TOUTES
211. Parmi les machines à élever l’eau, les pompes sont celles qui méritent le plus d’attention , qu’on emploie le plus fréquemment et dans les circonstances où l’on doit produire les plus grands effets ; on s’en sert surtout quand l’eau doit être élevée à une hauteur considérable.
Les pompes se divisent en plusieurs espèces.
212. Pompe foulante. La pompe indiquée (Fig. 88) est noyée dans l’eau du réservoir inférieur ; elle foule de bas en haut. Quand le piston P descend, la soupape S est fermée, et la soupape S' ouverte laisse passer l’eau au travers du piston : quand le piston monte, la soupape S est ouverte et la soupape S' fermée.
La pompe indiquée (Fig. 89) est également noyée; elle foule de haut en bas. Quand le piston P descend, la soupape S est ouverte et la soupape S' fermée; le contraire a lieu quand le piston monte.
Les pompes noyées ont un grand inconvénient dans la difficulté des réparations. On trouve plus avantageux de faire fouler de bas en haut que de haut en bas.
Dans la pompe (Fig. 88), l’effort du piston, quand il foule, est, abstraction faite des frottements et autres résistances, égal au poids d’une colonne d’eau dont la surface du piston est la base, et dont la hauteur est la distance verticale du niveau du réservoir inférieur à la surface supérieure de l’eau dans le tuyau montant.
Dans la pompe (Fig. 89), la hauteur de la colonne d’eau qui mesure l’effort du piston doit être comptée du dessous de ce piston à la surface supérieure de l’eau dans le tuyau montant.
213. Pompe aspirante. Dans la pompe (Fig. 90), quand le piston P s’élève , l’eau monte dans le tuyau d’aspiration par l’effet de la pression atmosphérique , et alors la soupape S est ouverte et la soupape S' fermée. Quand le pistou P descend, la soupape S est fermée et la soupape S’ ouverte ; l’eau qui avait été élevée au-dessus de S passe au travers du piston, et est élevée sur sa tête à l’ascension suivante.
La hauteur de la colonne d’eau qui mesure l’effort du piston est la différence de niveau des réservoirs supérieur et inférieur.
POMPE ASPIRANTE ET POtLASTE.
214. La pompe (Fig. 91) offre une disposition semblable à celle de la pompe (Fig. 89) indiquée n"21î; mais la soupape S' est placée au haut d’un tuyau d’aspiration qui plonge dans l’eau du réservoir inférieur.
La hauteur du tuyau d’aspiration doit être moindre que celle de la colonne d’eau qui fait équilibre à la pression atmosphérique (environ 10“,3).
L’effort exercé sur le piston dans la pompe (Fig. 91) est, quand il monte, égal au poids d’une colonne d’eau dont la section du piston P est la base, et dont la hauteur est la distance de la surface inférieure de ce piston au niveau du réservoir inférieur. Quand le piston descend, la hauteur de cette colonne d’eau est la distance de la surface de l’eau dans le tuyau montant à la surface inférieure du piston.
Les pompes aspirantes ont l’avantage de n’être pas noyées dans le réservoir inférieur. On peut, comme on le voit (Fig. 92), réunir cet avantage à celui de fouler de bas en haut, en élevant d’abord l’eau dans une bâche placée à une petite hauteur au-dessus du réservoir inférieur, d'oii elle est reprise par une pompe foulante agissant comme la première pompe indiquée n° 211.
On peut aussi remplir le même objet plus simplement en employant la dis-
position représentée (Fig. 93). Quand le piston P descend, les soupapes S, T sont fermées, et il y a aspiration par la soupape S'; quand le piston monte, la soupape S' est fermée, et l’eau est refoulée de bas en haut.
