COS
L’équilibre de la portion de voûte ABNM exige que l’on puisse attribuer aux composantes P, Q des valeurs telles que ces conditions soient satisfaites, pour l’un quelconque des joints mn.
292. Pour exprimer maintenant les conditions relatives au mouvement de rotation autour des arêtes supérieure ou inférieure du joint mn, on supposera en premier lieu que la portion de voûte wmNM tend à tourner de haut en bas sur l’arête m, et que les forces P, Q sont appliquées en N, ce qui est le cas oû elles ont le moins de tendance possible à favoriser ce mouvement. Le moment des forces qui tendent .à faire tourner la portion de voûte est
et le moment des forces qui s’opposent à ce mouvement . en évaluant le mo-
inent de la résistance provenant de la cohésion comme on l'a fait n° 21 1 , est
Ainsi, pour que le mouvement de rotation n’ait pas lieu, on doit avoir
P (a' — x)— 0(t’-;)<-G|« — jr) + H(6— x) + -a R 3*.
On supposera en second lieu que la portion de voûte «mNM tend à tourner de bas en haut sur l’arétc n, et que les forces P , Q sont appliquées en M, ce qui est le cas où elles ont le moins de tendance possible à favoriser ce mouvement. Le moment des forces qui tendent à faire tourner la portion de voûte est
Otft-r'H-HtS-r');
et le moment des forces qui s’opposent à ce mouvement ,
P (O — x')-t-G(a — x') -+- -J R jl.
Ainsi, pour que ce second mouvement de rotation n’ait pas lieu, on doit avoir
L’équilibre de la portion de voûte ABNM exige, outre la condition indiquée dans le n“ précédent, que les valeurs attribuées aux composantes P , O soient telles que ces dernières conditions se trouvent encore satisfaites, pour l’un quelconque des joints mn.
Réciproquement, lorsque les conditions précédentes seront satisfaites pointons les joints, la portion de voûte demeurera nécessairement en équilibre.
293. La valeur de la pression exercée perpendiculairement au joint wm,est
T = (P -i- G) sin. 8 ■+• (0 -t- II) cos. 8.
294. Si l’on supposait nulles les résistances provenant du frottement et de la cohésion , les conditions du n° 291 , relatives à l’équilibre de glissement , se réduiraient à une seule équation , qui serait
P — 0 tang. 8 = — G -t- H tang. 8 , OU tang. 6 ,
exprimant que la résultante des forces appliquées à la portion de voûte wmNM doit être perpendiculaire au joint mn. Dans l’hypothèse dont il s’agit, l’inclinaison de chaque joint a une valeur déterminée, lorsque les forces appliquées à la voûte sont données. La force appliquée au dernier joint MN. dont P et Q sont les composantes verticale et horizontale, doit être normale à ce joint.
295. En supposant toujours nulles les résistances provenant du frottement
DE LA MÉCANIQUE. I" PARTIE. 1 i9
et de la cohésion, les conditions du n° 292, relatives à l’équilibre de rotation, deviennent
elles expriment que la direction de la résultante des forces appliquées à la portion de voûte wmNM doit passer entre les points m et ».
296. On voit par ce qui précède que, pour que l’équilibre existe dans un système de voussoirs, il est nécessaire en général que les deux composantes P, Q satisfassent à quatre inégalités, qui doivent être vérifiées pour tous les joints de la voûte par les valeurs de ces forces. Il en résulte qu’il existe certaines limites , au-dessus et au-dessous desquelles les valeurs de P et Q doivent se trouver. Si les conditions dont il s’agit ne se contredisent pas , et s’il existe des valeurs de P et Q au moyen desquelles on puisse y satisfaire, l’équilibre pourra subsister dans le système de voussoirs proposé. Et si l’on conçoit le dernier joint MN appuyé contre un plan fixe , comme l’est le premier joint AB, et le système soumis à l'action des forces qui sont appliquées aux voussoirs, on est assuré qu’il n’v surviendra aucun mouvement.
