II cos. a
Lorsque la fraction sera très-petite , ce qui aura lieu dans la
plupart des applications, cette équation différera très-peu de Il (c cos. a -r- 0 a sin. a)
d’où l’on tire
c cos. a -f- 0 a sin. a
comme dans le cas précédent.
ÉQl‘ (LIBRE D’tRE BltCE IRI'LoEE CBARCâE ERTRE LES EXTREMITES.
418. Le cas le plus simple est celui d’une pièce inclinée AB (Fig. 62), chargée en C du poids n , et supportée aux extrémités par des portions de plans horizontaux. Cette pièce ne tend pas à glisser, parce que le glissement ne produirait pas l’abaissement du poids n. En désignant par a , «' les lun-
gueurs AC, BC, on aura ri et II — — pour les efforts verticaux exer-
cés en A et en B. Chaque portion AC, BC de la pièce peut être regardée comme encastrée en C, et sollicitée à l’extrémité A ou B par ces efforts. Par conséquent la partie AC, qui est comprimée dans le sens de sa longueur, est dans le même cas que la pièce considérée n° 412, la force désignée par n
dans ce numéro étant ici II : et la partie BC , qui est étendue dans le
sens de sa longueur, est dans le même cas que la pièce considérée n° 415,
la force désignée par n dans ce numéro étant ici II .
419. La pièce AB (Fig. 63), supportée dans une direction inclinée par le point d’appui C sur lequel elle ne peut glisser, et chargée aux extrémités de poids qui se font mutuellement équilibre, est sollicitée de la même manière que la pièce précédente. La partie BC, qui est comprimée, est dans le même cas que la pièce considérée n° 412; et la partie AC, qui est étendue, est dans le même cas que la pièce considérée n" 415.
420. La pièce inclinée AB ( Fig. 64) , chargée en C du poids II, est souvent supportée d’une manière différente de celle que l’on a supposée dans le n° 418. L’extrémité supérieure B est appuyée contre un plan vertical, et l’extrémité inférieure A sur un plan horizontal : mais comme cette dernière extrémité tend alors à glisser, elle doit butter contre un appui, ou être retenue par un tirant. Le poids II est ici entièrement supporté par l’appui A. La pièce exerce en B une pression horizontale, déterminée par la condition
de faire équilibre autour du point A, avec le bras de levier AE , au poids il agissant avec le bras de levier AD ; et cette même pression horizontale se reporte contre l’appui placé eu A. Nommant a, a les longueurs AC, BC, cl a l’angle ACD , on aura donc
a tarif;, a
pour la pression horizontale dont il s’agit. Chaque partie AC et BC de la pièce est dans le même cas que si elle était encastrée en C, et sollicitée à l’autre extrémité par les forces qui viennent d’être indiquées. Par conséquent : 1° la partie AC, qui est comprimée, doit être assimilée à la pièce considérée n° 412, les forces désignées par P, Q, n dans ce numéro étant
t a \ / « lang. 2 a
ici respectivement égales à n sin. a I 1 I, n cos. a ( 1 •+■
a2 lang. 2 a
. 2" La partie BC , qui est également comprimée , doit
être assimilée ii la même pièce, les forces désignées par P, Q, II dans le
a sin. a a sin. a lang. a a lang. a
n" 412 étant ici respectivement n , n , Il .
ARTICLE Y
T>E LS RESISTANCE d’uNE PIÈCE PRISMATIQUE ELÉCniE, POSEE HORIZONTA CEMENT ENTRE DEUX APPUIS, ET CHARGÉE An MILIEU.
421. On suppose qu’une pièce prismatique M AM' (Fig. 65), ayant été fléchie, est posée horizontalement entre deux appuis dont l’intervalle est un peu moindre que la longueur de cette pièce , de manière que la convexité est tournée en haut. Un poids 2 P étant suspendu au milieu A de la longueur de la pièce, il s'agit de trouver les conditions de l’équilibre de ce système. Chaque moitié de la pièce est dans le même cas que si , étant encastrée horizontalement en A, elle était sollicitée à l’extrémité M ou M' par une certaine force dont la composante verticale est P. Ainsi nommant Q la composante horizontale de l’effort exercé contre les appuis M ou M' : .v, y les coordonnées A />, m p d’un point quelconque de la courlie ; a la moitié AB de l’intervalle des appuis;
•t la moitié AwM de la longueur de la pièce ; f l’ordonnée BM du point extrême de la courbe:
< ayant la signification indiquée n” 80 :
lequation d’équilibre sera
ou, faisant pour abréger p7= — , y7 = — ,
dx 7
L’intégrale de cette équation est
f — y= Ksin.q (x-yH)-t — (a — x),
A et B étant deux constantes arbitraires.
dy
422. On a, au point A, #=0, y = 0, — =0; et au point M , x=a,y=f;
ce qui donne les trois conditions
C— A sin. q B -I a,
0 = q K co*. o B ,
0 = nin.tf (a-*- B, d’où 7(aH-B) = tK,
* étant le rapport de la circonférence au diamètre, et i un nombre entier quelconque. On en déduit
et il reste l’équation de condition
lang. qa — q a
qs co». q a
lang. qa=qa OU /■ = — (q a — tang. qa).
