DU MOUVEMENT C NI FORME DE L'EAU DANS LE!) TUYAUX DE CONDUITE

104. Pour acquérir des notions exactes sur cette matière, il est saire de considérer d'abord l'écoulement de l'eau par un tuyau de conduite qui établit la communication entre deux vases, en faisant abstraction de l'effet de l'adhérence des molécules du fluide entre elles et avec celles de la paroi du tuyau.

[fous considérerons (Fig 48) le système formé du tuyau MïN" , ayant partout un égal diamètre, et établissant la communication entre deux vases entretenus constamment pleins, aux niveaux ab, cf. La section e/"étant supposée plus petite que la section a b , le mouvement du fluide deviendra toujours uniforme. Nommons

«l'aire d'une section transversale quelconque faite dans les vases ou le tuyaux;

0 l'aire de la section ai;

0' l'aire de la section ef;

il l'aire de la section constante du tuyau ;

o l'aire de la section;; A;

m le coefficient de la contraction qui a lieu en M ;

z la dislance mp du centre d'une section quelconque m au niveau supérieur ab;

t la distance Q R des niveaux du fluide dans les deux vases ;

conséquent la vitesse dans le tuyau

-- /lîL - / *gK

La valeur de la pression sera donnée par la formule (8) du n° 22, dans

e on doit faire Ç'=o, P = P', et substituer pour U la valeur précé-

ce qui donnera

p=P-t-9ya pU* I

^ ~~ ov

es dans lesquelles il faut foire » = il pour toutes les sections appartei tuyau MN. On a par conséquent, dans toute l'étendue MN du tuyau,

p = P + P^--POMl~-li (2)

section U du tuyau est fort petite par rapport à la section 0 du vase

iur,

P = P-+-P0S pU» . (3)

Si le tuyau n'est point évasé à ses extrémités, la loi du mouvement t comme il suit, en ayant égard aux pertes de force vive qui ont lieu en i N. On a

j vive acquise par le système dans le temps d f . . . p U U df . UJ ( I;

> vive perdue dans le même temps en M. . . ? u U dt. U* ( 1 J ;

i vive perdue dans le même temps en N. . . p-OU dt. Ua ( 1 );

tité d'action imprimée à une tranche quelconque

d% ÙUdt

r la gravité dans le temps rf t. . . ?g*ds.~ =çgdzil\Jdt;

de a

oe des quantités d'action imprimées à toutes les tranches. çgZMUdt. tation du mouvement du fluide est donc

P0C.aud< = pûud<u*n + | A-iJ + M M-

3f4 LEÇONS SDR L'APPLKATIO!»

d'où l'on lire

^-hhm-'j

Si le vase inférieur est supprimé, et si le fluide dégorge dans l'air a Fi

mité N. on«u = o -(>■, et

Si la section du tuyau est très-petite par rapport aux sections dea

vases, ce qui est le cas ordinaire, on a

Si la section du luyau étant toujours très-petite par rapport aux se du vase supérieur, le vase inférieur est supprimé, et si le fluide dégorg L'air, on a comme ci-dessus

107. Le tuyau n'étant point évasé à ses extrémités, la valeur de la pn

Le vase inférieur étant supprimé, les formules (7) et (8), en y mettant respectivement pour U les expressions (5) et (6), donneraient également

Ainsi la pression serait plus petite que la pression atmosphérique extérieure dans toutes les parties du tuyau situées au-dessus du niveau de son extrémité inférieure (ee résultat n'a pas lieu en réalité, parce que, comme on le verra plus loin, les valeurs précédentes de la vitesse sont beaucoup plus grandes que les valeurs données par l'observation).

108. En soumettant à l'expérience le genre d'écoulement dont il s'agit, on trouve pour la vitesse de l'eau dans les tuyaux des valeurs plus petites que celles qui seraient données par les formules des n°* 104 et 105. La différence qui est d'autant plus grande que le tuyau est plus long et le diamètre de ce tuyau plus petit, est produite par l'adhérence des molécules du fluide entre elles et aux parois du tuyau. L'effet de cette adhérence n'est pas sensible quand le fluide s'écoule hors d'un grand vase par un orifice ; mais il le devient quand le fluide parcourt un long tuyau.

L'action des forces moléculaires qui altèrent ainsi le mouvement du fluide a été soumise à un calcul exact, dans le cas où le fluide coule dans un tuyau rectîligne, et où toutes les molécules se meuvent parallèlement à l'axe du tuyau. La valeur de la vitesse d'écoulement est donnée alors par une expression qui se réduit, quand le diamètre du tuyau est extrêmement petit, à

U, Ç, #, x ont les significations indiquées n° 104;

D diamètre du tuyau ;

£ constante à déterminer par expérience, dépendant seulement de l'adhérence réciproque du fluide et delà paroi, et variable avec la température. Ce résultat s'accorde avec des expériences très-curieuses faites par M. Girard, sur l'écoulement de divers fluides par des tubes capillaires (voyez les Mémoires de l'Institut, 1813 — 1816).

