IV
(cos. 6' — /’jSin.ô'JSD tn'.y
équation qui détermine la distance de Taxe C' à laquelle doit être placé le point M où le choc s’exerce pour que la condition dont il s’agit soit remplie. Si l’angle e' était nul, c’est-à-dire si la direction du choc était perpendiculaire au rayon passant par le centre de gravité du marteau, la formule précédente deviendrait
ce qui est l’expression connue de la distance du centre de percussion.
Lorsque l’on a ainsi déterminé la distance R' du point frappé par la cammc, de manière à rendre nul l’effort instantané supporté par les points d’appuis de l’axe du marteau , on peut employer les formules des n" M et 85, en y supprimant le ferme /", p' introduit par la considération du frottement qui a lieu sur les tourillons de cet axe.
88. On a supposé, dans les deux exemples précédents, que l’arbre portant les cammcs recevait immédiatement l’action du moteur. S’il en était autrement, et en général si, dans une machine quelconque, l’arbre qui exerce le choc recevait l’action du moteur par l'intermédiaire de plusieurs pièces, il faudrait considérer chacune de ces pièces comme perdant par l’effet du choc une portion de sa quantité de mouvement , et établir pour chacune une équation d’équilibre entre la quantité de mouvement perdue et les forces de percussion développées aux points de contact de celte pièce et des pièces contiguës. On pourra toujours, au moyen de ces équations et de celles qui exprimeront que les surfaces entre lesquelles le choc s’exerce ne se séparent point, déterminer comme ci-dessus les valeurs des forces de percussion , et des vitesses qui ont lieu après le choc.
TITRE IX
ÜE LA MANIÈRE DE DISPOSER LES ROUES, PIGNONS, CAMMES, ETC., POUR QUE I.ES AXES SUPPORTENT LES MOINDRES EFFORTS QIl’lL EST POSSIBLE.
8Î). Un des objets qu’on doit se proposer dans Rétablissement des machines, est que leurs parties supportent les moindres efforts qu’il est possible, surtout quand ees efforts sont produits par des chocs. On y parvient en ayant égard a des considérations telles que les suivantes.
Supposons un axe A (Fig. 36), qui tourne par l’effort P du moteur, et sur lequel est montée une roue qui doit faire marcher un pignon. L’effort que supportera cet axe, sera généralement la résultante de trois forces : 1° le poids de l’axe et de la roue: 2" l’effort P; 3* l'effort Q exercé contre les dents du pignon. Cette résultante sera la plus petite possible si le pignon est placé en B. Elle serait la plus grande s’il était placé en C. Le pignon étant placé en B, les efforts P et Q seraient égaux, si les rayons A tn. An étaient égaux, et la pression exercée sur l'axe se réduirait au poids dont il est chargé.
90. Considérons maintenant un axe en A (Fig. 37), auquel un mouvement de rotation est imprimé sans qu'il supporte aucune pression de la part du moteur. Imaginons que sur cet axe sont montées des roues qui doivent eu conduire d'autres. Si l’on place les roues conduites B, C, deux à deux, de manière que les points d’engrenage soient aux extrémités d’un même diamètre de la roue qui conduit, il en résultera que l'axe A ne supportera aucun effort, par suite des pressions exercées contre les dents. Toute autre disposition n’offrira pas le même avantage.
91. La disposition précédente laisse d'ailleurs l’axe A chargé de son propre poids et de celui des roues qu’il supporte. Si cet axe ne conduit qu'une seule roue B (Fig. 38), et si les diamètres des roues A et B sont tellement réglés que l'effort Q exercé contre les dents soit égal au poids dont on vient de parler, l’axe A ne supportera plus aucun effort. On peut toujours disposer les roues et régler leurs diamètres de manière que cette condition soit remplie. On doit tâcher de le faire, autant que le permettent les autres conditions de l'établissement de la machine.
92. Considérons un pilon soulevé par une camme fixée à une roue. L'effet du choc de la camme contre le pilon sera généralement de produire un effort momentané contre les prisons du pilon. Cet effort sera nul, si la direction de la force de percussion passe par le centre de gravité du pilon. Lorsqu’une camme soulève un marteau, en le faisant tourner autour d’un axe fixe, l’appareil peut être disposé de manière que le choc de la camme n’exerce aucun effort sur cet axe. On y parvient : 1“ en donnant au marteau une figure susceptible d'être partagée en deux parties symétriques par un plan perpendiculaire à l’axe de rotation, qui contiendra le centre de gravité; 2" en faisant en sorte que le choc se fasse suivant une direction contenue dans ce plan, perpendiculaire à l'axe, et distante de cet axe d’une quantité R-, dont l'expression a été donnée ci-dessus n” 87. Si l’on veut que le choc du marteau contre l’enclume n’exerce non plus aucun effort sur l’axe, la position du point de contact, et la direction suivant laquelle le choc s’exerce devront être assujetties aux mômes conditions. On ne pourra éviter, en adoptant ces dispositions, qu'il n’y ait un effort exercé sur l’axe, par l’effet de la force centrifuge, pendant le mouvement du marteau. Mais cet effort ne
produira qu’un frottement moins dangereux pour la solidité des machines que les actions instantanées , et dont on doit d’ailleurs tenir compte dans l'évaluation des résistances permanentes.
