, et animés d’un mouvement commun. A cet instant le mouvement effectif des points du système peut être pris pour un des mouvements virtuels : on peut donc supposer Sx =udt,sy — vdt,sz = wdt. Alors l’équation précédente devient
S D » [ il1 + r! + ic1 — (#t + tV+irW)] = 0, dans laquelle u, v, w représentent les vitesses qui ont lieu à la fin du choc.
76. Le résultat auquel on vient de parvenir conduit à une expression trèssimple du changement que subit la somme des forces vives d’un système par l’effet des chocs. La différence entre les sommes des forces vives qui ont lieu respectivement avant et après le choc est
SD M[U»-+-VJ-t-\V’— («»-+- n2-»- fc»)l :
en ajoutant à cette expression la précédente multipliée par 2. ce qui n’en altérera point la valeur, il viendra
sd»» [U»-+- v»h-w* — 2 (1» u-+-»v + «oVV)-t-MJ-+- rJ -t-»rJ]>.
ou bien
S D m [(U — + r)»-t-(W - te)*].
Ainsi la variation qui a lieu dans la force vive du système est égale à la force vive qui serait due aux vitesses que les éléments matériels ont perdues par l'effet du choc. On retrouve donc ici, pour ce que nous avons appelé corps non élastique, le théorème dù à Carnot, qui a été démontré dans la deuxième partie des Levons , n" 10, en supposant un choc instantané, et établissant l’équilibre entre les quantités de mouvements perdues, conformément au principe de d’Alembert. Ce théorème suffit pour donner d’une manière trèssimple la solution de beaucoup de questions dans lesquelles la vitesse de l'un des corps (pii se choquent est constante, ou à très-peu près constante.
77. Quant à l’application des résultats précédents au mouvement des machines, on doit faire les remarques suivantes :
1" Les parties des machines sont toujours supportées par des appuis, cl il arrive en Général, quand il survient un choc, que ces appuis supportent des pressions instantanées, soit qu’il y ait un choc direct contre l’appui, soit par l’effet d’un choc exercé contre une pièce qui porte sur cet appui. Si les appuis sont regardés romme des corps fixes, dont les parties ne sont susceptibles de prendre aucun mouvement, l’expression qui vient d’être trouvée de la perte de force vive résultant d’un choc demeure la même, soit que l'on considère ou non ces corps comme faisant partie du système: puisque avant et après lcehoc, la force vive des parties de chaque appui est éGalement nulle. Mais, dans la réalité, les corps servant d’appui ne sont jamais absolument, fixes, et un choc imprime toujours à leurs parties un certain mouvement. La force vive que ces parties acquièrent ainsi doit être considérée comme alimentant la perte de force vive que ce choc occasionne dans le système, et qui est exprimée par la formule précédente.
2” On a supposé n” 74 que les parties du système en mouvement n’étaient soumises à l’action d’aucune force, si ce n’est les forces intérieures développées momentanément pendant la durée du choc, et cela a permis de regarder comme nul le second membre de l'équation intégrale obtenue dans ce numéro. Les parties des machines sont soumises à l’action de la gravité , aux actions du moteur, de la résistance provenant du travail effectué et des résistances intérieures, telles que les frottements. Il est permis cependant d’appliquer aux machines le résultat précédent, parce que la considération des forces permanentes dont il s'agit n’introduirait dans le second membre de l’équation du n°74 que des termes extrêmement petits par rapport aux termes dus aux forces développées pendant la durée très-courte des chocs, et qui seraient tout à fait à négliger à l’égard de ces derniers. Il faut remarquer seulement que, par l’effet des forces mêmes développées par les chocs, il peut s’établir de nouveaux frottements, soit entre les surfaces qui se choquent, si ces surfaces glissent l’une sur l'autre pendant la durée du choc, soit sur les points d'appui des axes ou autres pièces, contre lesquels les corps peuvent réagir à l’instant du choc. Les résistances dues à ces derniers frottements sont du même ordre que les forces développées par la percussion, et ne doivent pas, en général, être négligées : elles ne pourraient l’être qu’autanl que les vitesses virtuelles de leurs points d'application seraient très-petites par rapport aux vitesses virtuelles des points d'application des forces qui ont été désignées par N. L’évaluation de l’effet des résistances dont il s’agit présente d’ailleurs, dans les applications, beaucoup d’incertitude, parce que l’on n’est point assuré que les rapports du frottement à la pression qui ont été déterminés par des expériences faites sur des mouvements permanents, conviennent éga-
lement au cas d’une action instantanée. Si l’on veut néanmoins tenir compte de ces résistances, on pourra le faire d'après les considérations suivantes.
