C 2C B 21/BC
formules qui indiquent la correction qui doit être apportée à la valeur de l'espace parcouru, ou du temps de la course , exprimée au moyen de la vitesse
finale \/ — lorsqu’on a égard à la variation du mouvement du piston,
220. Considérons en second lieu la descente du piston. Cherchant la force
vive du système au bout du temps t, on aura pour celle du piston — II,»;
pour celle de l’eau contenue dans le tuyau où se meut le piston
— (z — h) B. Ui*; et pour celle de l'eau contenue dans le tuyau d’éléva-
tion DE, — x» . . La force vive totale est donc
9 9 \ O rn)
S86 LEÇONS SÜR L’APPLICATION
et par conséquent la force vive acquise pendant le temps infiniment petit d t / fs - h x \ ûo,dt }
est (parce que d ! — - — i — J = — h — J i
’ q H fz-h x\ n /Û* \
— 2l',rfCl-4--ü2.2U, dO,( 1 U- — — — 1 j.
g g \ a »/ g WJ
La force vive, perdue pendant le même temps au passage de l’eau par le clapet n a*t),»/i V
D, étant — U U,d t. ( 1 ), on a donc pour la somme des forces
g tù1 \ p •
n f s —h i\ n rü5 a1/ 1 y-i
acquises et perdues pendant le temps d t
— 2U,dlJ,
D’un autre côlé, la somme des quantités d’action dépensées pendant le
même temps est, comme on l'a vu n°217,
r n a 4 x aj u’N
p,-»-o— F-na (u — *) -s — 1 /.
Égalant le double de cette quantité à la précédente, il viendra pour 1 équation du mouvement du piston
QdV, n dü,/s — A x\
ra»
— au,»
tù $
Par conséquent, supposant comme ci-dessus, z constant, et remplaçant cette quantité par sa valeur moyenne Z , faisant pour abréger
Al=- + -v( -t--,-
B, = P, -4- O — F — Il U(H — Z),
n a 4x a> narü’ aj/« Yn
^ u $ u!1 2<7 Lco* »a\ p /J
on parviendra , comme dans le n° précédent, aux équations très-approchées
— log. 4, et
Al A,
221. Ces résultats donneront les moyens d’apprécier l'influence de la difficulté d'imprimer de nouveau le mouvement, lors de chaque changement de direction du piston , à la masse du piston même et à celle du fluide contenu dans les tuyaux. Supposons que l'on demande les valeurs des efforts P
et P, nécessaires pour opérer respectivement la descente et la montée du piston avec les vitesses moyennes U,ct U,. En négligeant les corrections qui viennent d’ètre obtenues , on poserait les équations
v = V-, vt=V-,
qui, étant résolues par rapport à P et P,, donneraient les valeurs trouvées n” 216 et 217. Mais, en employant les corrections dont il s’agit, il faudra écrire les équations
U=V log. 4, u, =V
C ÎC.8 C, 2C, .8,
et les résoudre également par rapport à P et P,. On voit par là qu’il suffit, pour avoir égard à la perle d’effet dont on s’occupe ici , de mettre dans les
formules des n" 216, 217 et 218, U
log. 4 à la place de U ; et
U, -i log. 4 à la place de U, [il.
sc.e.
POUPE SP1RSEE.
222. Cet appareil consiste dans un tuyau courbé en spires dont les diamètres décroissent progressivement, et qui forme une roue tournant sur un axe horizontal (Fig. 99). Ce tuyau est ouvert à l'extrémité A, et aboutit à l’autre extrémité I à une capacité faisant partie de la roue et communiquant avec le tuyau d'ascension fixe MN. La roue est à moitié plongée dans l’eau du réservoir inférieur. En la faisant tourner dans le sens indiqué par la flèche, il entrera alternativement dans le tuyau AI des volumes à peu près égaux d’eau et d’air. En passant de spire en spire, l’eau et l’air se distribueront de la manière indiquée sur la figure, le volume des portions d’air diminuant progressivement à mesure qu’elles se trouvent soumises à des pressions de plus en plus grandes. Parvenu en I, l’air supporte une pression égale à la pression atmosphérique , plus celle qui est due à la somme des hauteurs verticales des colonnes d’eau AB, CD, EF, GII qui sont contenues dans toutes les spires , ce qui détermine la hauteur à laquelle l’eau peut être élevée dans le tuyau MN. Les proportions des parties de cette machine peuvent être réglées approximativement de la manière suivante. Nommant 11 la section du tuyau dans la première spire ABC;
» la section du tuyau dans la dernière spire GHI;
Rie rayon de la première spire ABC; r le rayon de la dernière spire GHI ;
H la hauteur verticale à laquelle on élève l’eau ;
[t] Log. 4 est ici un logarithme hyperbolique.