93. Dans les machines où il y a des mouvements alternatifs , il se produit souvent des actions instantanées du genre de celles dont on vient de parler. Elles ont lieu quand les corps en mouvement parviennent à la fin d’une oscillation avec une vitesse finie, et commencent l’oscillation suivante avec une vitesse finie dirigée en sens contraire. On doit en général éviter ces effets, et préférer les moyens de transmettre les mouvements qui , tels que les manivelles, règlent les vitesses de manière qu’elles sont toujours nulles, à l’instant où le mouvement change de direction.
TITRE X
DES MOYENS DE MAINTENIR L’UNIFORMITÉ DU MOUVEMENT DANS LES MACHINES. ETABLISSEMENT DES VOLANTS. PENDULE CONIQUE.
94. Les causes qui peuvent faire varier la vitesse dans les machines sont de deux espèces : 1° les actions exercées par le moteur et par la résistance peuvent être tantôt plus grandes, tantôt plus petites qu’elles ne devraient être, pour qu’un équilibre constant se maintienne ; 2" une des actions peut être dans le cas de l’emporter progressivement de plus en plus sur l’autre, en sorte que la machine tendrait à s’arrêter, ou à prendre indéfiniment une vitesse de plus en plus grande. Le but qu’on se propose est que la vitesse de la machine demeure comprise entre des limites fixes, et que ces limites diffèrent le moins qu’il est possible de la valeur moyenne de cette vitesse.
Lorsque les variations de la vitesse sont uniquement dues à des variations régulières et périodiques dans les actions du moteur et de la résistance, et sont produites conformément aux lois énoncées n° 67, on limite à volonté l’étendue de ces variations par l'emploi des volants, c’est-à-dire, de grandes roues fixées sur les axes de rotation qui font partie de la machine. L’établissement des volants est fondé sur les considérations présentées dans le numéro cité. Les exemples suivants indiqueront la manière dont cet établissement doit être fait dans les divers cas qui peuvent se présenter dans les applications.
93. Soit en premier lieu une roue soulevant un poids Q (Fig. 59), au moyen d’une corde qui s’enroule sur la circonférence. A l’axe de cette roue est fixée la manivelle C M, sur laquelle agit une force constante P, dont la direction est toujours verticale. Cette force n’agit qu’en descendant, c’cst-à-
dire, pendant que la manivelle décrit le demi-cercle EAF, l’action étant nulle quand la manivelle décrit le demi-cercle E BF. Cet appareil ne peut imprimer au poids Q un mouvement continu, qu’autant que la masse de la roue est déterminée d’après certaines conditions qu’il s’agit de reconnaître. Nommons
a le rayon CM de la manivelle;
b le rayon de la roue à la circonférence de laquelle le poids Q est suspendu ; x l'angle ACM;
D m l’élément de la masse de la roue ; r la distance de cet élément à l’axe de rotation C; v' la plus petite vitesse de rotation des points situés à l’unité de distance de l'axe;
v" la plus grande vitesse de rotation des mêmes points ;
Le mouvement du système étant , par hypothèse, uniforme, en sorte que chaque tour commence avec la même vitesse, les quantités d'action imprimées par le moteur et la résistance, pendant la duréed’un tour, doivent être égales. Ou a donc, en négligeant les frottements,
P.Sa = o.a*A.
On connaîtra les situations où le moteur fait équilibre h la résistance en posant :
I’ a co*. x = O b, d’où co*. x = — ,
valeur qui appartient à deux situations du coude de la manivelle, telles que CM et CN.