La disposition des tuyaux et soupapes, pour le jeu des pompes, a été variée de beaucoup de manières. On doit distinguer celles qui ont pour objet d’imprimer un mouvement continu à l’eau contenue dans le tuyau montant. Cet objet sc trouve naturellement rempli quand le même tuyau montant communique à deux ou plusieurs corps de pompe, où les mouvements simultanés des pistons ont beu dans un sens contraire. On peut satisfaire à la même condition, comme on le voit (Fig. 94), en employant un seid corps de pompe et deux pistons dont l’un descend pendant que l’antre monte; enfin on peut n’avoir, comme dans la fîg. 95, qu’un seul corps de pompe et un seul piston. Quand le piston P monte, il aspire par la soupape T qui est ouverte, ainsi que la soupape S, qui laisse passer l’eau soulevée sur la tête du piston; quand le piston descend, il aspire par la soupape T' et refoule de lias en haut l’eau qui passe en S'.
La condition de procurer à la colonne d’eau contenue dans le tuyau montant un mouvement continûment aussi être remplie au moyen d’un réservoir d’air établi près de l’extrémité inférieure de ce tuyau; l’air contenu dans ce réservoir, comprimé quand le piston refoule, réagit quand le piston se meut en sens contraire, de manière à entretenir le mouvemeut ascensionnel de l’eau. Il faut alors placer, un peu au-dessus de la soupape par laquelle se fait l’aspiration, une petite soupape ou un robinet communiquant avec l’air extérieur, qui s’ouvre à l’instant de l’aspiration, et laisse entrer un peu d’air pour renouveler celui que contient le réservoir, qui est absorbé et entraîné en assez grande quantité par l’eau élevée, quand elle est soumise à une forte pression.
215. Dans les appareils précédents, l’eau est élevée par l’effet du mouvement rectiligne alternatif du piston. On peut aussi donner au piston un mouvement de rotation alternatif, comme dans la pompe indiquée (Fig. 96). M est une cloison fixe, P le piston mobile. Lorsqu’il tourne dans le sens indiqué par la flèche, l’eau est aspirée par la soupape S, et foidéc de bas en haut par la soupape T. Lorsque le piston tourne en sens contraire, l’eau est aspirée par la soupape S' et foulée de bas en haut par la soupape T'. Ce principe a été appliqué par Bramah à une pompe à incendie.
La pompe indiquée (Fig. 97) opère par un mouvement de rotation continu. Le plateau tournant M est contenu dans un tambour excentrique, et porte les cloisons P qui peuvent glisser à frottement doux dans des encastrements pratiqués dans ce plateau. Des ressorts obligent ces cloisons à s’appliquer constamment contre la paroi du tambour fixe, de manière à s’opposer au passage de l’eau ; l’eau est aspirée par le tuyau A et forcée à s'élever par le
tuyau B. Des pompes construites sur ce principe sont exécutées à Paris par M. Dietz.
216. Les lois de l’équilibre des pompes et les conditions nécessaires pour en assurer le jeu étant indiquées dans les Traités de mécanique, on considérera seulement ici les pompes dans l’état de mouvement. Prenant pour exemple la pompe aspirante et foulante, on nommera
H la distance verticale des niveaux de l'eau dans le réservoir inférieur A (Fig. 98), et la bâche supérieure E ou la hauteur à laquelle l'eau est élevée ;
z la hauteur variable , au bout du temps t, de la surface inférieure a du piston au-dessus du niveau A du réservoir inférieur;
Z la moyenne des valeurs de z qui ont lieu pendant la durée de la course du piston;
ü l'aire de la base a du piston ;
(j la vitesse du piston pendant sa montée ;
U, la même vitesse pendant la descente du piston ; d le diamètre i
o l’aire de la section du tuyau d'aspiration BC;
/ la longueur '
S le diamètre i
u l’aire de la section | du luyau d’élévation DE;
x la longueur >
m le rapport de la section de la veine contractée, après l’entrée de l’eau dans le tuyau d’aspiration en B, avec la section de ce même tuyau ; n le rapport de la section de la veine contractée, après le passage de l’eau dans la soupape C, avec la section du tuyau C« où se meut le piston ; p le rapport de la section de la veine contractée, après le passage de l’eau par le clapet D, avec la section du tuyau d’élévation DE;
II le poids de l’unité de volume d’eau;
g la vitesse imprimée par la gravité aux corps pesants dans l’unité de temps;
P l'effort du moteur supposé appliqué à la tige du piston pendant la montée ;
P, le même effort pendant la descente du piston ;
Q le poids du piston et de sa tige ;
F la résistance provenant du frottement du piston contre le corps «le la immpe.