h la hauteur verticale de la colonne d’eau contenue dans la dernière spire G H I ;
» la hauteur de la colonne d’eau qui fait équilibre à la pression atmosphérique ;
E le volume d'eau qui doit être élevé chaque fois que la roue fait un tour : n le nombre des spires.
On remarquera que le volume d’air E, qui entre dans la première spire sous la pression », supportera, dans la dernière, la pression «-+-H, et deviendra
TJ
par conséquent E ; donc, pour régler les dimensions de la première et
de la dernière spire, ou aura
11 R U — E, 5nr»=E + E = E .
Tl 4- H "W -4— Il
Ces dimensions étant déterminées, on fera décroître uniformément le diamètre des spires intermédiaires. On connaîtra la hauteur verticale h de la colonne d’eau contenue dans la dernière spire GHI; celle de la colonne d’eau contenue dans la première spire ABC sera à fort peu près 2R. On peut donc
prendre R-+--A pour la hauteur verticale moyenne des colonnes d'eau cons
tenues dans toutes les spires ; par conséquent on doit avoir
équation qui détermine le nombre n.
223. Pour apprécier l'effet mécanique qui peut être produit par cet appareil, il faut considérer que l’air, parvenu en I, doit s’échapper en s’élevant avec l’eau dans le tuyau d'ascension M N. Par conséquent, ce tuyau doit contenir un mélange d’eau et d'air, et il en résulte que l’eau peut être élevée à une hauteur plus grande que la valeur de H exprimée par l’équation précédente. Supposons d'abord que l’on fasse abstraction de cette circonstance, c’est-à-dire admettons que l'air, parvenu en I, s'échappe subitement à travers l’eau sans diminuer la pesanteur spécifique de la colonne contenue dans le tuyau d’ascension. Comme il n’y a point ici de choc à l’entrée de l’eau dans la roue, et qu’on peut négliger la force vive de l'eau à l’instant où elle sort de l’appareil à l’extrémité du tuyau d’ascension, on voit que la quantité d’action dépensée à chaque tour de la roue sera simplement égale 1“ à celle qui est nécessaire pour élever le volume d’eau E à la hauteur H, c’est-àdire il E. H ; 2° à celle qui est nécessaire pour comprimer le volume d'air E
DF LA MÉCANIQUE, 5— PARTIE, de la pression * h la pression » -+- H, c’est-à-dire üE.n log. ■
Il E ( H ■+■ n log.
- . On a donc
ponr l’expression de la quantité d’action dépensée pour un lotir de la roue; et comme l’effet utile est n E. H, le rapport de ces deux quantités est ici
il r log.-
Cette expression est égale à - , quand H = o; elle augmente avec H et devient
égale à l’unité, si la hauteur à laquelle on élève l’eau est supposée infinie.
224. Admettons maintenant que l’air ne s'échappe pas subitement à travers l'eau dans le tuyau d'ascension M N, et que les portions d’eau et d’air qui ont été introduites successivement dans le tuyau AI, conservent le même ordre en s'élevant dans le tuyau M.N que nous supposerons vertical. Soit 7 la hauteur de la portion de ce tuyau qui sera occupée par le volume E. Les portions d’air, en s’élevant dans le tuyau, augmenteront progressivement de volume, à mesure que les pressions qu'elles supportent diminueront. Supposons que le tuyau contienne m colonnes d'eau et m colonnes d’air, la dernière colonne d’air à l’extrémité supérieure du tuyau, qui ne supporte que la pression atmo-
sphérique, occupera la hauteur 1 ; la seconde la hauteur -j ; la troisième
la hauteur y ■
-; et ainsi de suite jusqu'à la »i” qui occupera la hau-
teur T . D’après cela on aura, pour la hauteur à laquelle l’eau
peut être élevée.
