Mélange de fer avecT'r
de cuivre
GO
Une charge de 180 livres agissant pendant plusieurs heures ne fit prendre aux trois pièces sous le n° 1 qu’une courbure presque insensible.
Les pièces sous les n°* 2, 3 et 4 n’ont pas été altérées sous des charges de 162 livres, et ont conservé de très-petites courbures après avoir supporté des charges de 182 livres.
Les pièces sous le n' 5 n’ont pas été altérées sous 180 livres, et l’ont été à peine sous 190 livres.
Les pièces sous les n" 6et7 ne l’ont pas été sous182 livres, et l’ont été un peu sous 202 livres.
Les expériences sous les n°*1, 2, 3 et 4 donnent pour la valeur moyenne de la constante E,
E = 11 530 000 OOOk.
[i] A pratical esaay on Me strength of cast iron, 2* Mil., pape» 76 et suivantes.
ARTICLE IV
I>F. I.A RÉSISTANCE D CN SOLIDE PRISMATIQUE A I.A RUPTURE PRODUITE PAR UN EFFORT DIRIGÉ PERPENDICULAIREMENT A I.A LONGUEUR DE CE SOLIDE.
1 12. Les fibres des corps , quand on les soumet à des extensions ou à des accourcissements très-petits, s’étendent ou s’accourcissent de la môme quantité sous un même poids, comme on l’a dit n“‘ 76 et 77. Alors, si la section transversale est rectangulaire, les fibres dont la longueur ne varie pas lors de la flexion du corps sont au milieu de la hauteur de cette section. Quand les variations de longueur des fibres sont plus considérables, ces fibres peuvent, sous le même effort, s’étendre plus ou moins qu’elles ne s'accourcissent. Alors les fibres invariables s’éloignent ou s’approchent de la face qui devient convexe lors de la flexion- La rupture a lieu quand les fibres étendues ne peuvent plus l'étre davantage sans se séparer, ou quand les fibres comprimées ne peuvent plus l’étre davantage sans s’écraser. La rupture s’opère d'une manière différente selon les corps. Dans les pierres, le verre, les métaux fondus, il se fait une séparation brusque et totale sur toute la hauteur de ta section. Dans les bois, les fibres sont écrasées vers la face concave, et arrachées irrégulièrement vers la face convexe. Dans les métaux forgés, la rupture n'est pas toujours accompagnée d’une séparation totale ou partielle. Les molécules, sans cesser d’être adhérentes, paraissent avoir pris près de la section de rupture de nouvelles positions d’éqiulibre, en vertu desquelles la figure du solide a changé.
Les conditions de la rupture dépendent de l'équilibre qui s’établit entre tes forces qui tendent à rompre le corps, et les résistances dues aux forces développées , par l'effet des extensions et compressions des fibres, dans la section transversale où la rupture va s'opérer. Pour évaluer exactement res résistances, il faudrait connaître 1“ l'axe d'équilibre où sont placées les fibres invariables; 2° la valeur de la force produite dans une fibre par une extension ou une compression données. A défaut de ces connaissances, que l'on ne pourrait acquérir que par des expériences délicates, on est obligé, pour obtenir au moins des évaluations approximatives, de recourir à des hypothèses.
113. L'hypothèse la plus simple, et généralement la moins éloignée de la vérité, consiste à admettre que les résistances des fibres, à l'instant où la rupture va s’opérer, sont encore proportionnelles aux extensions ou compressions de ces fibres, comme elles le sont dans le cas d’une flexion très-
DK LA MÉCANIQUE, I™ PARTIE. Gg
petite. Alors l’état de la section transversale du corps, à l’instant où la rupture va s’opérer, ne diffère point de l’état considéré dans les n°‘ 77 et suivants. Seulement il faut concevoir que la fibre placée à la face convexe qui est le plus étendue, ou la fibre placée à la face concave qui est le plus accourcie, subissent le degré d’allongement ou d’accourcissement qui est immédiatement suivi de la rupture.
La situation de l'axe d’équilibre, où sont placées les fibres invariables, se déterminera toujours par la même condition géométrique énoncée n" 78. Supposons cet axe ainsi déterminé, et conservons les dénominations du rr77. qui se rapportent à la Fig. 1 ; appelons de plus : v' la distance à l’axe d’équilibre net' de la fibre extrême située à la faee convexe ou à la face concave du solide, qui est prête à rompre;
R une constante exprimant la force nécessaire pour rompre un prisme dont la section transversale est l'unité superficielle, tiré dans le sens de la longueur.
En remarquant que la résistance des fibres situées à la distance» de l’axe nd est dudv. R, et que la résistance des fibres situées à la distancer du même Uc
axe est dudv , on aura pour l’expression de la somme des moments de r-’
ces résistances , pris par rapport à l’axe ad ,
#/ /** /V." rb rh» \
— | / il u / <lc. rJ-l- j du / de. t1 1.
