Dans le cas particulier où le vase est prismatique
= O = 0' = û, N = — , N' = — : les équations (1) et (2) deviennent
Éliminant dt, et intégrant de manière que ï = ï„ quand U = O, ou quand le mouvement commence, on trouve
Force vive de la tranche «6 au bout du temps t. pttdz. w* = pii*U2 — ;
Force vive totale du fluide P Û* U* / — ;
*/ o fi»
Force vive acquise par le fluide pendant l'élément du temps dû.
— = [ ûUrf* ) o » \o'* ù* J 1
/%' dz /a* a* \ — +pllD«d#[ ; o «» VO/J O* /
Quantité d'action imprimée à la tranche a 6 dans l'élément du temps dt par la gravité gtdzu.udt^gçdzAUdt;
Quantité d'action totale imprimée au fluide par la gravité dans cet élément du temps 9gz'tx\Jdt;
• Quantité d'action imprimée dans le même élément du temps par les pressions exercées sur les tranches extrêmes ab, cd.
QVdt avdt PO PO' = (P— P')ûUrf*;
Égalant, conformément au principe de la conservation des forces vives la force vive acquise pendant le temps dt, au double des quantités d'action imprimées pendant le même temps, on trouvera l'équation (1).
20. Considérons maintenant une portion de fluide abcd coulant dans un tuyau ABCD (Fig. 3) dont Taxe MN, c'est-à-dire la ligne qui passe par les centres des sections transversales, est une courbe quelconque, et dont les sections transversales, supposées très - petites , ne varient que par degrés insensibles. On assimilera le mouvement du fluide à celui d'un système de tranches infiniment minces, formées par des plans perpendiculaires à Taxe du tuyau. On nommera
a, «, 0, Or les aires des sections transversales CD, a 6, ab, cd;
z la différence du niveau />* des centres des sections ab, <x,p;
z' la différence du niveau p q des sections extrêmes ;
C, v Les distances verticales/? N, q N des centres des sections extrêmes au
centre de la section inférieure CD ; S la longueur de la portion mu de l'axe du tuyau : S' la longueur de la portion mn du même axe ; x la longueur de la portion m n N ;
t#,U, p, P, P', p, g et /auront les mêmes significations qu'au n* 15. On aura, comme dans le n° 15, Masse de la tranche placée en « 6 p »ds;
Action exercée par la gravité sur cette tranche, qui est i
dm i
mouvoir suivant l'axe du tuyau, g — p» dt ; ',
l du \ '
Force perdue par la tranche , Igdz dt\ ;•; ■
( du \
Moment de cette force perdue Igdz dt lp«>.*$
et pour l'équation exprimant les conditions du mouvement, f*tf du
Remplaçant comme au n° 15,
du dV dt
■ — dt par 0
dt dt u
on trouve, au lieu de l'équation (1), •
dv r* dt pu* /a* û»\
dtJ o » 9 VO" 0*/
/• dt /»*' ds
— a remplacé / — .
31. On doit joindre à cette équation la relation — OdX= ÛOdf: . . .
* est regardé comme une fonction de ï donnée par la figure du tuyau. 22. On trouvera pour la valeur delà pression, comme dans len°17,
*C (Kg. 4) étant une section transversale faite dans le tuyau ; p le centre ^cette section; n* la direction du rayon de courbure de Taxe du tuyau au Iftt rs le centre de courbure étant placé du côté de v, soit menée la tangente te contour de la section perpendiculairement à t*v. Considérons un point lÉtamque i de la section, et abaissons de ce point sur ef la perpendicu- |re ik9 dont nous désignerons la longueur par y. A cause de la petitesse
ta sections du tuyau , on regarde toutes les molécules comprises dans la
P ûu
«tien aç comme se mouvant avec la vitesse w = — , et comme décrivant des
Barbes identiques avec Taxe du tuyau, dont le rayon de courbure pour le fat r* est r. L'action de la force centrifuge est dirigée dans le sens » p. : la £eor de cette action , rapportée à l'unité de volume du fluide , est pour un âtaft quelconque de la section,
la molécule de fluide placée en t, supportant 1 effet de cette action sur une pionne de fluide de la longueur ik ou y, la pression due à la force centrifuge IÉ aura lieu dans le point t , rapportée à l'unité de surface, sera donc
Cette quantité ajoutée à l'expression (8) de p, donnera la pression totale lit a lieu dans un point quelconque du fluide ou de la paroi. 14. Si toutes les sections du tuyau sont égales entre elles , on a
y = 0 = (X = u, N = — -, N' = — . Les équations (6) et (6) deviennent
du
K P - P'+ og (C -Ç') - p S' = 0,
— dX — Vdt;
ftrt en éliminant d t,
UdU = — dXlg 1 J.
