VT

3t>3. On aura les équations des parties BN, NM de la courbe, en substituant dans les expressions précédentes de y qui appartiennent respectivement à ces parties la valeur que l’on vient d’obtenir pour tang. ». Les expressions de y qui conviennent aux portions BN", N’M’ de la courbe sont semblables aux expressions qui se rapportentaux portions BN, NM; on les déduit de ces dernières en changeant o + : en « — et réciproquement. On connaîtra donc également la figure de la portion BM du solide- La flèche de la courbure se trouvera de la manière indiquée n° 3G0.

364. Le point B est celui dans lequel la courbure est le plus grande, et où le solide tend à se rompre. La condition de l'équilibre relatif à la rupture est exprimée, conformément au n" 358, par l’équation

565. Les exemples précédents suffisent pour indiquer comment on trouve les conditions d’équilibre d’une pièce posée horizontalement sur deux appuis, et chargée d’une manière quelconque. Le point où elle tend à se rompre, et que l’on doit regarder comme le point d’encastrement , est toujours situé dans la verticale contenant le centre de gravité des poids dont cette pièce est chargée. Le point de rupture ayant été déterminé , aussi bien que les efforts exercés sur chaque point d'appui, on doit former autant d'équations différentielles du second ordre qu'il y a , de chaque côté du point de rupture , de parties pour lesquelles les conditions de la flexion ne peuvent s’exprimer par la même formule. Les constantes introduites par l'intégration se déterminent de manière que l’ordonnée et l’inclinaison de la tangente aient les mêmes valeurs dans le point commun à deux parties consécutives.

L’équation exprimant les conditions de l’équilibre à l’instant où la pièce est prête à se rompre, s'obtient en égalant le moment de rupture p à la valeur d7X

de > — qui appartient au point de rupture ; c’est-à-dire au moment pris par

dx1

rapport à ce point des forces agissant sur la pièce dans l’une ou l'autre des parties que ce point sépare.

ÉQUILICRE D’UNE PIÈCE CHARGÉE D’UN POIDS , DONT L’UNE DES EXTRÉMITÉS EST ENCASTRÉE ET L’AUTRE EXTRÉMITÉ POSÉE SIR UN APPUI.

366. La pièce AMM' (Fig. 48) encastrée horizontalement à l’extrémité A , supportée à l’extrémité M' sur un appui placé sur la même ligne horizontale que le point A , étant chargée en M du poids K , ou nommera a la distance AB; a' la distance AM’; ü' l’effort exercé sur l’appui M';

• et p auront les significations indiquées n° 559.

On aura en premier lieu, pour la portion AM de la pièce,

On aura ensuite pour la portion MM', en déterminant les constantes de

manière que, pour x=a, les valeurs de — et y soient égales à celles qui séraient données par les équations précédentes,

tPy

dx ’ dy

— n'(o'-ir),

= II Tl'la'jf — —

"(ï-ïj -"'(.—ï)

387. Celte dernière expression dey devant être nulle quand x—a, on aura

ir = n

pour l’effort exercé sur le point d'appui M\ En substituant cette valeur dans les équations précédentes, on trouvera pour l’abscisse du point où l’ordonnée y est le plus grande

et pour la valeur de cette plus grande ordonnée , ou de la flèche de courbure de la pièce ,

568. La pièce tend nécessairement à se rompre en A ou en M. On a au point A

et au point M,

iPy o(Sq'-a)(a'-o)

= Il a — II' a' = Il ;

di r* 2 a'1

<Py a7 (3 a' — a) (o' — a)

dx 7 2 a'5

L’équilibre est exprimé à l’instant de la rupture par celle des deux équations

p = ll

P = Il

dont le second membre a la plus grande valeur. Le corps tend à se rompre

en A si la distance AB est petite; il tend à se rompre en M si AB diffère peu de AM'.

569. Si l’on suppose le poids n placé au milieu de l’intervalle AM', on aura a'=2fl ; et en écrivant 2P au lieu de II, il viendra

pour l’effort exercé sur le point d’appui. L’abscisse du point où l’ordonnée est le plus grande sera

et la valeur de cette ordonnée,

En comparant ce résultat à celui du n" 87 , on voit que la flèche de courbure produite par le même poids est plus petite, dans le rapport de 1 à i/s~ qu’elle ne serait si les deux extrémités de la pièce étaient posées sur des appuis.

L’ordonnée du point milieu, où le poids est placé, est — . — , c’est-à-dire

les tî de ce qu’elle serait dans le cas dont on vient de parler.

570. En supposant toujours le poids n placé au milieu de l’intervalle AM', la pièce tend à se rompre en A , et la première valeur de ? du n“ 568 donne

Si les deux extrémités étaient posées sur deux appuis, on aurait p=P a. Par conséquent, lorsque l’une des extrémités est encastrée, la pièce, à force égale, peut supporter un poids plus grand dans le rapport de 4 à 5.

ÉQUILIBRE D’UNE PIÈCE DORT LES DEUX EXTRÉMITÉS SORT ENCASTRÉES, ET QUI EST CHARGÉE