OZ-+-0'Z
Mettant ces valeurs dans les expressions de t, il vient pour la durée tolik du mouvement
87. Si le vase supérieur est entretenu constamment plein pendant quefc fluide s'écoule hors du vase inférieur, : = Z, et le mouvement est esprimt parla seule équation
o'dï' = arf/i/23(Z — o-O'rfJV/ajï';
perd point de fluide, l'équation du n° précédent se réduit à
c du
1/2 g ay/z-ç'
d'où, si 0' est constante ,
t = — = ii/z — r - i/z — n
û|/2fif J
pour le temps que la surface du fluide emploie à s'élever dans le second vase de la hauteur Z' à la hauteur C . Le fluide sera de niveau dans les deux vases au bout du temps
Ainsi , d'après ce qu'on a vu n° 49, le vase inférieur emploie pour s'emplir par l'orifice A le même temps qu'il emploierait à se vider par cet orifice.
Lorsque, dans les applications, les sections 0, 0' ne seront pas constantes, il sera facile de calculer par approximation les valeurs des intégrales dont dépendent les durées des écoulements, en employant les formules rapportées dans la première partie de cet ouvrage, n° 352. Mais il faudra avoir soin de partager ces intégrales en plusieurs parties, lorsque les sections changeront brusquement de grandeur ; et de n'appliquer les formules qu'à une portion d'intégrale dans laquelle 0 et 0' ne varient que par degrés insensibles. On aura égard, pour estimer le produit des orifices, à ce qui a été dit n° 83, en partageant, s'il est nécessaire, la durée de l'écoulement en plusieurs parties auxquelles on appliquera un mode de calcul différent.
89. Lorsqu'il y a plusieurs vases communiquant entre eux par de petits orifices, la connaissance du mouvement du fluide s'obtient au moyen des mêmes principes. On considérera seulement (Fig. 38) le cas où le vase supérieur étant entretenu constamment plein au niveau ab, l'état du système est devenu permanent, en sorte que le fluide se maintient dans les autres vases à des niveaux constants ef> ik, déterminés par la condition que la dépense qui a lieu par tous les orifices soit la même. Supposant seulement trois vases , et nommant
û, û' û" les aires des orifices C , G , L ;
Z la hauteur de la surface ab sur le centre du dernier orifice L;
x la distance des surfaces a bel ef;
y la distance des surfaces efetik;
z la hauteur de la surface ik sur le centre de l'orifice L;
Q le volume de fluide dépensé dans l'unité de temps par cet orifice ;
ou aura
d'oft l'on déduit
û'îû"1
O'il'
'-v-tt'U">+û'»û">'
i + ttiû»j+û"U"»
y ~ Ofl- il" \ / —
V Q'Û'*-t-a»ff'* + û'»fl''i
On parvient à des résultats analogues, dans le cas où il y a un plus grandi nombre de vases.
TITRE X
EFFORT SUPPORTS PAR VS VA8E DANS LEQUEL COULE UN FI.CIDE INCOMPRESSIBLE.
90. Soit en premier lieu, comme dans le n° 15, un vase ABCD (Fig. 39) dont l'axe est vertical, et dans lequel se meut une masse de fluide, soumise i l'action de la pesanteur, et comprise entre les plans horizontaux ab, ed,
?t par conséquent
dV f\\\
F=n — pu*' oipum ),
dt \0' 0/
orraule où l'on doit mettre pour U sa valeur déterminée de la manière indi- |uée dans le n° 16.
91. Si le vase est supposé entretenu constamment plein, comme dans le i* 25, l'orifice d'écoulement G D étant évasé , on a
du r\ i\
f = n - o û ç — - p ûj u* f ,
dt \SL Oj
>t lorsque te mouvement du fluide est devenu uniforme ,
(\ i\ o F = n-piiîu*( =n-2p0ûc .
