V -t- S,iH

L' étant la vitesse moyenne;

V la vitesse à la surface et au milieu du courant;

W la vitesse au fond du lit.

On peut s'épargner le calcul de la première de ces formules, en emplojidt la table suivante :

vin.»

Rapport de la vitesse moyenne à la vitesse à la surface. . . .

0,8 W 0,663 OJffï

Les vitesses, dans les expériences sur lesquelles ces résultats sont eUhfc se sont élevées jusqu'à lm, 3.

TITRE XV

lion primitive delà surface de l'eau, qui est parallèle à ce fond, un vannage est établi en P; nommant

0 l'aire delà section ordinaire du courant;

U la vitesse moyenne;

ii' l'aire de l'orifice établi dans le barrage ;

m\t coefficient de la contraction de la veine à la sortie de cet orifice ;

C la hauteur pq du remous occasionné par le barrage.

uû

On aura pour la vitesse moyenne que l'eau devra prendre après son

passage par l'orifice. Or le système dont il s'agit peut être assimilé à un vase où l'eau, entrant par la section û , sortirait par la section m fi, sur le centre de laquelle il y aurait une charge ç. Donc , conformément aux résultats établis précédemment , et en négligeant la considération de la pente du lit, qui est ordinairement très-petite, on a

mû

-=%/ — * — , d'où c= — ( i.

On parvient au même résultat en remarquant que la vitesse à l'orifice doit être due à la charge du fluide qui a lieu sur cet orifice, plus la hauteur due à la vitesse naturelle du courant.

129. En supposant ( Fig. 56 ) que la section ait été resserrée sur le fond et les côtés seulement, et admettant que le seuil Q du barrage ne s'élève pas jusqu'au niveau de la surface mn du courant dans son état naturel. Nommant

C la profondeur naturelle m M du courant:

y la distance QR, depuis le niveau du seuil du barrage jusqu'au niveau

primitif de la surface du courant; ç la hauteur R T du remous qu'occasionne la présence du barrage ; b la largeur laissée au passage de l'eau sur le barrage ; U la vitesse moyenne naturelle du courant ;

H la hauteur due à cette vitesse = — ;

Q la dépense par seconde du courant :

on pourra (conformément à ce qui a été dit n° 83) regarder la section S comme étant formée de deux parties, l'une QR, dans laquelle le fluide s'écoule avec une vitesse moyenne due à la différence TR ou ç des niveaux du Buide en amont et en aval de cette section ; l'autre RS dans laquelle le fluide ooole comme s'il jaillissait librement dans l'air. Si l'on suppose d'ailleurs la hauteur inconnue S de cette dernière partie déterminée d'après le principe

4M IRIONS SUR L'APPUCATIOS

employa n°62,on aura, en appliquant ici le résultat de ce o", RS=0.72fî.î- D'après cela, et en remarquant que, pour avoir égard au mouvement p» mitif du fluide, il faut supposer les charges produisant les vitesses fl» chaque partie de l'orifice augmentées de la hauteur H, il viendra :

1° Pour la dépense faite par la partie inférieure QR de l'orifice, en wniront m le coefficient de la contraction qui convient à celle parlie ;

ni » i . 1/97ÏÏ -t- H) ;

2" Pour la dépense faile par la parlie supérieure RS , en nommant m k coefficient de la contraction qui convient à cette partie,

/ | A /El — (0,2733)-J Z' ! '

On aura donc l'équation

0=6 \/Tg \ m T |/Ç-»-H + 0,7347 .»'..( i/0,G195 .C -»-hÎ ; cl la valeur de ç qui salisfera à celle équation donnera la hauteur RT Ji remous.

130. Si la section était seulement resserrée par les côlés, comme cela arrive généralement au passage des ponts, on supposerait i — C. La valeur troun* pour ï indiquerait la chute qui se forme à ce passage. Les valeurs qu'il convient alors d'attribuer au* coefficients m et m' sont les suivantes. Lorsq» les piles sont terminées en demi-cercle ou par des angles aigus. 0.95; loriqu'elles sont terminées par des angles obtus, 0,9 ; quand elles sont terminée carrément, en supposant les arches grandes 0,85; dans les cas les plu* désavantageux , c'est-à-dire, pour de petites arches, et lorsque les naissances

Considérons (Fig. 58) une portion quelconque d'un courant d'eau, comprise entre les deux sections M N et m n, et désignons par

û et • les aires des sections MN et m n ;

Z et z les distances verticales MP et mp comptées du fond du lit jusqu'à an plan horizontal quelconque Vp;

Z, et z{ les distances verticales G P et gp comptées du centre de gravité des sections jusqu'au même plan horizontal ;

H et A les hauteurs de l'eau MN et m n dans les deux sections ;

H, et A, les hauteurs M G et m g des centres des sections sur le fond du lit;

U et m les vitesses moyennes de l'eau dans les deux sections MN et mn;

P etp les pressions moyennes qui ont lieu dans les mêmes sections ;

S et s les longueurs des arcs passant par les centres de gravité des tranches qui se terminent aux points G et g;

p, gel t ayant les mêmes significations qui leur ont été attribuées dans les numéros précédents.

Nous supposons toujours le mouvement du fluide constant, c'est-à-dire que la vitesse ne varie pas avec le temps dans une même section. La force vhre acquise dans l'élément d t par la portion de fluide comprise dans l'intervalle M Nnm sera donc l'excès delà force vive de la tranche qui passe en M N sur la force vive de la tranche qui passe en m n, c'est-à-dire

La quantité d'action imprimée dans le même temps par la gravité est

og tù udt(Zx — £{).