ri + y n + 2 f
c’est-à-dire (voyez cette formule dans le Traité de calent différentiel et intégral de M. Lacroix, tome III, in-4", page 148),
- log. [ri -«-(«« — -
log. »
ou, en remarquant que mT équivaut à ce qui a été désigné par H dans les numéros précédents,
[n -h H — f log
2(ti-f-H-A)
BiT
2(ii-t-H — A)»
Vr
2 Tl»
- etc.. .J.
Le rapport de l'effet utile à la quantité d’action dépensée est donc, dans l’hypothèse dont il s’agit,
i |^iog.
h etc... |
H — A)» 2it» J
H-t-ii log. -
sa valeur sera d’autant plus grande que t sera moindre, et deviendrait égale à l'unité si l'on supposait cette quantité nulle. Ainsi la limite théorique de l'effet obtenu est, dans la pompe spirale, la quantité d'action dépensée. Dans la réalité, l’effet utile, abstraction faite des frottements, sera compris entre les valeurs données par les deux hypothèses précédentes.
On n’a pas d’observations sur le produit de cet appareil, dont il n’a été fait que très-peu d'usage ; on croit généralement qu’il a été exécuté pour la première fois à Zurich par André Wirtz , et la première description en a paru en 1766, dans le tome III des Mémoires de la société de Zurich , mais il avait été présenté à l’Académie des sciences de Paris en 1756 , par Vettman, Hollandais.
ROCE A FORCE CEETR1FÜSE.
225. Elle est formée par un assserablage de tuyaux, ou par un vase partagé par des cloisons qui composent un système mobile autour d'un axe vertical (Fig. 100). Quand on lui imprime un mouvement de rotation rapide, l’eau du réservoir inférieur A s’introduit dans le bas de la roue, s'y élève par l'effet de la force centrifuge résultant du mouvement de rotation, et sort par les orifices B placés au haut de la roue. L’appareil doit être disposé de manière que l’eau entre dans la roue sans choc et sans contraction, et qu'elle sorte par les orifices B dans une direction horizontale, en sens contraire du mouvement de rotation de ces orifices. Ces conditions étant remplies, on peut en évaluer l'effet de la manière suivante. Soit nommé
V la vitesse de rotation des orifices B ;
O l’aire de l’orifice par laquelle l'eau entre dans le bas de la roue ;
ü l’aire des orifices B dont on suppose l’entrée évasée ;
H la hauteur des orifices B au-dessus du niveau A du réservoir inférieur.
On verra facilement, comme dans le n° ISA (ou par le n“ 100 de la 2” partie des Résumé» des Leçons ), qu'il s'établira contre les orifices B une pression v»
due à la hauteur U. L’eau sortira donc de ces orifices, abstraction
faite des résistances provenant du frottement de ce fluide dans les tuyaux, avec la vitesse relative
« / , et avec la
vitesse effective...
/ V>-2grH
La quantité d’action fournie par le moteur devant
être égale à la quantité d’action représentée par l'élévation de l'eau, plus la moitié de la force vive que l’eau possède en quittant la roue , le rapport de l'efl'et utile à la quantité d'action dépensée est ici
Cette expression sera rendue la plus grande possible, et égale à l’unité, en posant
d'où
Comme O doit toujours être plus grande que û, on voit que la vitesse de rotation des orifices doit surpasser la vitesse due à la hauteur à laquelle l’eau est élevée. Ainsi la limite théorique de l’effet obtenu est la quantité d'action dépensée; mais il faut imprimer à la roue une très-grande vitesse pour n’élever l’eau qu'à une hauteur peu considérable.
La première idée de cet appareil a été présentée, en 1732, à l’Académie des sciences par Le Dcmours.
MACHINE ElTOTIENNE.
