DE L'ÉQUILIBRE ET DE L’ÉTABLISSEMENT DES TOUTES
289. Il existe plusieurs espèces de voûtes, dont les principales sont les voûtes en berceau, les voûtes d'arôte, les voûtes en arc de cloître, les voûtes en dôme. On s’occupera principalement ici des voûtes en berceau.
Une voûte est un assemblage de parties solides juxtaposées. Ces parties nommées voussoirs, sont séparées par des joints. Dans les voûtes construites en pierre, les joints des voussoirs sont ordinairement garnis en mortier. Lorsque les efforts exercés sur chaque voussoir, et la figure de la voûte, sont tels que le système ne se trouve point en équilibre , cette voûte se rompt. La rupture peut avoir lieu, soit parce que les parties de la voûte se séparent en glissant les unes sur les autres, soit parce que ces parties s’écartent en tournant autour des arêtes supérieures ou inférieures des voussoirs. Le frottement et l'adhérence des mortiers s'opposent à ces mouvements, et contribuent à maintenir la voûte en équilibre.
ARTICLE PREMIER
CONDITIONS GÉNÉRALES DE l’ÉQUILIURE d’iJJI ASSEMBLAGE DE VOCSSOIRS.
290. Soit un assemblage de voussoirs ÀBNM (Fig. 24), formant une portion de voûte en berceau, appuyé en AB contre un plan fixe, et maintenu
force de cohésion du mortier est beaucoup moindre lorsque la force est exercée parallèlement au plan de rupture, qu’elle n'est lorsque la force est exercée perpendiculairement A ce plan. Il serait nécessaire toutefois, pour fixer les idées à cet égard, que des expériences comparatives eussent été faites sur les mêmes mortiers.
En donnant à f les valeurs indiquées n° 280. et calculant le poids nécessaire pour écraser un cube de 0m,05 de côté, par les formules des n°« 190 et 197. on trouve un résultat fort inférieur à ceux qui ont été rapportés n° 11. Peut-être peut-on attribuer en partie cette différence à la présence des grains de sable ou de ciment, beaucoup plus durs que la matière qui les unit.
HG
ù l'autre extrémité par une force dont les composantes verticale et horizontale sont P, Q. La figure de cet assemblage de voussoirs est donnée par les courbes d’intrados et d’extrados AmM et BnN, et par les directions des plans de joint. On suppose des forces quelconques appliquées aux voussoirs, et il s’agit de reconnaître si le système se maintiendra en équilibre.
Pour se former une idée nette de la nature de cet équilibre , imaginons d’abord, pour plus de simplicité, que les voussoirs sont simplement sollicités par l’action de la pesanteur, et supposons que l’on mette en place successivement ces voussoirs, en commençant par celui qui est contigu au plan fixe AB. Les premiers voussoirs placés contre ce plan pourront se soutenir par le seul effet du frottement, si l’inclinaison des joints sur l’horizon n’est pas trop grande. Mais bientôt il sera nécessaire, pour les maintenir en place, d’appliquer contre le joint supérieur du dernier voussoir une certaine force, dont nous représentons ici les composantes verticale et horizontale par P et Q. 1° Cette force devra être assez grande pour empêcher la totalité , ou une portion quelconque des voussoirs mis en place, de tomber, soit en glissant sur les joints, soit en tournant sur les arêtes inférieures des joints ; 2» elle ne devra pas être assez grande pour causer le soulèvement de la totalité, ou d’une portion quelconque des voussoirs mis en place, soit par un glissement sur les joints, soit par un mouvement de rotation sur les arêtes supérieures des joints. On voit donc en général que , considérant un joint quelconque vin, le système des forces appliquées à la portion de voûte ABNM, y compris les forces P, Q appliquées contre le joint supérieur du dernier voussoir, doit être tel que l’action des forces appliquées à la partie supérieure wmNM ne puisse pas faire glisser dans un sens ou dans l’autre cette partie sur le plan mn supposé fixe, ni la faire tourner autour des arêtes vi ou n. On nommera
a-, y les coordonnées horizontale et verticale du point m ; x’, y ' les coordonnées horizontale et verticale du point n ; o l’angle que la direction du joint mn forme avec la verticale ; z la longueur mn de ce joint ;
a, b les coordonnées du point extrême M de la courbe d’intrados; a', b' les coordonnées du point extrême IN de la courbe d extrados ;
G, H les sommes des composantes verticales et horizontales des forces appliquées aux voussoirs compris dans la portion de voûte wnNM; a, 6 les coordonnées du point d’application C de la résultante des foi ces ’ G et H ;
T la pression normale exercée contre le joint mn ; f le rapport du frottement à la pression, lorsque les parties de la voûte glissent sur les plans de joint ;
■j la valeur de la force de cohésion, rapportée à l'unité de surface, qui doit être vaincue pour opérer ce glissement ;
R la valeur de la force de cohésion , rapportée à l’unité de surface , qui est vaincue lorsque deux voussoirs se séparent, en s’écartant perpendiculairement au plan de joint.
291. Pour exprimer les conditions relatives au glissement sur le joint mn, on remarquera en premier lieu que la force qui tend à faire glisser la portion de voûte ;/mNM dans le sens nm est
( P -t- G ) ros, 9 ;
et la force qui s'oppose à ce glissement,
(0 -+-H) «in. 8 -4- /"(P -4- G) sin. 9 -t-ffO-t- II) cos. «-*-7 z :
d’où il suit que, pour que le glissement dans le sens nm n’ait pas lieu, on doit avoir
ir*
P(1 — /'lang.8) — Q(tanfç. »-*-/■)< — G(l— 8) -4- H (tang. 8 -4-/) -4 .
cos. 9
On remarquera , en second lieu , que la force qui tend à faire glisser la même portion de voûte dans le sens mn est
(0-4- lt) sin. 9 ;
et la force qui s’oppose à ce glissement,
( P -4- G) COS. 9 -4- f( P -4- G) sin. 9 -4-f (Q -4- H) COS. 9 + ij;
d’où il suit que, pour que le glissement dans le sens mn n’ait pas lieu, on doit avoir
— P ( 1 -4- /'lang. 9)-t-0 (tang.9 — f) <G(1 -4- /’tang. 8) — H (tang.8 — /}h .
