AA A' — A A* A'— A
d’où l’on déduit, en substituant ces valeurs dans l’équation précédente,
rn = .
158. D’après un grand nombre d’expériences faites sur l’air atmosphérique par MM. Gay-Lussac et Welther, la valeur moyenne qui convient à la constante m pour ce fluide est
(Voyez la Mécanique céleste, tome V, page 126.)
On n’a pas d’expériences applicables aux autres fluides élastiques.
159. En vertu de cette détermination la formule du n° 155 deviendra, pour l’air atmosphérique,
et l’expression delà chaleur spécifique du n” 156,
D’après les expériences de MM. Delaroche et Bérard, la chaleur spécifique de l’air atmosphérique, sous la pression 0",76, est 0,267. Donc
fl. a
Il 1
d'où B - 0,207 ( 0,70 ) 017î7. — .
Il a
Au moyen de cette valeur, l’expression de q devient
et si l’on prend pour point de départ l’état de l’air à la température zéro, sous la pression 0m,76 ; ou si l’on veut que q — o quand v = o°, h = o“,76, il viendra définitivement
r/0,70 Y-7777 l-f-at» 1-1
?=0’267L(— J - ri
L’expression de la chaleur spécifique est
dq r o,7o y.7777
dv \ h J
formule qui s’accorde assez bien avec le petit nombre d’expériences qui ont été faites sur la chaleur spécifique de l’air sous diverses pressions.
160. L’expression précédente de q servira à calculer les quantités de chaleur qui doivent être fournies à un kilogramme d’air atmosphérique pour le porter à la température v et à la pression h. On peut aussi employer cette formule à déterminer les variations de température qui surviennent dans une masse d'air par l’efFet d’une condensation ou d’une dilatation subites, pendant lesquelles la quantité de chaleur contenue dans cette masse est supposée demeurer constante.
En effet , soient h' et v’ les valeurs qu’auront prises, après la condensation ou la dilatation, les quantités *, h et v qui subsistaient auparavant; on aura également,
>0.1717 |+at,
d’où
Mais on a — =-
d’où l’on déduit
1 +op / h 1 + ar ’\h'
l + af'
Donc
/I + ap V»”* / V”
-(ïttJ UJ
équation au moyen de laquelle la température acquise par le fluide est donnée en fonction du rapport des pesanteurs spécifiques, ou du rapport inverse de volumes, et de la température primitive.
161. Les équations des n“* 155 et 156 peuvent s’appliquer à la vapeur aqueuse ; mais on manque d’expériences précises qui puissent servir à la détermination des constantes. Les hypothèses qui conduisent aux résultats les plus simples, et qui paraissent en même temps se rapprocher le plus des effets naturels, consistent à admettre en premier lieu que la chaleur spécifique de la vapeur d’eau, prise à la température 100“ sous la pression 0",76, est égale à celle d’eau à l’état liquide. D’après cette supposition l’équation du n” 156 devient
B H (0,76)' — d’OÙ — =—
Cette valeur, substituée dans l’expression q du n" 155, donne
»— *• 1+üC
et si l'on veut prendre pour point de départ l’état de l’eau liquide à la température 0", comme on sait qu’il faut transmettre à cette substance 650“ de chaleur pour la faire passer de cet état à celui de vapeur à 100° sous la pression 0m,76, il faudra que cette équation soit satisfaite par les valeurs
v — 100°, h = 0m ,76, q = 650°. Elle deviendra donc
BT'G-MtH-
161 bis. En second ben, à l’égard de la constante m qui reste encore indéterminée, on la supposera égale à l’unité, ce qui réduit l’expression précédente à
Cette dernière supposition revient à regarder la quantité de chaleur nécessaire pour faire passer l'eau de l'état liquide à l’état gazeux, comme étant
me
constamment égale à 550°, à quelque température que la vapeur soit formée, ce qui est conforme aux expériences de M. Southern. ( Voyez pour ces expériences le System of mechanicnl philosophy de J. Robison, tome II. page 160 et suivantes.)