Ainsi la valeur de la force Q est déterminée par la condition que la tangente
de l’arc
Vt
soit moindre que cet arc de la quantité f
ïVt;
; quan-
tité qui doit être fort petite, parce que la courbure de la pièce est supposée très-petite.
423. D'après les valeurs précédentes, l'équation de la courbe devient
p7 f *in. q a — sin. q ( a — x) \
et l’on en déduit, à fort peu près,
P* a f 3 lang. q a
ang 7qa).
Représentant par 0, p, etc. , la suite des arcs dont la longueur
est égale à celle de leur tangente, ou satisfera à la condition précédente en donnant successivement à la force Q des valeurs un peu plus petites que
Pi* • Ka* • fts* «
-, , , etc. Il résultera de ces suppositions des courbes présen-
aJ a 2 n*
tant un nombre de points d'inflexion de plus en plus grand.
En admettant la première de ces valeurs , la question proposée se trouvera résolue : les dernières équations des n"’ 422 et 423 feront connaître Q et f lorsqu’on se sera donné a, s et P. La forme de la courbe est représentée fig. 65.
424. Si l’on suppose / = 0, l'équation de condition trouvée n’ 422 devient
on a
d'où
la» g.gu = ga, d'où
Pi* * '
p{ Cl'’
pour l'expression du poids 2P qui , étant suspendu au milieu de la pièce, peut faire abaisser ce point au niveau des appuis. Ce poids doit être regardé comme le plus grand que la pièce puisse supporter. Si l’on supposait , eu effet , le point A placé au-dessous du point C (Fig. 66), l'équation d’équilibre devrait être écrite, en supposant les y positives comptées de bas cil haut,
dx *
On aurait pour l’équation de condition
lang. q a = g a + - — , OU f — — lang. g n — g n ); P* 7*
et l'équation de la courbe serait
p 7 /«in. ga — »m. 7(0 — x) \
cas. g n
Kl* ' Kj* ■
La force Q devrait être supposée un peu plus grande que 0, , — — ,
ni
1 — , etc. La première de ces suppositions doit être ici adoptée, et il en a*
résultera que la force Q, ainsi que le poids 2 P , prendront des valeurs beau-
coup moindres «|ue celles qu’ils avaient lorsque le milieu de la pièce était audessus de la ligne passant par les extrémités. La courbe, qui n’offre plus de point d'inflexion, est représentée parla fig. «fi.
Les résultals précédents expliquent l'excès de résistance que peut présenter une pièce lorsque, ayant été courbée, ses extrémités sont placées entre dps obstacles fixes. On voit que cette résistance a une limite que l’on ne peut dépasser sans obliger la pièce à changer aussitôt de figure. Après ce changement la pièce ne supporte qu’un poids beaucoup plus petit , et plus petit même que celui qu'elle supporterait, à courbure égale, si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis.
ARTICLE VI
1)E 1.* RESISTANCE DES PIÈCES PRISMATIQUES DONT e’aXE EST COURUE.
425. On s’est occupé dans l’article précédent d’une pièce dont la figure naturelle est rectiligne, et que l’on maintient courbée pour en augmenter la résistance. Il s'agit ici des pièces dont la figure naturelle est courbe, tels que les arcs en bois ou en fer employés à la construction des ponts.
Dans les pièces de ce genre, il peut exister entre la distribution de la charge et la figure de la courbe une telle relation . que la pièce se trouve simplement comprimée ou étendue, et ne tende point à changer de figure : on dit alors que la pièce est tracée suivant la courbe d’équilibre. Dans d’autres cas , la pièce tend à fléchir par l’action des poids dont elle est chargée.
DIS Plfxrs DO AT LA NGl'RE EST CELLE DE LA COIRBE D'EQCIMBRE.
426. La recherche de la courbe d’équilibre relative à une distribution donnée de la charge, dépend des principes déjà émis en traitant des voûtes. Considérons une pièce dont la figure naturelle est la courbe plane AM (Fig. 67 ), à chaque point de laquelle est appliquée une force dirigée dans le plan de la courbe. Cette pièce sera en équilibre , et ne tendra nullement à fléchir, si la pression qui a eu lieu au point quelconque m dans le sens de la courbe, est égale et directement opposée à la résultante des forces appliquée à la partie w/M de la pièce. On suppose d’ailleurs l'extrémité A appuyée contre un plan fixe perpendiculaire à la courbe. Par conséquent en désignant, comme au n° 505, par
LEÇONS Sun L’APPLICATION
x , y les coordonnées horizontale et verticale A p, pm d’un point m de la courbe ;
x la longueur de l’arc Am; a , b les coordonnées du point extrême M;
S la longueur totale AwiM de la courbe;
9 le rayon de courbure de la courbe au point m; a l’angle que la tangente de la courbe au point A forme avec l'horizontale Air;
F la valeur de la force appliquée au point m, pour une unité de longueur mesurée sur l’arc de la courbe ;
? l’angle que la direction de la force F forme avec l’axe horizontal Ax;
T la pression exercée au point m, dans le sens de la courbe ;
P et Q les forces verticale et horizontale appliquées au point extrême M ; on aura généralement
djr /*S
T — — P -t- / d ». F sin. ç, d» s
dx /»S
T — = 0-4- / di. F cos. <j>.
pour l'expression des conditions qui doivent être satisfaites pourquela pièce ne tende point à fléchir.
