La quantité
/ rb /Y.» rh rhu
El f du / de. rJ-4- / du I dr.r2
a, pour chaquc'corps, une valeur qui dépend de la nature de ce corps et de la figure de la section transversale. Cette quantité est le moment de la résistance à la flexion, ou plus simplement le moment de flexion du corps. Nous la représenterons ci-après par la lettre •. Quand la figure de la section transversale du solide peut être partagée par une ligne horizontale en deux parties symétriques, cette ligne est l’axe d’équilibre qui contient les fibres invariables. et h partir de laquelle il faut prendre la valeur de l’intégrale
dv.c1.
dont le double est alors la valeur du moment de résistance à la flexion. Dans le cas contraire, il faut déterminer d’abord la position de l’axe d'équilibre, au moyen de la condition exprimée n“ 78, et calculer ensuite séparément les valeurs des deux intégrales qui entrent dans l’expression de ee moment.
81. Si la figure de la section est un rectangle (Fig. 2), dont b et c soieut la largeur et la hauteur, la valeur du moment de résistance à la flexion est
/b /'le ôc3
du / * d r.rJ=E
Ainsi la résistance à la flexion est proportionnelle à la largeur cl au cube de la hauteur du solide.
82. Si cette figure (Fig. 5) est formée de deux triangles égaux, dont les côtés soient p et q, la valeur du moment dont il s'agit est
du / dv.tP—î.— - — o o ■ 0
83. Si la figure de la section transversale est un rectangle dont les côtés soient b, c, et si l’axe horizontal contenant les fibres invariables forme l’angle 9 avec le côté b, on aura pour le moment de la résistance à la flexion
bzc sin. * o -4- bcs cos. * »
Ainsi une pièce à base quarréc résiste également dans tous les sens h la flexion. De plus, la base étant rectangulaire, et b étant le plus grand côté, la moindre valeur du moment a lieu lorsque la pièce fléchit dans le sens du côté c.
84. Lorsque la figure de la section transversale (Fig. 4) est un cercle dont r est le rayon, l’expression générale du moment • devient
dr.v1
/»lic H
' dx.— sin.
du. - (r»-u3)»
On conclut de ce qui précède, que les résistances à la flexion du quarré et
du cercle qui lui est inscrit, sont entre elles dans le rapport de 1 à—.
85. Le moment de flexion d'un tuyau est la différence des moments de flexion de deux cylindres, r , r" , étant les rayons extérieurs et intérieurs du tuyau, ce moment sera
86. Considérons, comme dans le n"77, un solide prismatique droit ( Fig. 5), encastré horizontalement à une extrémité A, et chargé a 1 autre extrémité M d'un poids.
Nommons
x l’abscisse A p d’un point m de la courbe du solide, comptée sur l’horizontale AB; y l’ordonnée pm ;
P le rayon du cercle oscnlatcur de la courbe du solide en m;
P le poids placé à l’extrémité M du solide ; a la distance horizontale AB des deux extrémités du solide ; f l’ordonnée BM de l’extrémité de la courbe ; x la longueur A#/iM du solide;
a l’angle formé avec l’horizon par la tangente de la courbe du solide à l’extrémité M ;
< la valeur du moment de résistance à la flexion du solide, dont l'expression générale est donnée n° 80.
L’équation d’équilibre du n° 7!) est
c’est-à-dire
•Py
djc‘
cl dans le cas ou la flexion est très-petite, ce qui permet de négliger le quarré
•fjr
de — , on a
ll.C
iPy
lie1
l.ing. a= .
87. Quand le solide est posé horizontalement sur deux appuis (Fig. 6), les équations précédentes conviennent à la courbe formée par chacune des moitiés. Nommant
f la flèche AC de.la courbe du solide;
2 P le poids suspendu au milieu du solide ;
2 a la distance MM' des appuis ;
2* la longueur MAM' du solide entre les appuis; a l’inclinaison de la courbe à l’extrémité M.
On a, en supposant la courbure du solide très-petite,
tîing. a = — .
Sa
La flèche de la courbe est proportionnelle au poids 2 P, et au cube de la distance des appuis.
88. En considérant toujours, comme dans le n° 86, un solide prismatique droit (Fig. 7), encastré horizontalement à une extrémité, on peut le sup-
poser chargé, dans tous les points de sa longueur, de poids distribués d’une manière quelconque. Nommant
x, y les coordonnées horizontale et verticale d’un point quelconque m de la courbe du solide ;
x l’abscisse d’un point quelconque m' situé entre m et l’extrémité M;
a la distance AB:
p la valeur du poids suspendu en m' , rapportée à l’unité de longueur de l’abscisse, en sorte que p'dx' est le poids supporté par l’élément dont la projection est dx' ( La quantité p' est censée donnée en fonction de x') ;
f l’ordonnée B M de l’extrémité de la courbe.