Nous nommerons cette expression moment de rupture du corps, et nous la désignerons par la lettre ?.
114. Si la section transversale peut être partagée en deux parties symétriques, par une ligne perpendiculaire à la direction de la force qui agit sur le corps, l’axe d’équilibre est placé dans cette ligne. Les deux intégrales sont égales, et l’on a
- J du f dr. r l\r o ./ o
pour l’expression du moment de rupture.
En comparant ces formules à celles qui ont été trouvées n° 80 pour représenter le moment de flexion , on reconnaît que l’expression du moment de rupture peut être déduite de celle du moment de flexion en écrivant R à la place de E, et en divisant par v', c'est-à-dire par la distance à l’axe d’équilibre contenant les fibres invariables, de la fibre qui en est le plus éloignée. D’après cela, les expressions des n"’ 81 et suivants donneront immédiatement les résultats énoncés ci-après.
G6 LEÇONS SUR I/APPUCATION
1 15. La section étant un rectangle ( Fig. 2 ) dont b et c sont la largeur et
l’épaisseur, et l’expression du moment de rupture est
2R bc 8 bc*
116. La figure de la section étant formée de deux triangles égaux (Fig. 3), dont les côtés sont p et q, le moment de la résistance à la rupture est
R pq3 pq 1
q G fi
117. La figure de la section étant un rectangle dont les côtés sont b, c, et l’axe contenant les fibres invariables formant l’angle ? avec le côté b, le mo- » ment de rupture est
b*c sin. 2o bcs cos.
G(6sin.ç -f-ccos.tp)
Quand la section est un quarré cette expression se réduit à
bs
C(«in.ç -t- cos.ç)
et si la pièce est fléchie dans le sens d’une des diagonales du quarré, l’on a
fc5
Ot/2
Ainsi une pièce à base quarréc fléchie dans le sens des diagonales de la base résiste moins à la rupture qu’elle ne le fait quand elle est fléchie dans le sens
des côtés de celle base, dans le rapport de 1 à Ç7TT
118. La figure de la section transversale étant un cercle (Fig. 4 ) dont r est le rayon, l’expression du moment de la résistance à la rupture est
R r H 1er5
Les moments de rupture, pour le quarré et le cercle inscrit, sont entre 3l!
eux dans le rapport de 1 à — , le même qui a lieu pour le cas de la flexion.
119. A l’égard d’un tuyau, r' et r" élant les rayons des cylindres extérieurs et intérieurs, remarquant que le moment de rupture du vide intérieur supposé plein, est
on a pour le moment cherché
A sections transversales égales , un cylindre plein et un tuyau offrent des résistances à la rupture qui sont entre elles dans le rapport de
A résistances égales , les sections transversales du cylindre et du tuyau sont entre elles dans le rapport de
120. Connaissant l’expression du moment de rupture pour une base de fracture rectangulaire, on peut se proposer d’inscrire dans un cercle un rectangle déterminé par la condition de rendre cette expression pn maximum. Le diamètre du cercle étant 1, les côtés de ce rectangle seront respectivement
121 . Considérons un solide prismatique (Fig. 9) encastré horizontalement à l’extrémité A, et chargé à l’autre extrémité M d’un poids. Nommons P le moment de rupture, évalué conformément aux n“ 115 et suivants, d’après la figure de la section transversale du solide;
P le poids suspendu à l’extrémité M du corps; a la distance horizontale de la section A à la direction du poids P; a la longueur AM du solide; f la flèche de courbure CM.
La rupture tend à se faire dans la section A, et les conditions de l’équilibre sont exprimées par
J — Ta, d’oil P — — ■ u
ou îi peu près, en supposant que la courbure du solide est l’élastique du n° 8(>. re qui donne s = er -+-
Sa
122. Considérons présentement un solide prismatique (Fig. 10), posé horizontalement sur deux appuis, et chargé au milieu. Nommons 2 P le poids suspendu au milieu A du solide; n la moitié CM delà distance des appuis; f la flèche de courbure AC ;
a l'angle de la tangente à la courbe en M et M' avec l’horizontale MM’.
La rupture du corps tend à s’effectuer au milieu A. L’effort exercé contre l’appui M (abstraction faite de la. considération du frottement sur cet appui) est une force normale h la courbe du solide, dont la composante verticale est P, et la composante horizontale P tang. a. Par conséquent, en supposant que
JW*
la courbe du solide est l’élastique du n" 8ti. d’où tang. , les conditions
de l’équilibre s’expriment en posant
c = P. o-f- P. /'tailg. ®i OU o = Pnj 1 -t :
d’où