78. En conservant les dénominations du n“ 74, et désignant toujours par/" le rapport du frottement à la pression, la résistance due au frottement produit par la pression N, qui est exercée l’un contre l'autre par deux corps qui se choquent, sera exprimée par /"N. Par conséquent, appelant généralement s la longueur de la ligne décrite par chacun des points en contact, on aura, en tenant compte de ces résistances, au lieu de l’équation posée dans ce numéro.
f du tir (I w \
SDm - — S j- h S/H 8 z = 2N*«n-Z/NS«,
V (Il ilt <lt /
S s indiquant l'espace parcouru par un point de contact des corps qui se choquent sur la surface à laquelle appartient ce point, par l’effet d’un mouvement virtuel quelconque infiniment petit du système.
En intégrant cette équation par rapport au temps, conformément à ce qui a été dit dans le numéro cité, il vient
S D?»[(M-C)8r + (r-V)*.r-t-(«’-W)</*] = 2frf/. NS n -r-E/rf) .fNS*,
équation dans laquelle u, v, w représenteront les vitesses qui ont lieu à la fin du choc, pourvu que les intégrales du second membre soient prises pour toute la durée du choc. Or cette équation est précisément celle que l’on obtiendrait si, supposant une altération finie du mouvement des corps, on appliquait le principe de d’Alemhert, en exprimant qu’il y a équilibre entre les quantités de mouvement perdues par les corps, et les forces appliquées au système ; ces forces étant ainsi représentées par les intégrales fdt. N pour les pressions exercées aux points de contact des corps qui se choquent, et par les intégrales correspondantes fdt. fN pour les résistances dues aux frottements résultants de ces pressions. L’équation dont il s’agit, réunie aux conditions des liaisons des éléments matériels du système (y compris la condition que les points en contact des corps qui se choquent sont animés à la fin du choc d’un mouvement commun), donnera d’ailleurs dans tous les cas le mouvement du système après le choc, et fera même connaître les valeurs des intégrales fdt. N. Ainsi, en supposant toujours qu’il s’agit de corps non élastiques, l’application du principe de d'Alembert, faite de cette manière, donnera les solutions exactes de chaque question, en tenant compte de l'effet des frottements.
79. On voit, par ce qui précède, que l’effet d’un choc dans une machine en mouvement est toujours de causer une diminution dans la somme des forces vives des parties de cette machine. Cette diminution (abstraction faite de la force vive qui passe dans les appuis) est donnée par le théorème énoncé n“ 76. Lorsqu’une machine travaille d'une manière permanente, il est nécessaire, à chaque choc qui a lieu, que le moteur fournisse une quantité d’action
DE r.A MÉCANIQUE, 5™' PARTIE. 41)5
numériquement égale à la moitié de la force vive perdue par ce choc, en sus de la quantité d’action qui est consommée par les résistances permanentes, et que l’on calculerait d’après la considération de l'équilibre statique de la machine. Les exemples suivants suffiront pour mettre à même de déterminer facilement, dans les divers cas qui pourront se présenter, les altérations qu’un choc produit dans les vitesses de chaque partie, et la consommation de quantité d’action qu’il occasionne.
nu choc d'une camme contre us pilon.
80. Considérons un arbre tournant horizontal, dont l’axe este (Fig. 54), qui reçoit immédiatement l’action du moteur, et qui porte des cammes par le moyen desquelles il agit suivant la verticale AD sur le mentonnet ED d’un pilon vertical, contenu dans les prisons F, G. Nous supposerons que les cammes elles roues portées par l'arbre tournant sont disposés symétriquement autour de l'axe C; et nous nommerons R le rayon primitif AC de la roue qui porte les cammes; p le rayon des tourillons de l’arbre qui porte cette roue; h la hauteur AD du point de contact de la camme et du mentonnet au-dessus du plan horizontal AC, à l’instant du choc ; .
p la longueur DE du mentonnet;
e la largeur du manche du pilon, ou la distance horizontale des arêtes F, G, contre lesquels il s’appuie;
I la distance verticale des mêmes arêtes F, G;
Dwt l'élément différentiel de la masse de l’arbre, des roues et cammes qu’il supporte ;
r la distance de l'élément D«i à l'axe C de cet arbre ; w la masse du pilon;
V la vitesse des points de l’arbre situés à l’unité de distance de l’axe C, à l’instant où le choc commence ; v la même vitesse à la fin du choc;
x, n, * les valeurs respectives des pressions qui se développent à l'instant du choc dans les points de contact D, F, G (ces quantités sont considérées comme représentant les valeurs des intégrales fdt. N du n" 78); /] le rapport du frottement à la pression pour le frottement qui a lieu sur les tourillons de l’arbre ;
f le même rapport pour le frottement entre la camme et le mentonnet au point D;
fs le même rapport pour le frottement contre les prisons en F cl G.