Si l'orifice d'écoulement a était très-petit, cette valeur deviendrait, à fort leu près,
F = n-2PflrttC,
'est-à-dire le poids du fluide contenu dans le vase , moins le double de celui le la colonne dont l'orifice est la base.
Si le vase se vidait, comme on l'a supposé nM 42 et suivants, on mettrait tour O, C et U dans la première formule du n° précédent les valeurs qui auaient lieu simultanément à un instant donné, conformément à la théorie xposée dans le titre IV.
Si l'orifice d'écoulement n'était pas évasé, on écrirait dans les formules rtû au lieu de Q {voyez n° 54) , et l'on regarderait C et U comme appartenant
la section dans laquelle la veine s'est contractée.
92. En second lieu considérons, comme dans le n° 20, une portion de luide abdc (Fig. 40) coulant dans un tuyau dont les sections transversales ont très-petites, et dont l'axe est une courbe quelconque, que nous supposons apportée à deux coordonnées horizontales x et y , et à la coordonnée verbale z. En conservant les dénominations du n° 20 , on nommera
«, 6, 7 les angles formés par la tangente de l'axe du tuyau menée au point t* avec les axes des #, des y et des z; • À, B, C ; A", B', C les angles formés par la tangente de Taxe du tuyau menée au point m et au point n avec les mêmes axes ;
afy y\ z' les distances des points m et n mesurées parallèlement aux axes les xy des y et des z;
E, n, C les distances des points m et N mesurées suivant les mêmes directions ;
r le rayon de courbure de l'axe du tuyau au point p. ;
n le poids du fluide contenu dans le tuyau-.
L'effort exercé sur le tuyau par la tranche du fluide placée en «6 est produit :
38i LEÇONS SDR L'APPLICATION
1* Par la force perdue par celte Iranche, dont l'expression est . . .
j/cos.t J.Bitdi, et qui est dirigée dans le sens de l'axe du tiiyaa;
2- Par la composante g sin. i . p sds de l'action de la gravité sur la nie» tranche, qui est dirigée perpendiculairement à cet axe, dans le même pin vertical que la précédente;
3° Par la force centrifuge — - ? <■> ds dont la tranche est animée [voj/m n*£>!.
qui est dirigée dans le sens du rayon de courbure, qui forme atec les aïo des angles dont les cosinus sont respectivement
Cela posé, pour connaître l'effort exercé contre le tuyau dans une direction parallèle aux te, on décomposera suivant cette direction les forces âR«sant sur la Iranche de fluide dont il s'agit, et comme pour les composante dans le sens des ,r des deux forces geos. tp»ds,j/sin.-r p <*ds (qui elles-méme proviennent du poids de la tranche), la somme est nulle, puisqu'elle doit donner en définitive la projection du poids delà Iranche sur cetaxedcsx qui est horizontal , on obtiendra
du a </U ÛO da d*
Puis remarquant, comme au nn 20, que -- = — ;
dt u (Il u' ,/« ,// '
d» au
plaçant toujours — par v, ou —, celle expression devient
DE LA MÉGANIQUE, 2"* PARTIE. 38i>
■"; et dans une direction verticale parallèle aux z
dV /co$. c cot. c\
n-oav pa*u* [ (3)
, dt V. o' o /
j* en considérant alors que les forces élémentaires provenant du poids donnent ; d'abord pour somme de leurs composantes verticales, le poids de la tranche, et ensuite pour intégrale le poids du fluide, ou n.
95. S'il s'agit d'un tuyau entretenu constamment plein , les formules précédentes conviendront à ce cas en faisant 0' = û, et mettant î, u et C à la » place de x', j/y z!. On aura donc alors pour les efforts exercés respectivement dans le sens des oc, des y et des z
d U /cos. A' cos. A
-?ai -pû»d» — ) (4)
dU /cos. B' cos. B\ -pû,— --pû'U' — 7 m
dt \ a o /
i dV /cos. C cos. C\
I n~pû: pû*u» (O
\ dt \ a o J
Lorsque, dans un tuyau entretenu constamment plein, le mouvement du Ë laide sera devenu uniforme , on emploiera les formules précédentes, en y
dV
K supprimant les termes qui contiennent — .
li le tuyau se vide, on emploiera encore les mêmes formules, en y mettant .* pour 0, S, u, c, U et II les valeurs qui ont lieu simultanément à un instant donné.