226. Elle a été proposée sous ce nom en 1786, par J. Bernoulli, comme une application du tube de Pitot proposé pour la mesure de la vitesse des eaux courantes. Un ou plusieurs tuyaux sont fixés à un axe vertical de rotation ; l’extrémité inférieure M (Fig. 101) est recourbée horizontalement, et se présente directement au choc de l'eau ; l’eau s'élève dans les tuyaux, et sort par les orifices placés à l'extrémité supérieure N. Il convient, comme
LEÇONS SCA L’APPLICATION
dans la machine précédente, qu'elle jaillisse de ces orifices dans une direction horizontale et contraire à celle du mouvement de rotation. On nommera V la vitesse de rotation de l’orifice de sortie N dont on suppose l’entrée évasée ;
«V la vitesse de rotation de l’orifice d’entrée M dont on suppose également l’entrée évasée ; ü l’aire de l’orifice N ;
O l’aire de l'orifice M ;
H la hauteur de l'orifice N au-dessus du niveau A du réservoir inférieur.
Le choc de l'extrémité inférieure M du tuyau contre l'eau du réservoir inférieur donne lieu, contre le plan de l’orifice placé à cette extrémité, à une
pression que l’on peut supposer due à la hauteur k , en représentant
par k un coefficient qui dépend principalement de la figure et des dimensions de cette partie du tuyau. La force centrifuge de l'eau contenue dans le tuyau donne lieu d’ailleurs , à l'orifice N, à une pression due à la hauteur v»
(1 — »») — . Par conséquent, le fluide sortira de cet orifice avec la vitesse
relative
ive « /
, et avec la vitesse effective.
'in» V»-4-(t-«») V* — ïÿ H
\ — x / — • 0° aura fl°nc 'c*- P**- la raison indi-
quée dans le n" précédent, pour le rapport de l’effet utile à la quantité d’action dépensée par le moteur
Cette expression sera la plus grande possible, et égale à l’unité, si l’on a
l n»V»-t-(l — n»)VJ — 2ÿH
Cette formule indique une vitesse moins grande que celle qui a été obtenue dans le n” précédent ; elle s'accorde avec celte dernière quand on fait v—o.
c'est-à-dire quand on suppose l’orifice M placé dans l’axe de la roue, d’où l’on peut juger que la direction du plan de cet orifice n’a, dans ce cas, aucune influence sur l’effet obtenu. Ce calcul ne tient point compte de la résistance que l’eau opposerait au mouvement de la partie du tuyau qui est plongée dans le réservoir inférieur.
vis D'AitcamtBi.
227. Cette machine peut être considérée sous divers points de vue. Nous supposerons, en premier lieu , qu'un tuyau d’un diamètre très-petit est enroulé suivant une hélice tracée sur un cylindre incliné auquel on imprime un mouvement de rotation.
Admettons d’abord que l’extrémité inférieure de la vis soit plongée sous le niveau À A du réservoir inférieur (Fig. 102) assez profondément pour que, dans le mouvement de rotation, l’extrémité M du tuyau reste constamment au -dessous de ce niveau ; il ne pourra alors entrer que de l’eau dans le tuyau. Il formera un vase dans lequel l’eau tendra à s’élever par l’effet de la force centrifuge résultant du mouvement de rotation. Quoique ici l’axe de ce vase soit incliné, le même raisonnement fait dans le n” 100 de la 2' partie du Résume des Leçons montrera qu’en appelant v la vitesse de rotation qui a lieu dans un point déterminé de la surface supérieure libre du fluide, ce point
tendra à s’élever au-dessus du niveau du réservoir inférieur à la hauteur —
due à cette vitesse, d'où il suit que tous les points de la surface également distants de l’axe tendent à se placer dans un même plan horizontal. Si la hauteur de l’extrémité supérieure N du tuyau au-dessus du niveau AA est constamment moindre que la hauteur due à la vitesse de rotation de ce point, l'eau dégorgera constamment par l’extrémité N, ce qui formera un appareil analogue à celui du n° 225. Mais ici la figure du tuyau qui forme le vase, et l’inclinaison de l’axe de rotation, donneraient lieu à une sorte de mouvement d’oscillation de l’eau contenue dans l’appareil, qui n'a pas lieu dans le cas du n° cité , et qui consommerait inutilement une partie de l'action du moteur.