II s’agit d’exprimer, conformément à ce qu’on a vu n° 78, qu’il y a équilibre dans le système des deux corps entre les quantités de mouvement perdues par l’effet du choc et les forces développées par ce choc, en tenant
compte des résistances dues aux frottements. Les conditions de cet équilibre peuvent être établies en considérant successivement les deux parties du système.
En considérant d'abord l’arbre, on voit que les quantités de mouvement I) m (V — v ) r perdues par chaque élément, et agissant avec le bras de levier r, doivent faire équilibre à la force verticale x agissant en D avec le bras de levier R. L'action de cette force est d’ailleurs augmentée par le frottement qui a lieu sur les tourillons de l’arbre, frottement qui équivaut à la force /jx agissant au bout du rayon p. En effet, les éléments de masse étant distribués symétriquement autour de l’arbre, scs appuis ne supportent aucune action par l’effet de l’altération subite du mouvement de ces éléments, et sont seulement chargés de l’effort x : il est permis de négliger, pour l’évaluation du frottement sur les tourillons, la force horizontale/^* qui est développée en D par l’effet du frottement de la cammc contre le mentonnet. Mais il faut tenir compte de cette force, qui agit avec le bras de levier h, lorsque l’on exprime les conditions de l’équilibre autour de l’axe. Ces conditions seront donc exprimées par l’équation
(V-f)SDi».r> = XR+/'|X.p + /',X.A. d’OÙ * = ,
dans laquelle SDm.r1 est le moment d’inertie de l’arbre et des roues qu’il porte.
En considérant ensuite le pilon, on voit que la quantité de mouvement m. v R. acquise par ce corps, doit également faire équilibre à la force x considérée comme agissant de bas en haut au point D, et dont l’action est diminuée par les frottements qui ont eu lieu en F et en G, et qui sont produits par les pressions p cl *. Conformément à ce qu’on a vu dans le n° 55, les conditions de ce dernier équilibre seront exprimées par les équations
i*.tR=l-/i (p-+- *),
(* = *, (Il
m . rR. t- X . p
d’où
[il On a oublié d'introduire dans ces équations le frottement de la cammc contre le men-
tnnnel/jX.qui modifie les pressions p, *, produites par le couple X
en aug-
mentant la première de la quantité ftx , et en diminuant la seconde de/, X — (>-=EF).
fil. Égalant ccs deux valeurs de x, on trouve, pour l’expression de la vitesse angulaire de la roue après le choc.
m . Kl H+Ap + AII 1 + — - ■ . — ■- — — ■
SDw. r* /-/s(fi4-2p)
La valeur de la force de percussion x est
S D tn . j + ma> M —J
Les termes affectés des facteurs fs seront toujours fort petits : en faisant pour abréger
/* (e-t-Sp)
l’expression préeéderitc de la vitesse angulaire après le choc s’écrira
k étant une petite fraction dont on peut négliger le quarré.
82. Les forces vives du système , avant et après le choc , sont respectivement V’SDm, rJ et tsSI) m. r’+wR’v1, Par conséquent la perte de force vive résultant du choc est ici
IS D m . r3 -4- m R3
V S Dm. r3 /
Si le moment d’inertie SDfli. r1 de la roue est grand par rapport au produit xwR1 de la masse du pilon par le quarré du rayon des eamraes, la vitesse de rotation delà roue n’est pas sensiblement altérée par l’effet du choc. L’expression précédente de la perte de force vive devient à fort peu près 1» n»v3 (t 4- s *) j
et en négligeant les frottements , mRJVJ, c’est-à-dire, la force vive communiquée au pilon , ce dernier prenant une vitesse égale à celle du point de la camme qui rencontre le mentonnet.
LEÇONS SLR L’APPLICATION
Si un choc semblable a lieu au bout de chaque intervalle de temps égal à s , il sera nécessaire que le moteur fournisse, dans chaque unité de temps, en sus de la quantité d’actiou nécessaire pour surmonter les résistances permanentes, une quantité d’action égale au double de la perte de force vive qui vient d’étre calculée , divisée par 6. On remarquera d’ailleurs , conformément à ce qui a été dit n" 77 , que l’expression précédente de la perte de force vive ne tient pas compte de celle qui résulte des secousses imprimées aux appuis des tourillons de l’axe, et aux prisons du pilon.
oc cnoc d'csk camxe contre es marteau.