APPUCATIO* A BSE PLATE-BASDE.
297. Soit la portion de voûte dont on cherche les conditions d’équilibre la moitié ABNM (Fig. 25) d’une plate-bande uniformément épaisse. Faisons abstraction des résistances provenant du frottement et de la cohésion, et supposons la plate-bande uniquement sollicitée par l'action de la pesanteur. Conservons les dénominations du n°290, et nommons
a la demi-largeur AM ; c l’épaisseur MN;
tl le poids de l’unité de volume de la matière des voussoirs.
On aura, dans l’équation du n“ 291,
P=0,H = 0.G = !1 [(ce — x) c -y- ; c3 tang. e ] : cette équation deviendra
tang. 0 = ,
et donnera, si <r désigne l’inclinaison du premier joint AB,
2 n « c Sbc + c1 (ariQ. 8'
tang. 6' = ; d OÙ 0 = n — .
2 O — Il c1 2 tang. fl‘
On déduit de là
tang. o n — x lang.O' a
Ainsi , l’inclination 6’ du premier joint A B étant donnée, la valeur de Q est déterminée par l’expression précédente , et l’équilibre exige que les directions de tous les joints se rencontrent en un même point O.
298. Quant aux conditions du n° 295 relatives à l’équilibre de rotation , elles deviennent, en les appliquant au joint AB,
Qc>jIIa3e — j II c3 tang. 16',
— 0c< ^IIoc(o-+-2c tang. 6') -+- II c3 tang. * 6'.
Laseconde inégalité, exprimant que la portion de voûte ABNM ne peut tourner sur l’arête supérieure B de ce joint, est satisfaite, quelle que soit la valeur positive donnée à Q ; et on voit effectivement, d’après la figure de la voûte, que ce mouvement est impossible. Quant à la première inégalité, exprimant que la portion de voûte ABNM ne peut tourner sur l’arête inférieure A, elle devient en mettant pour Q la valeur trouvée ci-dessus, n° 297,
ac > - ( a1 — c3) tang. 6' — j c3 tang. 3 9'.
On vérifie que cette inégalité est toujours satisfaite, quel que soit l’angle e', lorsque la demi-largeur a de la voûte ne surpasse pas la valeur que l’on trouverait en faisant Lang. »'=1 dans l’équation
oc — ^ (a1 — c3) tang. 9' -4- ~ c3 tang.3 0' =0,
valeur qui est a = c ( 1 ■+■ V |). Si la demi-largeur a surpasse celte valeur, il sera nécessaire, pour que l’inégalité dont il s’agit soit satisfaite, que tang. 9' ne surpasse point la valeur qui serait donnée par l’équation précédente. S’il en était autrement la résultante du poids de la portion de voûte ABNM, et de la force Q qui doit être appliquée horizontalement en N, se trouverait dirigée de manière à rencontrer la ligne AB au-dessous du point A, et tendrait par conséquent à faire tourner la portion de voûte autour de ce point.
299. Si l’épaisseur de la plate-bande était très-petite par rapport à l’ouverture, la limite dont il s’agit serait donnée, à fort peu près, par l’expression
Sc
tang. 9'= — ; a
et l’on aurait sensiblement,
II a r
0 = , OU Q = i n a3.
tang. 9'
500. En substituant dans la formule du n* 293 les valeurs qui conviennent à la plate-bande, on trouve pour l’expression de la pression normale supportée par le joint AB,
/oc c3 N
\sin.9' 2 cos. 9 J
Ht
301 . Dans le cas où l’épaisseur de la plate-bande est très-petite par rapport à l’ouverture, cette expression devient
Hoc sin. 6'
302. Si l’on considère deux moitiés égales de plate-bande (Fig. 26), séparées par le joint vertical MN, l’équilibre ne pourra subsister à moins que tous les joints ne soient dirigés suivant des lignes passant par le même point O, et que l’angle o' formé par le joint extrême avec la verticale ne soit déterminé conformément à ce qui a été dit n° 298. Si cette dernière condition n’était pas satisfaite la plate-bande se romprait, les deux moitiés portant l’une contre l’autre en N, et les arêtes A, A' remontant le long des plans fixes contre lesquels les voussoirs extrêmes sont appuyés. L’expression de Q du n“ 297, donnera la pression horizontale que les deux moitiés de la voûte exercent l’une contre l’autre dans le joint MN; et l’expression de T du n" 300 donnera la pression normale supportée par les joints extrêmes AB,-A’B’. Les pieds-droits de la plate-bande devront présenter la stabilité nécessaire pour résister à ces pressions.
CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE D*LN ASSEMBLAGE DE VOUSSOIRS , EN SUPPOSANT TOI S LES JOINTS PERPENDICULAIRES A LA COURUE IMNTRAlMlS.
303. Considérant une portion de voûte ABNM,dans laquelle tous les joints des voussoirs sont perpendiculaires à la courbe d’intrados AwtM . appuyée à une extrémité contre un plan fixe AB, et maintenue à l’antre extrémité par une force dont les composantes verticale et horizontale sont P et Q : on nommera
xj) les coordonnées A p, pin d'un point quelconque m de la courbe d’intrados ;
z la longueur du joint mn ;
g la longueur de l'arc A m ;
a, b les coordonnées du point extrême M ;
S la longueur totale AmM de la courbe d’intrados ;
P le rayon de courbure de cette courbe, au point m ;
F la valeur de la force appliquée aux voussoirs, pour le point m de la courbe d’intrados, cette valeur étant rapportée à l’unité de longueur, et donnée en fonction de l'arc de la courbe.
? l’angle que la direction de la force F forme avec l'axe horizontal des abscisses, cetangle étant également donné en fonction de l’arc de la courbe.
T la valeur de la pression exercée perpendiculairement au joint vin, par l’une des deux parties de la voûte contre l’autre.
Faisant abstraction des résistances provenant du frottement etdc la cohésion, et appliquant ici les notions présentées n°‘ 290 et suivants , la première condition de l’équilibre du système est que la pression monnaie T , supportée par le joint mu y soit égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces appliquées à la partie wmNM de la voûte. En remarquant que les composantes
dy dx
verticale et horizontale de la pression T sont respectivement T — et T — ,
ils iis
et que les sommes des composantes verticales et horizontales des forces appliquées à la portion m/iNM de la voûte sont respectivement J du. F sin. v /*s
et J du. F cos. ÿ, celte condition donnera les deux équations,
lljr /• s
T — = 1* -4- / c/s. F sin. 9, ils «/ s
tlx S*S
T — = Q -f- / d&. F cos. 9.
ils J s
504. La seconde condition de l'équilibre du système est que la direction de la résultante de toutes ces forces passe entre les points ni et n ■ mais il est inutile d’y avoir égard. Cette condition est implicitement comprise dans la supposition que les joints des voussoirs sont normaux à la courbe d'intrados, puisqu'alors les directions successives des résultantes dont il s’agit formeront nécessairement une seconde courbe parallèle à la première.
505. Différenciant les deux équations du n° 505, multipliant la première
dy dx / dx2 dy2
par — , la seconde par — , et ajoutant ( en observant que 1 = 1 , et
ds tls \ ils2 ds2
dx dx dy dy \
par conséquent — d. e — d. - = 0 J, on aura
ds ds ds ds J
/dy di
— d T =: F ds ( — sin. 9 H cos. 9
\d.i ds
équation d'où l’on déduira la valeur de la pression. Celte pression varie . quand on passe d’un point de la courbe à un autre, d’une quantité égale à l’action de la force F sur l'élément compris entre ces deux points décomposée dans le sens de cet élément.
CXSOI' LES FORCES APPÏ.IQCÉES ACX VOUSSOIRS SOST PARTOCT AOHMAt.ES A LA COI HBE O'iMTRA DOS.
tlx dy
500. Dans ce cas, sin. <p= — et cos. s> = .L’équation trouvée dans
ÜS ils
le n“ précédent donne
en sorte que !a pression est constante dans toute l’étendue de la voûte.