On aura
<Py
tir*
<ly
dx’.p' (x'—x).
l-fd
= j ils / dx’.p’ (x’—x),
ilx o *J x
y= / dx J dx f dx’.p’ (x’—x).
89. Si les poids portés par chacun des éléments de la longueur du solide sont égaux, ce qui comprend le cas où ces poids seraient ceux mêmes des éléments, //aura une valeur constante p , et l’on aura
d2y fa 2 xr
dx2 \ 2 2
dy fa2x ax2 x 3
dx ' l 2 2 0
fa2x2 axs x‘\
lang. a = —.
pa est le poids total réparti sur la longueur du solide. D’après le n” 86, si ce poids était appliqué en M, l’abaissement de ce point serait plus grand, dans le rapport de 8 à 5.
90. Lorsqu’un solide, posé horizontalement sur deux appuis (Fig. 8), est
RK I.,V MÉCANIQUE , I" PARTIE. 47
chargé par des poids distribués uniformément sur sa longueur, chaque moitié est dans le même cas que si, étant encastrée horizontalement à une extrémité, elle était fléchie à la fois par des poids distribués uniformément sur sa longueur, et par une force égale à la somme de ces poids, et agissant en sens contraire à l’autre extrémité. On a donc
tanç. a=— .
’ôa
D’après le n° 87, si le poids 2 pn était suspendu au milieu du solide, au lieu d’être réparti uniformément sur toute sa longueur, la flèche serait plus grande dans le rapport de 8 h 5. Ces résultats sont confirmés par l’expérience.
91. Pour appliquer les résultats précédents à un corps donné, il faudra substituer à la place de ■ l’expression du moment de flexion qui convient à la figure de la section transversale de ce corps, conformément aux n”’ 80 et suivants. On attribuera ensuite à la constante E (n" 77 ) la valeur qui convient à la nature du corps, et qui doit être déterminée par l’observation.
Les expériences les plus propres à déterminer cette valeur consistent à placer horizontalement un solide prismatique sur deux appuis, à le charger au milieu d’un poids, et à observer la flèche de la courbure produite parce poids. Si la section transversale du solide est un rectangle (Fig. 2) dont les
bc* 2 P (2o)3
côtés soient b etc, on a (n“ 81 ), «=E — , et(n” 87)/"= — . : donc
2P(2a)3 (2ns)
F. 4.èe3 4 .6c3/
2 a étant l’intervalle des appuis , et 2 P le poids placé au milieu de la longueur du solide.
Si la section transversale est un cercle, on a
r désignant le rayon du cercle.
92. On doit quelquefois lenir compte de l’action du poids du solide. On y parviendra, d’après le n" 90, en ajoutant à 2 P les J de ce poids. Ainsi, en le désignant par 2 II, on a pour le cas d’une section rectangulaire
«ph-I(2IU (w P /a r t 5. an \ (a«p
E '4.6c3 • ‘ \ « ).\b,c tf'
et pour le cas d’une section circulaire
^.2P-4-ï(2II) (2a)» e=L+5.SH]W.
E 12*.r*’ 8 JvîZrÿ
95. On remarquera enfin qu’il n’est pas nécessaire de connaître les valeurs absolues du poids placé au milieu du solide et de la flèche de courbure correspondante, mais seulement l’accroissement de la (lèche de courbure correspondant à un accroissement donné de ce poids. En effet, nommant P’, F' deux valeurs successives de P, et f , f" les deux valeurs correspondantes de f, l’une ou l’autre des équations précédentes donne pour une section rectangulaire.
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Nous allons maintenant exposer les résultats des expériences connues , d’après lesquelles on peut déterminer les valeurs de la constante E qui conviennent à divers corps. Ces valeurs ne peuvent être données exactement qu’au moyen d’expériences dans lesquelles la flexion est fort petite. Quand l’extension ou la compression des fibres approchent du terme où la rupture doit avoir lieu, la résistance de ces fibres cesse ordinairement d’étre exactctement proportionnelle à l’extension ou à la compression, comme on l’a supposé n“* 76 et 77 ; ce que l’on exprime en disant que l’élasticité est altérée.
RfcSISTAXCK IIK IA PIERRE A LA H.KXIOX.
94. Résultats (les expériences faites par M.Tredgold sur des barres rectangulaires en marbre et en pierre, posées horizontalement sur deux appuis, et chargées au milieu [il.
INDICATION
hex
PIÈCES
DISTANCE
de»
Amis.
LARGEUR ■ de*
PIÈCES
EPAISSEUR
de*
riÉcss.
CHARGE
an
vmr.u.
FLÈCHE 1 de
COIRBIRE.
Pouce.