(La formule précédente s’éloigne des notions adoptées par M. Clément, qui conduiraient, pour la vapeur d'eau supposée au maximum de densité, à l’équation q = 650°. M. Clément regarde en effet la quantité de chaleur contenuedans un poids donné de celte vapeur comme étant la môme, à quelque température que la vapeur soit formée. M. de Laplace remarque que cette supposition obligeant à faire dans l'équation de n” 155 le coefficient B=o, et par conséquent à regarder la chaleur spécifique de la vapeur d’eau comme nulle, ne peut être admise (Mécanique céleste, tome V, page 140). M. Poisson a donné {Annales de Chimie , aortt 1823) l’expression suivante de la quantité q pour la vapeur d’eau :
Cette expression satisfait à très-peu près au résultat admis par M. Clément, et suppose la chaleur spécifique de cette vapeur, prise à 100" sous la pression 0’",76, égale à 0.847 (conformément à une expérience un peu incertaine de MM. Delaroche et Bérard. )
qcaxtitRs d’actiox pu peuvixt Etre obtexiex ex faisaxt varie* va* l'actiox de la
Cil AI. El H LE YOl.l'HE ET LA FORCE LI.ASTIplE DES GAI ET DES VAPEURS.
162. La quantité d’action qui est le résultat nécessaire de la formation d’un gaz ou d’une vapeur, peut être considérée dans deux hypothèses différentes, savoir :
1” Quand le fluide élastique ayant été formé sous une pression donnée, qui demeure constante, on le laisse échapper dans l'air atmosphérique, ou bien on le condense immédiatement, s’il s’agit d'iiqe vapeur;
2" Lorsqu’avant de laisser échapper le fluide, ou de le condenser, on lui fait produire son action de manière qu’il se dilate en exerçant des pressions progressivement décroissantes.
163. Dans le premier cas, concevant le fluide élastique formé dans un cylindre, dont la section transversale est l’unité superficielle, et agissant sur un piston qui se meut dans un cylindre, on a pour l'expression de la quantité d'action produite
H hauteur de la colonne de mercure mesurant la pression constante sous laquelle la vapeur est formée, et qui s’exerce contre la face mtérieure du piston :
H' hauteur de la colonne de mercure mesurant la pression exercée contre la face extérieure du piston:
A volume de la vapeur produite;
* poids de l'unité de volume de mercure (le mètre cube de mercure pèse 13568 kil.).
164. En considérant maintenant le second cas, c’est-à-dire celui où on laisse le gaz se dilater, on supposera que, pendant cette dilatation , la température qui lui a été donnée est maintenue constante , et l’on remarquera que le volume primitif A du gaz étant devenu a par l'effet de la dilatation,
la force élastique primitive H sera devenue H— .Donc la variation da du
volume donne lieu à une quantité d'action
da, ta sorte
que, si on laisse le gaz se dilater jusqu’à ce que le volume A soit devenu Ai, la quantité d'action totale résultant de cette dilatation sera exprimée par
da \ H H'J = tcHA log. * H' (A, — A);
ou bien si l’on nomme H, la force élastique qui reste au gaz lorsque son vo-
lume est devenu Ai, d’où H, = A , par
if A
165. En ajoutant cette expression à celle du numéro précédent, on a pour l’expression de la quantité d'action totale qui peut résulter de la production d’un volume A du fluide élastique,
H log. — -+- 1 .
Lu, H, J
H est la pression sous laquelle le fluide est formé , H, la force élastique qui lui reste après sa dilatation ( pendant laquelle la température est supposée constante), H' la pression qui a lieu contre la face extérieure du piston.
166. La valeur de l’expression précédente augmentera évidemment à mesure que Hi sera plus petite. La plus petite valeur qu’il soit possible de supposer à cette quantité étant H', on a simplement
ic A . H log. —
pour l’expression de la limite de la quantité d’action qu’il est possible d’ob- . tenir [ij.
[i] Le logarithme des formules précédentes est hyperbolique : si on le prend dans les tables ordinaires, il faut le multiplier par 3,5030.
UfS
167. Si l'on veut connaître la quantité d’action qui peut être donnée par un poids déterminé de fluide élastique , il suffit de mettre à la place de A . dans les formules précédentes . le volume correspondant h ce poids , sous la pression H, et à la température à laquelle le fluide est formé.