La quantité d'action imprimée par les pressions exercées sur les sections extrêmes est

ptùudt — ?QVdt;

enfin, en évaluant l'effet des forces retardatrices, conformément à ce qu'on a vu n° 109, la quantité d'action imprimée par ces forces sera

Nous aurons donc (en divisant tout par les facteurs constants »udt, aVdt) l'équation

Mais l'on aZ, =Z — Hn et zt =z — A,; de plus, comme la surface supérieure du fluide est libre , la pression moyenne qui a lieu dans chaque section est due à la distance moyenne de chaque point de la section à la surface du

fluide, ce qui lionne P= ?</(H — H,) et P=?g (h— lu). Ces valeur»,*» substituées dans l'équation précédente, la changent en

= Z-a-(H-A)-/ dt - I — v + ^

Si l'on dtfférentie cette équation

n aura -=-d»-t-dh+ds.

SoitQ le volume d'eau qui truverse chaque seclion dans l'unité de tft»p

d'où U-. Supposons constante la pente du fond du courant, que nousik*

gnerouspar i, d'où dz — ids. L'équation précédente deviendra

Q'd» I /« « G Qi\

= -ids-*-dh+dt.- 1 .

Admettons encore que la figure de la section soit régulière, en sorte <jk l'aire de cette section soit une fonction donnée de la profondeur h marnent. En appelant .r la largeur de la section au niveau de la surface delta, on aura alors rf»— xdh, et l'on déduira de cette équation

4e qui revient à supposer les quantités », * et u, qui dépendent de h, confiantes dans l'intervalle A*, et égales aux valeurs qui conviennent à l'une des extrémités de cet intervalle. On en tirera

fù 3g

formule qui servira à déterminer la variation de la profondeur de l'eau correspondante à l'intervalle A 8 avec une exactitude d'autant plus grande que cet intervalle sera plus petit. Le calcul de cette formule est facile , puisque

Ton a des tables qui donnent les valeurs de — et - u -4- - n* correspondantes à celle de u.

133. Ce qu'on pourrait appeler la longueur totale du remous serait la distance comprise entre le barrage qui produit l'élévation de l'eau , et le point où le courant reprend sa profondeur primitive , c'est-à-dire la profondeur qui convient au régime. On trouverait cette longueur en prenant l'intégrale dans l'équation (n), depuis la valeur de h qui a lieu prés du barrage jusqu'à la valeur de h qui convient au régime. Or cette dernière valeur est telle qu'elle doit satisfaire à l'équation du n° 122,

g » i g mi o Q2

=aC + 6l'2, OU = a 1- 6 — ,

c'est-à-dire qu'elle rendra nul le dénominateur de la fonction qui multiplie dh sous le signe /"dans l'équation (n). Il suit de laque l'ordonnée extrême de la courbe , dont l'aire donne la valeur de s, est infinie , et, en général , Taire de cette courbe sera également infinie. Donc , à parler rigoureusement, lorsqu'un obstacle a fait exhausser la surface de l'eau dans un point déterminé d'un courant où le régime était établi , cet exhaussement se prolonge en amont jusqu'à une distance infinie; mais il diminue progressivement, et devient bientôt insensible.

H existe toutefois certains cas d'exception, qui ont lieu lorsque , en faisant décroître successivement h> à partir de la valeur maximum qui a lieu près du barrage, le numérateur de la fonction qui multiplie dh dans l'équation (n) décroît plus rapidement que le dénominateur, et devient nul avant ce dernier. Ces cas se présentent principalement quand la vitesse du courant est grande et la hauteur de la section petite. La surface du remous est alors convexe vers le haut.

MN étant le fond du lit (Fig. 59], vin le niveau primitif de la surface de l'eau, qui est parallèle à ce fond, la surface du remous causé par le barrage P.

lia

donnée par l'équation (»), sera une courbe ABC, située au-dessous de n*v zontate menée par le point le plus élevé \ du gonflement , qui est toujran situé à une petite distance en amont du barrage. Ainsi celte équation n'indique plus ici que l'exhaussement s'étende à une longueur infinie. L'expérieot» apprend que, dans ce cas, le passage du niveau primitif m n de la surface 4 l'eau à la surface du remous s'opère par un ressaut indiqué en B. ta hauteur de la section subissant un changement brusque.

On connaîtrait la position du ressaut B si l'on en connaissait la hauteur Cette hauteur peut être déterminée en remarquant que l'équation (m), du n° 132, si l'on y néglige le terme qui exprimerait l'effet des forces relanhtriecs dans le petit intervalle nf', aussi bien que la différence du niveau <h points ï , ,,', donnera pour la bailleur cherchée

3? »?' équation dans laquelle H et U appartiennent à la section ?.\ cl A et u à li section y..

Ces résultats s'accordent avec des expériences faites par M. Bidone. et publiées dans les Mémoires de f Académie de Turin pour 1820.

134. Lorsque la pente du fond du lit et la figure de la section transversale sont tout à fait irrégulières, comme dans le cas d'une rivière dont le lit tA seulement défini par un profil longitudinal et par des sections transversale prises d'espace en espace , la formule (n) ne peut être appliquée. On peut alors employer avec un certain degré d'approximation l'équation (m} mettant sous la forme

TITRE XVI