94. Pour un vase de figure quelconque , l'effort supporté dans une direction donnée étant la somme des efforts exercés suivant cette direction par tons les filets du fluide contenus dans le vase, les formules du n° précédent peuvent être appliquées lorsque le mouvement du fluide est supposé uniforme. La valeur de U sera déterminée conformément aux n°* 32 et suivants.
Par conséquent, un fluide s'écoulant d'un vase entretenu constamment plein , par un orifice dont le plan est vertical , qui n'est pas très-près de la surface supérieure du fluide , et dont l'entrée est évasée , on a , par les formules (6) et (5), effort exercé verticalement, de haut en bas
pQ»u> on
Hh , ou Ti+îog.Qï j (7)
effort exercé horizontalement, en sens contraire du mouvement du fluide,
pûu*, ou 2p$ac- (8)
o* - tt»
Si l'orifice d'écoulement fi est très -petit, le dernier effort, nommé ordi-
nairement force de réaction , est 2 » g Q c. Ce résultat s'accorde avec ce q« été trouvé d'une autre manière
96. Si l'on considère maintenant, comme dans le n° 67 , le cas d'un dont l'axe est vertical (Fie. 41 ), et qui présente un changement brusque dam la grandeur de ses sections, conservant les dénominations de ce n°, on rem» qucra qu'ici l'effort exercé sur le vase de haut en bas, est augmenté de If force nécessaire pour opérer le changement brusque de vitesse des tranches qui passent immédiatement de la section GH à la section I K. Cette force i /ou ou\ /a a \
étant exprimée par ?ûVdt. — I .ou pûU* f — — — I, ce»
dt\a- c/ Va- o'J
quantité doit être ajoutée aux expressions de F des n*" 89 et 90. Par cooaquent, le vase étant entretenu constamment plein, et le mouvement du fluide uniforme, on a
,„,ri i fi i)-i,
Lo o \a' 07 J
formule dans laquelle on doit mettre pour li la valeur trouvée n" 67. Pif l'effet du passage du fluide de la section G H dans la section plus grande IL l'effort exercé sur le vase de haut en bas est augmenté. Cet exemple inootrr comment il faudrait opérer s'il y avait plusieurs diaphragmes, ou dans (Cintres cas analogues.
9fi. Si l'on considérait un vase dont le fluide s'écoule par un ajutage cylindrique horizontal, il faudrait retrancher de L'expression (8) de la forredt réaction qui a lieu dans le cas de l'écoulement par un orifice donl l'eiiirw
est évasée, lavaleur pQU*f 1 J de la force perdue par la tr.inrhripi
entre dans l'ajutage. Cette force de réaction se réduira donc, à
TITRE XI
l'équilibre et du mouvement d un fluide contenu dans un vase
en mouvement.
*U. Considérant en premier lieu un vase mu verticalement de bas en haut
r une vitesse dont la valeur au bout du temps t est V, on remarque que les dV
ftffes du fluide supposées animées des forces perdues g h — doivent être
dt
I équilibre. Par conséquent la pression intérieure , au lieu d'être simple- MBt due à l'action de la pesanteur, est due à l'action d'une force capable
dv ^■primer la vitesse jh — dans l'unité du temps.
dt
?8 le vase est mu de haut en bas avec la vitesse Y, la pression intérieure
dv
j/L due à Faction d'une force capable d'imprimer la vitesse g dans
dt
Rrité du temps.