85. Considérons un arbre tournant horizontal dont l’axe est C (Fig. 35), qui reçoit immédiatement l’action du moteur, et qui porte des cainmes qui rencontrent en M le manche d’un marteau dont l’axe également horizontal est C’. ÎNous supposons, comme dans le n° 80, que les cammes et les roues portées par l’arbre tournant sont disposées symétriquement autour de l’axe C; et de plus qu’un plan vertical passant par le point de contact M, et perpendiculaire aux deux axes C, C', partage le marteau en deux parties symétriques. Les lignes BMB' et DD'M, tracées dans ce plan, sont respectivement la tangente et la normale communes aux courbes de contact de la camme et du manche. On nommera
R . R' les rayons CM, C M, menés des deux centres au point de contact à l’instant du choc;
« . »' les angles C M B , C' M B' que ces rayons forment respectivement avec la tangente commune BMB’, des courbes de la camme et du marteau;
o, (' les rayons des tourillons des axes C, C' de l’arbre et du marteau;
Dm, Dm' les éléments différentiels de la masse des roues portées par l’axe C et du marteau porté par l’axe C';
r, r'ies distances respectives des éléments Dm, Dm' aux axes C, C';
V la vitesse des points de l’arbre de la roue situés à l’unité de distance de l’axe C, à l’instant où le choc commence;
v la même vitesse à la fin du choc;
v la vitesse à la fin du choc des points du marteau situés à l’unité de distance de l’axe C';
x la valeur de la pression qui se développe à l’instant du choc au point de contact M ;
/J, /", les rapports du frottement h la pression pour le frottement qui a lien sur les tourillons des axes C, C';
f.t le même rapport pour le frottement entre la camme et le manche du marteau au point M.
En considérant en premier lieu l’équilibre qui doit s’établir autour de l’axe C, cl remarquant que la force >■ dirigée suivant M D agit avec le bras de
ÎOO
levier CI)=R eos. s,ct que le frottcmenl /jx dirigé suivant BM agit avec le bras de levier CB= R sin. «, on aura comme dans le n” 80 pour la condition de cet équilibre
(V — r) S D m . r2 = X . R cos. 8 -4- /“, X . p -4- X . R sin. 0 ,
d’où
R cos. 8 -+- ft 0 -4- /*2 R sin. 0
En considérant ensuite l’équilibre qui doit s’établir autour de l'axe C\ on remarquera que la masse du marteau n'étant pas en général distribuée symétriquement des deux côtés de cet axe, la pression exercée par les tourillons à l’instant du choc , n’est pas seulement due à la force x. A l’action de cette force se réunitcellc du mouvement qui est imprimé instantanément au marteau. Pour déterminer la pression dont il s'agit, considérons la ligne C'D' comme un axe des abscisses comptées à partir de C', les ordonnées étant comptées en dessous et à partir de cette ligne. Nommons x la distance de l’élément 1) ni de la masse du marteau au centre C', cette distance étant mesurée parallèlement à la ligne C' D' ; y la distance du mémeélémenlà la ligne C'D', cette distance étant comptée de haut en bas :
la quantité de mouvement D m'.v' r acquise par cet élément à la fin du choc, peut se décomposer en deux autres, l’une parallèle à C'D', exprimée par /
Dffl'.fV. — = D»»'. v’ ÿ, l’autre perpendiculaire à C'D'. exprimée par
Dmi'. t>V — = Dim', v'x'. On aura donc pour la résultante des pressions exercées sur l’axe C'a l’instant du choc.
V/(X — r' S I) ni . x)1 -t- (c'S I) ni ./•')».
En remarquant d’ailleurs que le frottement /P agit suivant B'M avec le bras de levier C'B'= R'sin.s'.onaura, pour exprimer l’équilibre autour de l’axeC', ib) n'SDm’.r'1
= X . R' cos. 0' — f, ?’ l/(X— c'S D ni . r'p-t- (rS D ni . J-')’ — X . R' »in. 8’.
Enfin, comme après le choc, les surfaces de la camme et du manche du marteau demeurent en contact, les vitesses de rotation », »' doivent être telles que la vitesse du point M considéré comme appartenant à l’un ou à l’autre système, décomposée dans le sens de la normale MB, ait la même valeur : condition qui donne
R' co». 8'
(c) r R cos. 8 = r1 R' cos. 8'. d’OÙ v' = v .
R co». 8
8-i . Les trois équations (a), (b), (r) détermineront les valeurs des vitesses », v qui ont lieu à la fin du choc, et de la force de percussion *.