228. Admettons, en second lieu, que l'extrémité inférieure de la vis ne soit pas entièrement plongép dans le réservoir inférieur (Fig. 103), en sorte que l’extrémité du tuyau accomplisse une partie de sa révolution dans l'eau et une autre dans l’air. Il s’introduira alors alternativement de l’air et de l’eau dans le tuyau , et ces deux fluides tendront à s’y distribuer de la manière indiquée sur la figure, l’eau occupant toujours la partie la plus basse de chaque spire. Chaque portion d’air qui s’introduit dans le tuyau se comprime d'abord, puis se dilate progressivement en passant de spire en spire, et reprend dans la dernière sa force élastique primitive. Il n’est pas nécessaire alors , pour que l'eau parvienne à l’extrémité supérieure N du tuyau, que la vitesse de
rotation soit aussi grande que dans le cas précédent, parce que la pression que l’action de la gravité sur l'eau intérieure produit à l’entrée M du tuyau, pression que la force centrifuge doit surmonter, au lieu d’étre due à la hauteur verticale de l’extrémité supérieure N du tuyau sur le niveau A A , serait due simplement à la somme des hauteurs verticales des colonnes d’eau contenues dans chaque spire.
25$. Lorsqu’il entrera assez d’air dans le tuyau pour que l’eau n’occupe plus dans la spire inférieure , et par conséquent dans toutes les autres , que la portion mon de cette spire qui est située au-dessous du plan horizontal m n mené parle point le plus élevé, ou une portion moindre, les hauteurs verticales des colonnes d’eau contenues dans toutes les spires étant nulles, l’air contenu dans le tuyau n’y sera nullement comprimé, et aucune pression ne sera exercée par l’effet du poids de l’eau intérieure à l’entrée M du tuyau. Par conséquent, l’action de la force centrifuge ne sera plus nécessaire pour que l’eau s'élève en passant de spire en spire. Quelque lent que puisse être le mouvement de rotation imprimé à l’appareil, l’eau pourra toujours alors être élevée à une hauteur aussi grande qu'on le voudra. La portion mil o de chaque spire se nomme l’arc hydraphore.
La situation et la longueur de l’arc hydrophore peuvent être déterminées comme il suit : A A (Fig 104) est l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée, a la projection horizontale de cet axc;BC la base de ce cylindre, bmcn la projection horizontale de cette base ; B M N la projection verticale de l’hélice. On nommera
r le rayon A B du cylindre ;
a l’angle que l’axe A A forme avec le plan horizontal BB:
• l’angle que la tangente à l'hélice forme avec l’axe A A.
Considérons un point quelconque M de l’hélice, et proposons-nous de trouver la hauteur MF de ce point au-dessus du plan horizontal BB; m étant la projection horizontale du point M et s l'angle bain , on aura
r* r(1 — co». «)
l> M = 1, B P = r (1 — co«. ») , P F. =r ,
tang. 6 tang. a
[ S 1— CO». s\ / * 1— co».*v
ME = r( — I, MF = r*in. al I.
\ tang. S lang. a / Ç lang. 9 lang. a J
Cette expression sera la plus grande ou la moindre qu'il est possible, si l’on a
tang. a f lang. aV
sin. * = , OU » = arc »tn. = I: (a)
lang. 9 V tang. 9/
les valeurs de .» données par cette équation appartiennent donc aux points m, m', projections horizontales des points M, M' les plus élevés et les plus bas des spires. Soit maintenant t l’angle obtus ban correspondant au point N
situé au môme niveau que le point le plus élevé M, et qui est l’antre extrémité de l’arc hydrophore; la hauteur de ce point au-dessus du plan horizontal B B sera donnée par l’expression précédente de MF en y mettant t au lieu de s. Donc la valeur de t est donnée par l'équation
t 1 — coi. t * 1 — co». * i tang. e
, OU t — » = (co«. » - en». I) ,
tang. 0 lang. a lang. 8 lang. a * tang. a
dans laquelle il faut mettre pour * la valeur donnée par l’équation (a), et qui peut par conséquent s’écrire
COS. 8 — COS. t
