D'UN POIDS
571. On suppose la pièce AMM' (Fig. 49) chargée en M du poids n, encastrée horizontalement aux deux extrémités A et M’ ; et l’on remarque que l’effet de l’encastrement en M' est de rendre horizontale en ce point la direction de la tangente à la courbe. Or on ne changera rien à l’état d’équilibre de la pièce AM' , si l’on suppose cet effet produit au moyen de ce que cette pièce, posée simplement sur un appui en M', est prolongée en M M ", et
LEÇONS SUIl L’APPLICATION
chargée à l’extrémité M" d'un poids dont la valeur a été convenablement déterminée. Cela posé, on nommera a la distance AB ; a' la distance AM' ;
«"la distance AB";
n' l’effort exercé sur l’appui M' ;
II" le poids suspendu à l’extrémité M"; i et p auront les significations indiquées n” 559.
On aura en premier lieu pour la portion AM de la pièce <Py
i — = Il (a — x) — II' (a' — x) -+- II" (a" — x); d x 2 dy
e — = Il (a x — i x *) — II’ la' x — x *) + II" la" x — ; .rî), dx
= «' **-■* jr*) + n" l\a!' x2 - il3);
On a ensuite pour la portion MM', en déterminant les constantes de ma-
ds
nière que. pour x=a, les valeurs de — et y soient égales à celles qui seraient
dx
données par les équations précédentes , iPy
i — = — B' (o' — x) -t- II" (a" — x) , dx 2 dy
t = U i a2 — II' (a’ x — ~ x2) -t- U" (a" x — j x2) ,
dy *
372. Le coefficient — et l’ordonnée y devant être nuis au point M , c’est-
dx
à-dire quand .v=a', on a
0 = Il j a2 — U' j a’2 -+- 11" ( a' a" — -■ a'2) ,
0 = n ( j a2 a' — j a3 ) — H' ~ a'5 II" ( ^ a’1 a" — | a'3 ) (
d'où l'on tire
n=n , II" = II .
En mettant ces valeurs dans les formules précédentes, on connaîtra la figure de la pièce.
373. Si l’on suppose le poids a placé au milieu de l’intervalle AM' , on a a' = 2a, et
H' = Il , II" n .
En substituant ces valeurs dans les équations précédentes , et écrivant 2 P au lieu de II , on aura pour déterminer la figure de la première moitié de la pièce.
On vérifie que les équations appartenant à la seconde moitié indiquent une figure symétrique à celle de la première moitié. L’ordonnée du milieu de la pièce ou la flèche de courbure, est
P ns t là’
et en comparant ce résultat à celui du n" 87, on voit que cette flèche de courbure est quatre fois moindre lorsque les extrémités sont encastrées que lorsqu’elles sont posées sur des appuis.
574. En supposant toujours le poids n ou 2 P placé au milieu de l'intervalle AM' , la courbure est le plus grande possible aux deux extrémités et au milieu de la pièce, qui tend à se rompre en même temps en ces trois points. L’équilibre relatif à la rupture est exprimé par l’équation
en sorte que la pièce peut supporter un poids deux fois plus grand que celui qu’elle supporterait si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis [i].
[i] Ce résultat est généralement admis, bien qu'on l'ait établi d'une autre manière ; mais il a été contredit parM. Barlow, qui. dans son Essayon the strcnijth and ftress of limiter, p. 153, substitue la raison de 5 à 3 à celle de 3 à 1. La proposition sur laquelle M. Barlow fonde son raisonnement, et qui est énoncée page 115 du méine ouvrage, est inexacte et contraire à l'expérience. On peut remarquer qu’il est difficile, dans les expériences, de réaliser l'hypothèse de l'encastrement aux deux extrémités. Il faut, pour que l'on y parvienne, que la pièce soit prolongée de chaque côté sur une assez grande longueur. Les expressions de II' et II" indiquent effectivement que les efforts exercés sur les points fixes tendent à devenir infinis quand la longueur sur laquelle la pièce est prolongée devient nulle. On peut voir sur cc sujet les expériences rapportées dans le Traité du mouvement des eaux. (ïuvres de Mariotte, tome 11, page dOfi.
LEÇONS Si R L’APPLICATION
tQI'IUUKE d'ERE PIÈCE SUPPORTÉE PER TROIS, Ot PER PR PUS GREAD ROXERE DE roms d'eppi i.
375. Quand une verge rigide chargée de poids est soutenue sur un nombre de points d'appui plus grand que 2, les efforts que chacun de ces points d’appui doit supporter sont indéterminés entre certaines limites. Ces limites peuvent toujours être fixées par les principes de la statique. Mais, si l’on suppose la verge élastique, l’indétermination cesse entièrement. On considérera seulement ici une des questions de ce genre le plus simples qui puissent être proposées.
On supposera la pièce MM' (Fig. 50) posée horizontalement sur trois points d’appui , placés , l’un au milieu A de la longueur de celte pièce, et les deux autres aux extrémités M, M’. Chaque moitié de la pièce est chargée au milieu N , N', d’un poids II, n'. Il s’agit de déterminer la figure affectée par la pièce, et les efforts exercés sur chaque point d’appui. On nommera
a la moitié AM ou AM' de la longueur de la pièce ;
p, q, </ les efforts exercés en A, M, M' ;
u l’angle que fait avec l’axe A x la tangente à la courbe au point A ;
» et p auront les significations indiquées n” 359.
Les principes de la statique exigeant 1" que la somme des poids n , IT soit égale à la somme des cfforLs exercés sur les points d’appui : 2" que la somme des moments des forces, pris par rapport h un point quelconque, par exemple au point A, soit nulle; on a d’abord les deux équations
Il -t- fl' = p i/ +- q', Il — H' = 2 (q — q').
576. En regardant ensuite la pièce comme encastrée en A. on aura pour la portion AN
fax'1 J-S\ fax* ,rs'
>r = n ( — t — <7 I • lang. ».
On aura ensuite pour la portion NM, en déterminant les constantes de a ily
manière que, pour x . les valeurs de — et y soient égales à celles qui
î dx
seraient données, par les équations précédentes,
« Pr
• — = — q (a — x), dx 1
dy f x*\ a»
« — = — v I 8 4" ) -t- Il (-« lang. ».
dx \ 2/ 8
ai] [ a* A
— I -4- | n h « lang. » x
ae y V » J
Les équations qui conviendraient aux parties AN' et N'M' de la pièce se déduiront des précédentes , en y écrivant n' au lieu de n, q' au lieu de q, et changeant le signe de tang. ». En remarquant ensuite que les équations appartenant aux parties NM et N'M' doivent donner y =0 quand on suppose x=a, on aura les deux équations
0 = — q h II h i Uug. »,