On aura donc, en différenciant les deux équations du n° 303,
<ly d.r
T d. — = — F ds. sin. 9, T d, — = — F ds. cos. 9 ds ds
d’où (en ayant égard aux valeurs desin. 9 et cos. 9) l'on déduit
ds
ou, parce que d ? (qui est l’angle de deux normales consécutives ) = ,
T = p F, et F = — .
Ainsi la pression exercée d’un voussoir à l’autre est égale à la force appliquée normalement à chaque point de la courbe d'intrados, multipliée par le rayon de courbure en ce point; et l’équilibre exige que cette dernière force ait, dans toute l'étendue de la courbe, des valeurs réciproques au rayon de courbure.
507. Si la courbe d’intrados était un arc de cercle, la force appliquée aux voussoirs, perpendiculairement à cette courbe, devrait avoir une valeur constante dans toute l’étendue de la voûte. L’équation précédente donne la relation qui existe entre cette force, et la pression qui s’établit entre les voussoirs. On en conclut que, si la courbe d'intrados était un cercle entier, la somme des forces normales appliquées à la voûte dans toute l’étendue de ce cercle, et la pression exercée d’un voussoir à l’autre , seraient entre elles comme la circonférence est au rayon, ou comme 2 r est à 1.
508. On a supposé précédemment que les voussoirs pouvaient glisser sur les plans de joint, sans qu'aucune résistance provenant du frottement ou de la cohésion s'opposât à ce mouvement. En admettant l’existence du frottement et de la cohésion , il n'est plus nécessaire, pour que la voûte se maintienne en équilibre, que les forces appliquées perpendiculairement à la courbe d’intrados soient assujetties à la loi indiquée n” 306. Mais, quelles que soient les valeurs de ces forces, la pression normale existant entre les voussoirs, qui pourra alors varier d’un point delà voûte à l’autre, se calculera toujours en chaque point au moyen de la formule T = ? F.
CAS OC LES FORCES APPLIQLÉES A LA VOVTE SE REMISENT EX POIBS DES VOLSSOIRS.
309. Conservons les dénominations du n° 503, et appelons n le poids de l’unité de volume de la matière des voussoirs ; e l’angle que le joint mn forme avec la verticale, ce qui donne •fy- >tx
— = sin. a, — = cos. ».
ds ds
loi
LEÇONS SUR L’APPLIC.VTION
Nous avons ici ? = 90*’, F ds = 11 : ds 1 h J. Les équations du n" 303
deviendront
d'où
T sin. 6 = P -+- 11 J ds.
T cos. Q = Q;
lang. 0 = 1 / ds.
0 Qc/ s
., en différen
ils. Z ‘ ï S I J
y V 2 oJ
Celte dernière équation devient, en différenciant. do
ou parce que do = — j
n cos. 2 o
équation qui donnera la loi de l’épaisseur des voussoirs, quand la figure de la courbe sera connue , et réciproquement.
Dans le cas dont il s'agit, et en général lorsqu’une voûte est sollicitée seulement par des forces verticales , la composante horizontale de la pression T est constante dans toute l'étendue de la courbe, et égale à la force Q. Cette force est ce qu’on nomme la poussée horizontale de la voûte.
310. Lorsque la courbe d’intrados est un arc de cercle, p est constant : l'équation du n° précédent donne
II cos. 2 6
Si les joints extrêmes sont horizontaux, la longueur de ces joints est infinie. Appelant cia longueur du joint placé au sommet de la voûte, où la direction de ce joint est verticale, on a
0= i n(2Pc-t~eJ)
pour la valeur de la poussée horizontale.
La pression exercée perpendiculairement au joint mu est
cos. fl
UE LA MÉCAN1QUK, 1" PARTIE.
ARTICLE IL
PRINCIPALES EXPERIENCES ET OBSERVATIONS RELATIVES A l’ÉQIIILIURE