D’après les notions exposées n° 67, le minimum de la vitesse a lieu quand la manivelle est en CM, et le maximum quand elle est en CN. Quand la manivelle passe de C M en CN, puis de CN en CM, la force vive acquise par le système, puis perdue, doit être égale au double des quantités d’actions imprimées respectivement dans chacun de ces intervalles, par les forces P. Q : on aura donc les deux équations
îjOG
Ces équations étant combinées avec la relation P. a = Q. * b, donneront également
SiJDw + --
— arc w
90. Supposons maintenant qu'on veuille régler le mouvement de manière que la moyenne des vitesses extrêmes v", v soit V, et que ees vitesses
extrêmes diffèrent de V de la quantité — . On aura
et en substituant dans lequation précédente, on en déduira 6* y «
pour l’expression du moment d'inertie de la roue qui satisfera à la condition énoncée. La plus petite valeur qu’il soit possible d’attribuer à S r’D m. pour obtenir un mouvement continu, est celle qui répondrait à t’’ = o, d’où n = i. On ne doit point oublier que les moments d'inertie sont exprimés en unités de masse.
97. Considérons, pour second exemple, un appareil semblable au précédent, mais dans lequel la force P, après avoir tiré de haut en bas pendant que la manivelle parcourt le demi-cercle E AF, tire de bas en haut pendant que la manivelle parcourt le demi-cercle FBE. L’égalité des quantités d’action qui doivent être fournies par la résistance et par le moteur pendant la durée d’un tour, donne ici la relation :
On a également pour exprimer l’équilibre entre P et Q,
P a cos. r = y b, d’où coj. i = — ,
le
Celte valeur appartient à quatre situations du rayon de la manivelle . dans lesquels ont alternativement lieu les inaxima et minima de la vitesse de rotation. Les équations exprimant que la force vive acquise pendant que P surmonte Q, et la force vive perdue pendant que Q surmonte P, sont égales au double des quantités d’actions imprimées pendant ces intervalles, sont:
PQ\ ./ T ( a\
S r* 1) m -i (r'>-f!) = .(Ps V 1 4 y fr arc ( cos. = — 1 ,
S ra ühi ■+• — — ^ (r'a — r a) = 4 y b arc ^sin.= — ^ — 4Po^t — y 1
En avant égard à la relation P. 2 « = Q. ces équations donneront également
S r2 D m» H = V 1 arc f cos. = —
g t>' 2 — r 2 L ic2 r \ ic
98. Si l’on suppose, comme dans le n“ 96, que les vitesses extrêmes v, r’
doivent différer au plus de la quantité — d’une vitesse moyenne V. on aura
pour déterminer le moment d'inertie de la roue,
S r1 1) ni — -4- — I y 1 arc
99. S'il s’agissait d'une machine dont l’objet ne fût pas d’élever un poids Q, mais d'exercer, à une distance quelconque de l’axeC, un effort dontlavalcur fut indépendante de la vitesse de rotation de cet axe, l’équation précédente se réduit à
«Par / 4 2
S i 'J I) m — 1 y 1 arc
100. Reprenons le cas du n“ 9o, en tenant compte de l’effet du frottement sur les tourillons de l'axe C. Nommons :
M le poids de la roue = g S D in ; p le rayon des tourillons de l'axe C ; f le rapport du frottement à la pression;
v la valeur de la vitesse angulaire de la roue au bout du temps t : x la valeur de l’angle ACM au bout du même temps.
L’axe est constamment chargé de l’effort vertical P, et des poids Q, M. De plus, par l’effet de la variation du mouvement du poids Q, cet axe supporte Q dv
encore l’effort vertical —b~. Ainsi, la résistance due au frottement est
L’équation du mouvement de la roue, exprimant que, dans chaque élément du temps, la force vive acquise est égale au double des quantités d’actions exercées est donc, pendant que la manivelle descend dans le demicercle E A F .
^Sr2Din-t i>J ^ r d p = a cos. x — Oi-/p^P+(J+M + -/i — ^ J e tf *
Celte équation, puisque vdl= ~ d. r. revient à j^S d I) »i -r -*-fb p)J r il v = — [P a cos. x — 0* — f t ( P M > ] il x ;
LEÇONS SLR L’APPLICATION
et elle conviendra, au cas où la manivelle monte dans le demi-cercle F B E, en y faisant P = a.
En intégrant, on aura
T Q "Ie*
I S r1 D »n (b2 -\- fb o) I — = const. — P a sin. .r-i-(QA-i-/'p(P-+-Q-t-M)].r.
D’après ce résultat, il est facile de déterminer, comme ci-dessus, le moment d’inertie SraD/w, de manière que le mouvement soit régulier, et que la vitesse demeure constamment comprise entre deux limites données. La régularité du mouvement exige qu’à la fin de chaque tour reprenne la même va-
leur. Or quand la manivelle est au point E on a .r= — , et la valeur delà