Considérons en premier lieu l’ascension du piston , pendant laquelle la soupape d'aspiration C est ouverte et le clapet D fermé. Dans la réalité, le piston prend toujours un mouvement variable ; mais, comme dans ce mou-
/ au /auv\-i
(a-r-6(vJ )rdt’
veinent la vitesse acquiert dans un temps extrêmement court une valeur qui n'augmente plus d’une manière appréciable, nous supposerons d’abord, pour évaluer l'effet de la machine, le mouvement du piston uniforme pendant la durée entière de sa course; nous regarderons donc la vitesse U comme constante. Cela posé, on remarquera 1° que dans le temps infiniment petit dt, le moteur dépense la quantité d’action P.Urft; que le poids du piston et son frottement produisent, en sens contraire, des quantités d'action Q.Urf t et F .Vdt; que la résistance provenant du frottement de l’eau qui s'élève dans le tuyau
UU
d’aspiration, où la vitesse est , produit également, en sens contraire
(conformément au n” 109 de la 2' partie des Résumés des leçons de méca-
n us au /au\»\ au</<
nit/ue appliquée ), la quantité d’action ( * — 6 ( — ). ; enfin,
que l'élévation de la tranche d'eau qui suit le piston donne lieu à une quantité d’action naüdf. z, en sorte que l’on a
pour l’expression de la quantité d’action produite pendant ce temps. 2“ Que l’entrée de l'eau dans le tuyau donne lieu pendant le même temps à la perte
de force vive — fl U dt. ( 1 ! , et le passage de l’eau, par la sou-
pape d’aspiration C, à la perle de force vive — a U dt. UJ^ 1 J ; enfin
que la tranche d’eau qui a passé dans le corps de pompe a acquis la force n
vive — a U d t . U1 ; en sorte que l’on a
n ra»c>/i V /t Y T
pour l’expression de la force vive perdue et acquise pendant le temps infiniment petit dt.
Égalant le double de la quantité précédente à celle-ci, et supprimant le facteur commun U dt, il viendra
nü4i/ au /uin*\ nQu*r0Vi V /i V î
P-Q-F-na* « — -»-6 — = -f — i + [ — 1 1-4-1 1.
g 0 d\ 0 \ 0 J J 2 g L0JVm / V*» / -I
Cette équation donnera P en fonction de z, qui est variable : en y remplaçant z par sa valeur moyenne Z, elle donnera la valeur moyenne de P, qui est par conséquent
r— <>+F+naz + -
nü4// uu /uuy\ lUrUYI Y /t Y T
g O tt\ O \ O y / 2ê/Lo,\»# / \ n ) J
LEÇONS sua L’APPLICATION
217. Considérons maintenant la descente du piston pendant laquelle la soupape d'aspiration C est fermée , et le clapet D ouvert. En regardant toujours la vitesse Ui comme constante pendant toute la durée de la course du piston , on verra de la même manière que dans le temps infiniment petit dt, 1* la quantité d’action dépensée est
n fi 4 x
f— nfi (h — *)
gai
2” la force vive perdue et acquise est
n rfi’U,» /) \ fi’U,» -I
Égalant le double de la quantité précédente à celle-ci, il vient
r n fi4x ( ou, /fiüiV n
Lp,>0 — F-nfitH-,) — 7~7 («-+«(— J J]
=„a — [ - -tY-t- - - il
a g Loi* \p J a1 J
En remplaçant de même z par sa valeur moyenne Z, cette équation donnera pour la valeur moyenne P,
Il fi 4 X y QU,
— 0 + F-4-nfi(H-Z)H a h S
-t-IIfi
218. En multipliant chacune des valeurs de P et P, par la course du piston, et les ajoutant, on aura la quantité d’action dépensée pour produire une oscillation du piston ; d’autre part, en supposant qu’il n'y ait pas d’eau perdue, l'effet utile obtenu à chaque oscillation du piston est le produit de fi n H par la course du piston. Donc le rapport de l'effet utile à la quantité d'action dépensée est ici
nQii
Cette formule met en évidence l’influence de la longueur et du peu de grosseur des tuyaux, aussi bien que celle des étranglements, et d’une vitesse trop grande imprimée au piston sur l’effet obtenu; elle ne tient pas compte d’ailleurs des changements brusques de direction qui peuvent exister dans les tuyaux et diminuer sensiblement le produit. On connaît du reste, par la
solution précédente, les efforts qui doivent être appliqués respectivement à la tige du piston pendant sa montée et pendant sa descente pour faire marcher l'appareil.
