IC

580. En adoptant la même supposition, la pièce tend à se rompre au point A, et l’équilibre relatif à la rupture est exprimé par l’équation

Chaque moitié de la pièce est alors’dans le même cas que si elle était encastrée horizontalement à une extrémité et supportée à l’autre. Le résultat que l’on vient d’obtenir s’accorde effectivement avec celui du n" 570, en écrivant ici 2 P au lieu de n, et 2 a au lieu de a.

REXARQl E SLR L* USAGE QU'ü.N DOIT FAIRE DES RESULTATS PRÉCÉDENTS DANS LES APPLICATIONS.

581 . Les résultats exposés dans cet article serviront à apprécier les flexions des pièces chargées horizontalement. On substituera dans les formules, à la place de <, les valeurs du moment de résistance à la flexion, données n"' 81 et suivants. Par exemple, si la section de la pièce est rectangulaire, on écrira

bc 3

E — à la place de «. La valeur de E se conclut des expériences rapportées

n°’ 94 et suivants. On connaîtra ainsi le degré de la flexion de la pièce, en raison des dimensions de la section.

582. Ces résultats serviront également à apprécier les charges qui pourraient causer la rupture des pièces, ou les plus grandes charges que l’on puisse faire supporter à ces pièces dans les constructions. On substituera à

la place de p les valeurs du moment de rupture données dans les n°* 115 et suivants. Par exemple, si la section de la pièce est rectangulaire, on écrira

R — à la place de P. Quand on voudra connaître les charges capables de cau-

ser la rupture, on attribuera à R les valeurs déduites des expériences rapportées tlans les n”’ 150 et suivants; et quand on voudra connaître les plus grandes charges que l’on puisse faire supporter aux pièces dans les constructions, on emploiera les valeurs de R' indiquées dans les n'” 181, 183 et 186.

ARTICLE II

DE I.A RÉSISTANCE d’üNE PIÈCE PRISMATIQUE POSÉE VERTICALEMENT ET CHARGÉE SCR L’EXTRÉMITÉ SUPÉRIEURE.

583. On considère une pièce AM ( Fig. 51 ) dont l’extrémité inférieure A est posée sur un plan horizontal fixe. L’extrémité supérieure M est placée dans la même'verticale que l’extrémité inférieure, et chargée d’un poids Q. Il s’agit de trouver les conditions de la flexion de la pièce causée par l’action de ce poids. On nommera a la distance AM des extrémités; s la longueur AmM de la pièce;

« l’aire de la section transversale de la pièce;

x, y l’abscisse A p et l’ordonnée pin d’un point quelconque de la courbe formée par l’axe de la pièce ;

• et p auront les valeurs indiquées n° 359.

L’équation qui exprime les conditions de l’équilibre est toujours fondée sur ce principe, que le moment de la résistance à la flexion doit être égal, en chaque point de l’axe de la pièce , au moment de la force par laquelle la pièce est sollicitée, pris par rapporta ce point. En remarquant qu’ici la courbe affectée par cet axe présente sa concavité à l’axe des abscisses , cette équation d’équilibre sera

dont l’intégrale complète est

X = \ sin.

. t -f- B coj.

A et B désignant deux constantes arbitraires. Comme on doit avoir y = 0

LEÇONS Sun L'APPLICATION

quand #=0, la constante Best nulle. La constante A représente évidemment la plus grande ordonnée de la courbe, qui est supposée très-petite , et que nous désignerons par /. Ainsi nous écrirons

y= f tin.

384. On doit avoir y= 0 quand x =a. Il est donc nécessaire, si f n’est pas nulle, que

i étant un nombre entier quelconque , et * le rapport de la circonférence au diamètre; ce qui détermine la valeur du poids Q qui peut maintenir la pièce fléchie. Celle valeur est, toutes choses égales d’ailleurs, réciproque au quarré de la longueur de la pièce.

383. En substituant la valeur de Q dans l’équation précédente, où la flèche /demeure indéterminée, on a

X= f 8in. i r. — , a

58G. Si l’on donne successivement h i les valeurs entières, 1, 2, o, etc., la courbe représentée par l’équation précédente affectera diverses figures.

La fig. 51 répond au cas où t =1 et Q = ** — . La fig. 52 répond au cas où

i= 2 et Q = 4 ft2 — : une pièce affecterait cette figure si le milieu N était maintenu a1

dans la ligne verticale qui en contient les deux extrémités. La fig. 53 répond

au cas où i=3 et Q= 9 ** — : une pièce affecterait celte figure si les points a1

situés au tiers et aux deux tiers de la longueur étaient maintenus dans la verticale qui en contient les extrémités. Et ainsi de suite.

387. Lorsqu'une pièce comprimée dans le sens de sa longueur affecte une flexion très-petite, on doit concevoir l°que les fibres longitudinales supportent, par l'effet de la pression Q supposée uniformément répartie sur toute

la section transversale , un effort — sur l’unité de surface, effort qui produit

dans ces fibres une diminution de longueur exprimée par la fraction —, E ayant

la signification indiquée n" 77 : 2° que par l’effet seul de la flexion les fibres seraient allongées du côté de la face convexe, et contractées du côté delà face concave d'une quantité exprimée pour une fibre quelconque (conformément à

•Py

ce qu’on a vu n° 77) par la fraction n — . Les deux effets dont il s’agit ayant

dx 1

lieu simultanément, la plus grande compression à laquelle les fibres soient exposées est

Eu dx 2

en désignant par v' la distance à l’axe d'équilibre de la fibre placée du côté

de la face concave qui est le plus éloignée de cet axe, en mettant pour —

la plus grande valeur que ce coefficient différentiel puisse prendre dans toute l’étendue de la courbe.

La limite de la charge que l'on peut faire supporter à une pièce étant déterminée par le degré de compression ou d’extension dos fibres qui résulte de l'action de cette charge , conformément à ce qui a été dit n° 354 , on voit qu’en désignant ( comme on l’a fait n° Î81) par R’ le plus grand effort auquel les fibres doivent être exposées sur l’unité de surface , on doit écrire

R' (J <Py E E w dx »’

équation qui déterminera en général , comme on le verra dans les articles suivants, la valeur du poids dont on peut charger la pièce.

388. Dans le cas particulier dont il s'agit ici cette détermination ne peut être effectuée , parce que la flèche f demeurant indéterminée la solution ne

i Py

donne aucune relation entre — et Q. Cette indétermination subsiste égaled x1

ment pour les cas d’équilibre examinés dans les n” suivants. On indiquera à la fin de l'article la manière dont on peut se rendre compte de la résistance des pièces dans les applications.

EgnusKE dTse piEce cuvecEe veeticai ekext. ioesqce l'extrf.m itE ortntuit est

EXCASTEÉE, ET (.'EXTREMITE SEPÊBIEIEE ( IEEE.

389. Dans ce cas (Fig. 54). en conservant les dénominations du n” 383, on a

<Pr

f représentant l'ordonnée BM du point extrême. L’intégrale complète est

y = f-t- A sin. ~.x-\-6 cos. \ / —.x,

A et B désignant toujours les deux constantes arbitraires. Comme l’on doit dy

avoir y= 0 et — — 0 lorsque x= 0, la constante A est nulle, et B = —f.

L’équation de la courbe est donc

(' — cos'\/f *)•