UN AUTAE VASE REMPLI DU MÊME FLUIDE
80. Soit le vase ÀBCD (Fig. 35). dont Taxe est vertical, et qui est entretenu constamment plein au niveau AB. Le fluide s'écoule par l'orifice CD. dont l'entrée est évasée dans le vase inférieur EFGH. Ce dernier vase, par l'effet de cet écoulement, est entretenu constamment plein au niveau EF. On suppose que les sections des deux vases ne varient que par degrés insensibles. Il s'agit de connaître la vitesse qui a lieu en CD, et la pression dans l'intérieur des deux vases. On nommera
tt Taire de la section C D ;
O Taire de la section AB;
af Taire de la section I K du vase inférieur ;
C Taire de la section EF, du même vase, déduction faite de l'espace occupé
parle vase ABCD; », •/ les aires d'une section horizontale quelconque a 6 faite dans le vase
ABCD, et iv faite dans le vase EFGH, déduction faite de l'espace
occupé par le vase ABCD; x9 z' les distances des sections a 6 et A B, et des sections i ? et EF ; CCles distances M N et ON de la section CD à la surface supérieure du
fluide dans les deux vases ;
176 LEÇONS Stlft L'APPLICATION
U la vitesse du fluide à la section CD:
p la pression dans la section a 5 ou dans la section < ? :
P la pression atmosphérique qui s'exerce extérieurement sur les
AB,EF; p,<7, t auront les mêmes significations qu'au n° 15.
11 au lin
(Si l'entrée de l'orifice C D n'était pas évasée, il faudrait écrire m û su lin de a, et regarder la hauteur ; et la vitesse U comme appartenant à la sectin dans laquelle la veine s'est contractée, )
Le mouvement du fluide est supposé devenu permanent. Les trancha descendent dans le vase ABC D. passent immédiatement de la section CD à k section IK, et s'élèvent dans le second vase delK en EF. On verra, comw dans le n" 67, que la force vive acquise par le système dans un élément de
lempsrf/estpflUrfïU;
, et que (a force vive perdue par MM
du changement hrusque de vitesse des tranches qui passent de C D en II
est fUXIdt, U* [ i 1. D'autre part, la somme des quantités d'action
exercées par la gravité sur les tranches de fluide contenues dans le «* ABCD est ?gZ.&Udt;el sur les tranches contenues dans le vase EFGfl, — por.flUrfï. Les quantités d'action dues aux pressions exercées en AB et EF se détruisent mutuellement. L'équation du mouvement du fluide «1
DE LÀ MÉGANIQUE, a- PARTIE. 577
, pour la section IK du vase inférieur. Ces deux valeurs deviennent identiques . quand on y remplace U par l'expression précédente. La seconde donne la ..pression pour les sections du vase inférieur placées au-dessous de IK, en y r mettant 4 au lieu de c ;
- V* oa V ûv S
p c» / ûj a» \
f ï pour les sections du vase inférieur comprises entre I K et la surface supé- - rieureEF.
82. L'orifice de communication CD étant supposé très-petit par rapport aux sections A B, EF, IK, on a
la vitesse à cet orifice est due à la différence des pressions dans les deux vases ;
pû*u*
p=P-f- pj/* —
[ pour une section du vase supérieur comprise entre A B et CD ;
pU*
p = P-Hp0Ç',
pour la section I K du vase inférieur. La seconde donne la pression pour les sections du vase inférieur placées au-dessous de IK, en y mettant t! au lieu de C\ La pression y est la même que si l'orifice CD était fermé, et le fluide stagnant;
pua/û2 \
2 WJ J
pU*û* «'a
pour les sections du second vase placées entre IK et EF.
83. Les résultats précédents peuvent être appliqués, quelles que soient les figures des vases et la position de l'orifice, lorsque ce dernier est très-petit. Les résultats relatifs à la pression sont sujets néanmoins aux restrictions qui ont été indiquées n° 53. L'exactitude de l'expression précédente de la vitesse U avait été vérifiée par une expérience de Newton, et l'a été depuis par beaucoup d'autres.
Dans le cas où le fluide (Fig. 36) s'écoulerait d'un vase supérieur dans un
vase inférieur par un orifice latéral CD, et où le niveau £ F de la supérieure du fluide dans le second vase se trouverait comprise e ntre le le plus élevé et le point le plus bas du contour de l'orifice, on pourrait garder l'orifice CD comme composé de deux parties dont on calculerai séparément la dépense.
1" Dans la partie CF on considérerait la vitesse comme étant due à ladil1 férence des niveaux AB, EF;
2" La partie FD serait considérée comme un orifice dont le fluide sort a jaillissant dans l'air.
Les mêmes principes peuvent êlre appliqués à la considération du mouvement varié du fluide dans deux vases qui communiquent entre eus par un orifice, et dont l'un se vide tandis que l'autre s'emplit. On a vérifié que plusieurs résultats de la théorie s'accordaient avec l'expérience.
TITRE IX
MOUVEMENT d'dHI FLUIDE lXCOMl>HESSIDLE QIH s'ÉCOlI.E d'un VASE DANS US AÏTBE.
84. On considérera seulement (Fig. 37) le cas de deux vases qui communiquent entre eux par un orifice très-petit par rapport aux sections Iranssersales. On supposera que l'orifice de communication il, et l'orifice d'écoulement Q . sont dans un même plan horizontal. Il s'agit, d'après les position des surfaces ab, cf du fluide dans chaque vase, à un instant donné, df connaître ces positions à tout autre instant. Nommons
0,0' les aiiTs v;ni.ih[cs ih's M'i-iiini*, Miju'iïcm-ts ah, t'fi\;tn~ chaque va* =
Supposant que Q ne varie point avec t9 on en déduira, en éliminant dt,
OrfÇ O'rfC
Mettant pour 0 et (V leurs valeurs en C et c, on obtiendra une relation entre ces deux quantités ; puis, au moyen des équations précédentes, les relations cherchées entre t et t, ? et t. Mais cette équation n'est pas intégrable sous forme finie, et elle ne l'est même pas quand 0 et 0' sont constantes.
85. Si le vase supérieur ne reçoit point de fluide, Q = o , et l'équation se réduite
ûi/ç^7" ûi/ç^T-û'i/?
Si 0 et 0' sont constantes, et qu'on fasse C = ? x9 puis # — 1 = ?/,2, elle devient
20(ûu — Q')udu <K' + — = 0,
o(«î + i)(att-û')-o'ûtt c
où les variables sont séparées, et qui peut s'intégrer sous forme finie.
86. Si le vase supérieur ne reçoit point de fluide, et si le vase inférieur n'en perd point, l'équation du n° 84 devient
OrfC-*-O'rfÇ' = 0,
d'où, si 0 et 0' sont constantes,
et
On a la relation d'où
O'rfÇ' O'I/Ô d?
di =
û|/20(ç-C) ûi/F^ i/Ôz-ho'z'-io + o'):''
et en intégrant
il(0-*-0')|/2^
pour le temps que la surface du fluide dans le second vase emploie à monter de la hauteur T! à la hauteur Ç'.
On a également la relation
ûtf#t/a0(c-c') = -Of/c,
U^/îgiZ-i') U|/2j |/(0+0')ï -oz—or
[l/o'(z- y) — v/fo + o') : — oz -oTj
pour le temps que la surface du fluide dans le premier vase emploie à descendre de la hauteur ï à la hauteur (■
On aura le temps que le fluide emploie à se mettre de niveau dans les deux vases en posant ! = t', d'où