Pour l’air atmosphérique , par exemple, le mètre cube à 0“ sous la pression O”, 76, pèse 1‘" ,5. Par conséquent le volume occupé par un kilogramme d'air est alors 0m 0 , 7692. Donc supposant que la température actuelle de l’air soit V', et la pression atmosphérique H', le volume occupé par un kilogramme d’air, sera
Supposons qu’ayant enfermé cet air dans une capacité, on l'échauffe jusqu'à la température V, sans laisser augmenter son volume, ce qui lui fera prendre une force élastique H , donnée par l’expression
et qu’ensuiteon le laisse dilater, en le faisant agir sur un piston qui supporte sur sa face opposée la pression H', et en maintenant la température V. La quantité d’action obtenue de cette manière sera donnée par la formule du n" 164, en y faisant Hi= H', et en y substituant pour A et H les valeur^précédentes on aura donc
135«8kil- (()"■'■, 7<i!>2) (O™ ,70) 1(1-
■ 0,00375 V) log. 0,00375
pour la limite de la quantité d'action que l’on peut obtenir en agissant ainsi sur un kilogramme d’air. V' est la température à laquelle on prend cet air. et V la température à laquelle il est porté, et maintenu pendant sa dilatation.
168. Pour la valeur aqueuse, le mètre cube, à 100° sous la pression 0",76, pèse 0“'.59. Par conséquent, à la température V sous la pression H, le mètre cube pèsera
0fc,59. . ,
et un kilogramme de vapeur occupera un volume exprimé par 0,76 1 -4- 0,00375 . V
Supposons que l’on fasse passer un kilogramme d'eau liquide à l’état gazeux sous la pression H , la vapeur agissant contre un piston dont la face opposée supporte la pression H’; et qu'on laisse dilater cette vapeur, sa température étant maintenue constante, jusqu’à ce que sa force élastique soit réduite
à H . La formule du n° 166 donnera en remplaçant A par la valeur précédente ,
1350IP ( 1“ c-,7) ( 0"',70) log.—
pour la limite de la quantité d’action qui peut résulter de la production d’un kilogramme de vapeur. II et V doivent se correspondre dans la table du n° 153, H' correspond dans la même table à la température à laquelle se fait la condensation.
169. On a supposé dans les n°* 163 et suivants que le fluide élastique déplaçait un piston contenu dans un cylindre. Ce mode d’action n’est pas le seul qui puisse être employé.
Concevons la vapeur aqueuse formée au fond d’un vase contenant un fluide pesant; etque , en s’élevant dans ce fluide, elle s’engage dans les aubes d’une roue qui s’y trouve plongée, et à laquelle un mouvement de rotation sera imprimé. Nommons V la température du fluide :
n le poids du mètre cube de ce même fluide ;
K la hauteur verticale que la vapeur parcourt ayant de s’échapper dans l’atmosphère à la surface supérieure du fluide.
Lorsque la vapeur, en s’élevant dans le fluide, se trouvera à la profondeur r au-dessous de la surface supérieure, elle supportera la pression atmosphérique que nous désignerons par II', plus la pression duc à la hauteur z. Le volume occupé par un kilogramme de vapeur sera donc alors
R 1,373 ir h — 2
Doue, en s’élevant de la hauteur dz, un kilogramme de vapeur produira la quantité d’action
Cette expression étant intégrée depuis z = ç jusqu’à z = o, donnera pour la quantité d’action totale produite par le kilogramme de vapeur.
* { 1,7) (0.76) loB. Ç;
expression qui, abstraction faite du terme c qui pourra être négligé dans les
cas ordinaires des applications, revient à la formule du numéro précédent.
170. Concevons encore qu’on fosse écouler la vapeur par un petit orifice hors d'un vase qui serait repoussé en sens contraire par l’effet de la force de réaction. Désignant par II la pression sous laquelle la vapeur est formée, et qui a lieu dans le vase ; par H’ la pression qui a lieu dans le milieu où l’écoulement s’opère; la vitesse d’écoulement sera
\J 9*.og.-".
k désignant le rapport de la pression à la densité qui convient à la vapeur.
Soit UJla vitesse avec laquelle le vase se meut en sens contraire de l’écoulement du fluide : on aura
2 k log. U
ir
* pour la vitesse absolue avec laquelle la vapeur entre dans le milieu où l'écoulement s’opère. La quantité d’action transmise au vase étant égale à la moitié de la force vive qui peut être produite, moins la moitié de la force vive conservée par le fluide, on a donc ici
pour la quantité d’action transmise par l'effet de l’écoulement d'uu kilogramme de vapeur.