LEÇONS SLR L’APPLICATION
Si le centre de gravité du marteau était placé sur l'axe C', on aurait S Dm'. *’=o,SDm'.y'=:0. S’il se trouvait à une petite distance de cet axe, ces quantités pourraient être négligées, et l’équation (c) se réduirait à c' S D m’ . r1* = X . K' cos, 6' — /*, X . p' — fax . R' sin. 6' ;
d’où
c'SD m' . r"3
R' cos. V — fx p' — fj H' sin. 6'
On trouve alors, en égalant cette valeur dcx à la valeur (a), pour la vitesse angulaire de la roue après le choc
fi p fi R
S D m' . f 3 / R cos. 8 N3 R cos. 8
SD>.r* \n’cot.Q'J /', R' sin.*'
R' co*. 8'
et pour la valeur de la force de percussion
R eos.O S D »«'. r'3 S I) m . r3. SDm'.r'3
R’cos.6’ R'cos.8'
/ /’,'p'-4-/'jR'8in.8'\ / R cos. 6 \3 / /',e-»-/‘jR*in.8
SDm.r3/ 1 U-SDm'.r'3( ( H
\ R'cos.8' J \ R' eos.O'/ V Rco*. 8
En posant pour abréger
/i P -4- /i R sin. 8 R cos. 8
r i p'-h/’jR'sin.S R' cos. 6'
k sera une petite fraction dont on pourra négliger le quarré , et l’expression de la vitesse angulaire de la roue après le choc s’écrira plus simplement
SDrn'.i'1 f R cos. 8 \3
D m . r3 \ R' cos. VJ
85. Avant le choc la force vive du système est V’SDm. r après le choc elle est SDm'.r'1. La force vive perdue par l’effet duehor est
<lonc exprimée par
(V3— r3)8D«*.H — r'3 SDm'.r'3
SDm.f’ + S
= V3 /SD m . f 3 —
/ R cos. 8 \3
Dis’.i'3 )
\ R' cos. 8 '/
r S D m' . t R cos. 8\> 1
L SCsi.r3 \R'cos. 8 '/ J I
R cos. 8 R'eos. 6'
SDm'.r'3 .
f R co«. 0 I
\ SDm.r3 '
V R' cos. 8 ' ) !
On pourra souvent réduire cette expression à
/ R cos. 8 A
[ v SDm'./Ui+ï*);
\ R' cos. 8' j
et si l’on négligeait les frottements, la perte de force vive serait exprimée simplement par
R cos. 0 V
R' cos. V )
c’est-à-dire la force vive communiquée au marteau, ce dernier prenant une vitesse angulaire telle que les points en contact de la camtne et du manche aient une même vitesse absolue dans le sens de la normale MD.
Cette expression de la force vive perdue par l’effet du choc , doit être employée dans les calculs de l'établissement de la machine conformément à ce qui a été dit à la fin du n" 81.
86. On a supposé n” 84 que l’on pouvait négliger dans le radical du second membre de l’équation(6) les quantités v S D ni . x' et v S D m'. y'. Dans la plupart des cas le centre de gravité de la masse du marteau sera effectivement placé à une fort petite distance de la ligne C’ D’, et l’on pourra négliger, sans erreur sensible, le terme v'SLnï.y'. Mais il peut arriver qu’il n’en soit pas de même du terme o'SDwi'.ar'. En conservant ce terme , on pourra encore faire usage des formules des n" 84 et 85, pourvu que l’on pose
fi p -4* /*j R iiu. 8 1 4- -1 ■■ —
fi e'SD m*. x,\ R cos. 8
SDw'.r'2 / /i'p'-fr- ÆR'sin.6'
R' cos. 8'
Si aucun des deux termes du radical dont il s'agit ne pouvait être négligé , il serait toujours facile de déduire par approximation des équations (a), (6), (c) du n° 83 les valeurs des vitesses à la fin du choc, et de la perte de force vive.
87. On cherche quelquefois à établir les marteaux de manière qu’à l’instant du choc les tourillons de l’axe ne supportent aucun effort. Cette condition exige que l’on ait
(X — r/ SD m' . jr'V’-Htî’SD m'.f)*=0.
On y satisfera de la manière la plus simple : 1° si le centre de gravité du marteau se trouve sur la ligne C’ D' ( c’est-à-dire sur la perpendiculaire abaissée du centre C' sur la ligne suivant laquelle le choc s’exerce), ce qui donnera SD m'. y' = o; et 2” si x = t>'SD tn'.af. L’équation ( b ) du n“ 83 se réduit alors à
e'SD»i' . r1* = X . R' cos. 6' — aïn. 8') , ou , à cause de l’expression précédente de x, à
S D m' . r’’1 = R' ( cos. 0' — /", sin. 8' ) S D m' . x".
JÜ-2 d’où