Ttans le premier cas, la pression est diminuée si le mouvement du vase est tardé; et, dans le deuxième cas, elle est augmentée. Quand le mouvement fcvase est uniforme, l'état du fluide est le même que si le vase était en repos. M. Soit ABCD (Fig. 42) un vase dont l'axe est vertical, qui contient une piaille quantité de fluide coulant par l'orifice CD, et qui est mu verticale-
fit de bas en haut par l'action du poids G. Conservant les dénominations * 15. nommant
H la masse du poids G ;
t la masse du vase ABCD, et qui y est contenu au bout du temps t;
T la vitesse commune du poids G et du vase au bout du temps t; ftlégligeant la considération de la masse du cordon et des poulies, on aura K+tOV* pour la force vive du système au bout du temps t; parconsé- |ttt(lf -4-H-) 2 V dV-*-d i*.V2 pour la force vive acquise dans l'intervalle du ttps dt. La quantité d'action imprimée par la gravité dans cet intervalle Kf (M— k) V dt. On a donc d'abord la relation ,
dV 1 dp.
dt 9 dt
D'après ce qui précède, et d'après l'équation (1) du n° 42, on aura de plus ■r les conditions du mouvement du fluide dans le vase
/ rfV\ dV p% dz c* / w\
V dt) dtJ 0 » î\ ov
équation à laquelle il faut joindre la suivante
avtu = — odz.
Au moyen de ces trois équations, on déterminerait V, U et î en fonetin
Si le rase était entretenu constamment plein, p, C et U seraient cousti
La première et la seconde des équations précédentes donneraient, ea
posant l'orifice U fort petit,
«fv M— » f~{ dV\
dt M+* V \ dtj
9yï. .
Si M = o, le mouvement du vase est celui d'un corps cédant libre» l'action de la pesanteur, et le fluide ne sort pas de ce vase. Si M --- c, le est immobile, et le fluide s'écoule avec la vitesse v'ïgr,. Si M est tres-fl par rapport à y- , le vase se meut de bas en haut en acquérant la vite dans l'unité de temps, et l'écoulement s'opère avec une vitesse plus gr que la précédente dans le rapport de \/Y~ a J,
99. En considérant maintenant (Fig. 43) un vase mu horizontalement la vitesse V, on devra concevoir chaque molécule du fluide qui y est coi comme perdant, dans chaque élément du temps, la vitesse verticale^ la vitesse horizontale — dV, dirigée dans le sens du mouvement d» l Donc l'équilibre doit subsister, chaque molécule étant animée de U I
g' + i — ] dont la direction forme avec la verticale un angle i;
100. Soit enfin (Fig. 44) un vase de figure quelconque, mu circulairement autour de l'axe vertical M N, et contenant une certaine quantité de fluide. On suppose le mouvement du vase uniforme, et que le frottement ou les autres Résistances aient communiqué ce même mouvement au fluide. Nommons
v la vitesse de rotation des points du fluide situés à une distance de l'axe
MN égale à l'unité; x la distance tnp d'un point quelconque m de la surface au même axe ; y la hauteur M/? du point m au-dessus du point M où la surface coupe
l'axe M N.
L'équilibre doit subsister, chaque molécule étant animée de la force vertisale de la pesanteur g, et de la force centrifuge ou v2x qui est dirigée
le rayon du cercle décrit par cette molécule. Donc la surface du fluide, doit être perpendiculaire à la résultante de ces deux forces, est une sur-
de révolution dont la courbe méridienne aMb est assujettie à la condi-
dy v*x v*x2
— = , d'où r= — ,
dx g *g
qui apprend que cette courbe est une parabole. On parvient au même réit en remarquant que, dans le canal Hqm, dont les deux extrémités ;nt à la surface, le poids $gy de la colonne verticale ni g doit faire équilibre à l'action de la force centrifuge sur le fluide contenu dans la Colonne horizontale M?, action exprimée par £ p v2 a* , ce qui donne
La pression qui a lieu dans un point quelconque de la masse du fluide est due a la distance verticale de ce point à la surface.
TITRE XII