219. Cette solution ne tient pas compte, non plus, de la quantité d’action qu'il serait nécessaire de dépenser pour imprimer h chaque oscillation le mouvement au fluide contenu dans la tuyau d'ascension, si l'écoulement de l'eau dans ce tuyau n’était pas maintenu constant, ou sensiblement constant, par l’un des moyens indiqués n" 214. Dans un tel cas, il y aurait trop d’erreur à supposer le mouvement du piston uniforme pendant toute la durée de la course. Il est utile de pouvoir apprécier la quantité d’action dont il s’agit, ce qui exige la recherche du mouvement varié du piston. On supposera le piston mù par un effort constant P appliqué à la tige, et l'on ne tiendra point compte de la masse du corps par lequel cet effort serait transmis. Pour ne pas compliquer sans utilité les formules, on supposera d'ailleurs le coefficient * nul dans l’expression de la résistance provenant du frottement de l’eau dans les tuyaux, et l’on donnera au coefficient S la valeur indiquée dans le n° 114 de la 2e partie du Résumé des Leçons.
Considérons en premier lieu l’ascension du piston. Cherchant la force vive
du système au bout du temps l, on aura pour celle du piston, — UJ; pour
celle de l’eau contenue dans le tuyau d’aspiration BC, — lo. ; et pour
celle de l'eau contenue dans le tuyau où se meut le piston, — (2 — h) Q. U*.
en désignant par h la hauteur de la soupape C au-dessus du niveau A du réservoir inférieur. La force vive totale est donc
0 II fl s- h
— -t- — ü1 uJ. — -t
g g \ 0 Si
et par conséquent la force vive acquise pendant le temps infiniment petit / [l s — h\Vdt\
rffestf parce que — 1 — - — J = — - - J
— 2ü(/o-i — ai.30<iu —h — ac* .
dt.
On a vu n” 216 que l’entrée de l’eau dans le tuyau d’aspiration en B, et le passage de l’eau par la soupape C, donnaient lieu dans le même temps à la perte de force vive
WJ
58 i LEÇONS SUR L’APPLICATION
par conséquent la somme des forces vives acquises et perdues pendant le temps d t est
-îCi/i-i — a. au «/u
( 1 Vl
D’un autre côté, en ayant égard à ce qui a été dit ci-dessus, ou aura comme dans le n" 216, pour la somme des quantités d’actions -dépensées dans le même temps
/ n a a»uJ\
( p-o-F-na* . € — lu a.
Égalant le double de cette dernière quantité à la première , et divisant par 2 U d t, il viendra pour l'équation du mouvement du piston
o du n du ( i a-h\ n a *i a»u3
P-O-F-UBs Ü5 — ( -4 .6
g d t g dt\ 0 ü / g O d O1
- îï “■■D '/-"(é-*)’] —■
Dans cette équation U et * sont variables et fonctions de t. Comme s varie généralement très-peu, il y aura très-peu d'erreur à regarder cette quantité comme constante, en lui substituant sa valeur moyenne Z. Alors en faisant, pour abréger,
on// z-h\
b = p-o — f — naz,
n a 4/ a* n r a* / 1 y / 1 Vn
g 0 d O1 îj L O3 \m y V» y J
l’équation précédente deviendra
<tt = -
ADU