Le maximum de cette quantité aura lieu quand la vitesse U du vase sera égale à la vitesse d’écoulement de la vapeur, et sera
il H
— . k log. — .
Comme l’on a pour la vapeur aqueuse, p étant la densité
la formule précédente devient
*(1.7) (0.70) loi;. — .
expression conforme à celle du n" 168.
Il parait, d’après ce qui précède, que, de quelque manière qu’on fasse agir la vapeur, la limite de la quantité d’action que l’on peut obtenir est
représentée parla méine expression. On remarquera d’ailleurs que les vitesses de la vapeur s'écoulant dans l'air atmosphérique étant respectivement de
Ï40T” quand elle est produite tous la preuion de 1,18 almaepltères.
il serait nécessaire que le vase se mût avec une vitesse excessive pour que la quantité d’action qui est produite fût utilisée.
On doit remarquer encore que le calcul précédent suppose que le vase d’où la vapeur s’écoule se meut en ligne droite : si ce vase est mû circulairement, comme la force centrifuge augmente la vitesse d’écoulement du fluide, on n'obtiendrait plus alors le maximum d'effet qu'en donnant à ce vase une vitesse infinie.
QUANTITÉS d'action Qlll PEUVENT ETHK OBTENUES EN DALLANT LNE QUANTITÉ DONNÉE DE COMBUSTIBLE.
171. L’évaluation de ces quantités d’action s’obtiendra par le rapprochement des résultats présentés dans les articles précédents.
Considérons en premier lieu l’air atmosphérique, cl supposons qu’il soit pris k la température de 12”, et échaufféà celle de 500”. La formule du n° 167 donnera pour la quantité d’action obtenue en agissant sur un kilogramme d’air, en faisant v = 12”, V=500",
15568 ( 0,7G92) (0,70 ) 2,875 log. 1,83 I = 8566*X*
l)’un autre cûté, la formule du n" 159, en y faisant h = 0“,7t>, et v = 12* ou V=500”, donnera {tour la quantité de chaleur contenue dans un kilogramme d’air à ces deux températures, en sus de celle qui y serait contenue k 0” sous la même pression.
en sorte que la dépense de chaleur sera de 150”, 5.
On aura donc
pour la quantité d’action obtenue par degré de chaleur dépensée.
Comme, d’après le n” 150, un kilogramme de charbon de terre peut donner 7000” de chaleur, il s’ensuit que la quantité d’action obtenue par kilogramme de charbon brûlé est ici 462000 k * m environ.
172. Considérons en second lieu la vapeur aqueuse, et supposons qu’elle
soit produite à 182° sous la pression de 10 atmosphères, et condensée à 12° sous la pression de 0",01Ü7. En faisant dans la formule du n° 168 H=7“.6, H' = 0“,0107, V = 182°, on aura pour la quantité d’action obtenue par kilogramme de vapeur formée ,
13508 (1,7) (0,76) log. = 140870" X".
D’après le n° 161, la quantité de chaleur dépensée par kilogramme de vapeur, en supposant l’eau prise à 12°, sera
On aura donc
pour la quantité d’action obtenue par degré de chaleur dépensée.
La quantité d’action obtenue par kilogramme de charbon brûlé sera 1372000* x - . Ce résultat peut être regardé comme la limite théorique de l’efFet qu’il est possible d’obtenir dans les machines à vapeur actuellement employées, 0(1 la pression sous laquelle la vapeur est formée ne dépasse guère 10 atmosphères.
173. En désignant toujours par V et V' les températures auxquelles la vapeur est formée et condensée, et adoptant la seconde des formules indiquées n° 153, on aurait
Il 0, 2847 -+-0,0071 55. V
log. -- = 5 log
Mettant cette valeur dans la formule du n° 168, et adoptant également l’expression du n° 161, il viendra
13568 ( 1,7) (0.76 ) . 5 log.
pour l’expression de la quantité d’action qui peut être obtenue par chaque degré de chaleur employé à former la vapeur.
Supposons, comme ci-dessus, V' = 12”; le facteur variable de cette expression devient
(1 -4-0,00375 . V) log.
En y faisant successivement
, V = 100”, ce fadeur croîtra comme les nombres 110