109. Cette théorie ne peut convenir aux cas ordinaires des applications. Le mouvement plus compliqué que prend alors le fluide n'ayant point été soumis au calcul, on n'a plus d'autre guide que les résultats des expériences.

Les expériences connues donnent la loi de l'écoulement avec une exactitude suffisante, lorsque la longueur du tuyau est au moins égale à 400 fois son diamètre, et lorsque la vitesse d'écoulement U ne surpasse pas 2m,5. Les recherches de M. Prony ont démontré que les résultats de ces expériences sont représentés, en admettant que les forces, produisant la viscosité du fluide et

son adhésion à 1s paroi du tuyau, impriment dans chaqi temps une quantité d'action exprimée par

— ?ï\{aV-*-&V')\]dt.

x étant le contour de la section transversale du tuyau

a, 6 des coefficients constants qui doivent être déterminés de manière* a-

tisfaire aux expériences.

En introduisant ce terme dans l'équation du mouvement du fluide Ira n* 106, elle devient

et si la section du tuyau est très-petite par rapport aux sections des vase».

%gK= (atl+euïJ-t-U' |Y l] -+- il (M

d'où l'on déduira pour U une valeur plus petite que l'expression (4) du o* 106. 110. La section du tuyau étant supposée fort petite par rapport aux jetions des vases qu'il réunit, et le diamètre de ce tuyau étant au plus égal ■ i Jde sa longueur, l'expérience apprend que le dernier terme du second moabre de l'équation (10) peut être négligé par rapport au premier, ce qui donne g DU

3oï = («U + 6C»), OU =aU+SD> {11}

Les valeurs di.'iets, dûlui-mint-es de manière à satisfaire le mieux possible

111. On a, pour calculer le diamètre d'un tuyau qui doit servir à écouler le volume d'eau Q dans une seconde sexagésimale , l'équation

US. Dans des mémoires publiés en 1814 et 1815 dans le recueil de l'Académie de Berlin, M.Eytelwein a appliqué les expériences connues sur le mouvement de l'eau dans les tuyaux à la détermination des coefficients * et 6

de l'équation (10) du n° 109, en y conservant le terme U* I [ 1 ) -+- il.

Posant, pour abréger il + 1 = — , cette équation devient

2?Ç = {aV +GV*)+ - (14)

M. Eytelwein suppose n = — = 0,8125, afin qu'en faisant x = o , l'équation

donne pour U la valeur indiquée par l'expérience dans le cas où le fluide s'écoule par un ajutage cylindrique d'une très-petite longueur (voyez n° 78), et U se trouve pour les valeurs qu'il convient d'attribuer aux coefficients a et s afin de représenter le mieux possible les résultats des expériences (le mètre étant l'unité linéaire),

L'équation précédente , résolue par rapport à U, donne

-X-H\/x*-+- [ XH )2 0DÇ

ou , en substituant les valeurs précédentes de a et p,

— X -f- l/x*-+- (560776. X -*- 38617582 . D) DÇ

Fanez l'écrit intitulé Recueil de cinq tables pour faciliter et abréger le» calculs des formules relatives au mouvement des eaux, etc..., publié en

septembre 1825, par H. de Prony (les mémoires de H. dnits dans les Annotée des mines, t. 12, 1826). 115. Si x est très-grand par rapport à D, on peut réduire cette

t/o,oo

114. Si l'on veut se contenter d'une formule approchée plus simple <pe les précédentes , on négligera le terme « U dans l'équation (1 4} qui se rédnin alors à

M. Eytelwein trouve que la valeur qui convient le mieux au coefficient epov représenter les résultats des expériences, est alors

On a pour l'expression de la vitesse

Si le tuyau n'est point évasé à l'extrémité supérieure, la formule précéte, conformément à ce qu'on a vu n° 68, devient

Pu* r û» (\ Vl px«

p-=P-*-pflrs 1 h[ 1 (aU-+-6U*), (20)

* si la section du tuyau est très-petite par rapport à la section supérieure 0 ta réservoir

pU2 4p«

p = P-*-p«s (aU-t-GU*)

* ayant la signification indiquée n° 112.

Si, comme cela arrivera dans beaucoup de cas, on peut négliger le terme Pu* , cette équation devient, en ayant égard à l'équation (11) du n° 110,

p = P + p0fs-çl) (»)

Soit tracée (Fig. 49) du niveau P du réservoir supérieur à l'extrémité inférieure du tuyau, la ligne droite PN. Dans la plupart des tuyaux de conduite,

s Mm le rapport — , ou , différera peu du rapport des lignes Vp, PR. Donc