DU MOUVEMENT D UN FLUIDE ELASTIQUE COULANT DANS UN VASE
141. Soit ABCD (Fig. 60) un vase ou un tuyau, dont Taxe MN est horimtal, et dans lequel coule un fluide élastique. Conservant ici l'hypothèse il parallélisme des tranches, on admet que la première section ABdu tuyau & adjacente à un réservoir ou gazomètre , dans lequel la pression, et par inséquent la densité du fluide, sont maintenues constantes. A la dernière içtion ou orifice d'écoulement CD, la pression, qui est celle du milieu dans iqnel le fluide s'écoule, est également supposée constante. Le fluide coule ftns le sens M N par l'effet de la différence de ces pressions, et on suppose oe le mouvement est devenu constant, et ne varie pas avec le temps. On
• Faire d'une section transversale quelconque a 6 : J» Faire de l'orifice CD;
O Faire de la première section AB du tuyau ;
• m la distance Mu des sections AB et a 6 ;
u la vitesse de la tranche de fluide placée en <x£ ; -Ula vitesse de la tranche de fluide placée en CD;
p la pression qui a lieu en a€;
Pla pression intérieure qui a lieu dans le gazomètre et dans la sec-
- tionAB;
P'ia pression extérieure qui a lieu dans la section CD;
p la masse de l'unité de volume, ou la densité du fluide dans la section a € on a />=Arp, en désignant par k un nombre constant lorsque la température at constante) [i].
La température est supposée la même dans toute l'étendue du vase. L'axe e ce vase étant horizontal, l'action de la gravité n'altère point le raouvelent des tranches. Cela posé, l'élasticité du fluide s'oppose à ce qu'on étaliase ici les conditions du mouvement par des raisonnements semblables à eux des n°* 15 et suivants; mais, en remarquant que la masse de la tranche
[i] Supposant les pressions mesurées par les hauteurs d'une colonne d'un fluide incomible, nommant
« le poids de l'unité de volume de ce fluide;
h la hauteur de la colonne qui mesure la pression p (on aurap = «A); II le poids de l'unité de volume d'un fluide élastique , à la température 0*, sous la pression mesurée par la colonne de fluide d'une hauteur *.
418 LEÇONS SUa L'APPLICATION
placée en a e est tt*dœ, la force perdue par cette tranche, — ?*dx.
que cette force perdue doit être égale à l'action exercée sur celti tranche en vertu de la différence des pressions supportées par ses des on aura l'équation
qui doit subsister dans toute l'étendue du rase.
Pour intégrer cette équation, on remarque que le mouvement dn étant supposé constant , la même masse doit passer à chaque ùutn toutes les sections. Ainsi p ■* u , et par conséquent p» u sont des qa
r constantes pour toutes les sections. On a donc u = —
d(pa) ds
du = — Pu U ■ , et en mettant u à la place de —, il viendra
p*<* di
dp d (p « )
Intégrant, et déterminant la constante de manière que l'on ait en temps « = O, p = P, on a
,0„i=?ii7^y (zir\,
p 91 L\p„ J \ PO / J
On a , d'aprti le* toit de Hariotte et de Oar-Limac, p g étant le poidt de l'unité*
à la section CD l'on a «•= û, p = P', il vient
p u* r /P' ûVn
- = — î-f h d'où u =
v 2* L V po / J
de fluide qui s'écoule dans l'unité de temps, mesuré sous la prèsa lieu dans le gazomètre, est
; est réciproquement proportionnel, toutes choses égales d'ailleurs
5 quarrée de la pesanteur spécifique du fluide [i].
ïn substituant la valeur (2) de U dans l'équation (1), il viendra
p /POV
p vp»/
log.
p Vp»/
p / p o y F Vpû/
qui servira à déterminer la pression p qui a lieu dans la section «». i l'orifice d'écoulement G D est très-petit par rapport à la section cession (2) de la vitesse d'écoulement se réduit à
2 Àrlog. — , . . . (5)
ssion (3) du volume de fluide écoulé dans l'unité de temps, mesuré ression qui a lieu dans le gazomètre, à
-\/2*log.-.
Faut point oublier, en appliquant ces formules, que le logarithme est hyperbole, si on le prend dans les tables ordinaires, il faut le multiplier par 2,3026. illeurs, pour une discussion plus étendue des résultats de cette solution, un méré dans le tome VIII des Mémoires de l'Académie des eciences de l'Institut.
490 LEÇONS SDR L'APPLICATION
L'équation (4) devient, dans la même hypothèse., p /POV
144. Si la paroi n'est point évasée à l'entrée de l'orifice d'écoulement CD en sorte qne les filets du fluide ne puissent sortir du vase en suivant des fr rections parallèles à l'aie MN, la veine de fluide se contracte au delà 4e l'orifice, comme cela aurait lieu pour un fluide incompressible; et il résnll* des expériences connues que le coefficient désigné par m dans le n° 5iw»serve, pour l'écoulement de l'air et des autres fluides élastiques, les mêmes valeurs qui conviennent aux liquides.
145. Considérons un réservoir dont la figure est rectangulaire, et dus l'une des faces duquel est ouvert un très-petit orifice. Les formules dunMfi conviendront à ce cas, en supposant que toutes les sections » du vase qiwlt fluide élastique parcourt, avant d'arriver à l'orifice, sont égales à la sedi» désignée eî-dessus par 0. Mais si l'on fait ™=^ 0 dans l'équatiou (7), elle sm satisfaite par la valeur p = P ; d'où il suit que la pression, et par conséquent la densité du Fluide, sont ici constantes daus toute l'étendue du vase, etqnr le fluide, en traversant l'orifice, passe de la pression P à la pression extérinin P' dans un intervalle fort court. De plus la vitesse du fluide dans l'intérieur
Sservoir, depuis la pression initiale Pt jusqu'à la pression quelconque P, est
a pvx «fP
~~ va\/ïkJ p i/iog. p — log. f
146. Si le fluide, au lieu de se répandre en sortant du réservoir dans un space d'une étendue indéfinie où la pression F est constante, était reçu ans un autre réservoir dont le volume fût A', la pression F augmenterait avec I temps. Désignant par P/ sa valeur initiale, on aurait la relation
A(PÉ— PJ + A'Pg'
APt'+A'P.^AP + A'P' d'OÙ F= .
ubstituant cette valeur dans l'expression précédente de dt, il viendra
V ** log. P-log. [A(Pâ-P) + A'P1']-»-lag.A/
t par conséquent
ÀA' /»pt <*p
a VÎkJ P [A (Pt — P) -♦- A' PtT l/log. P - log. [A (P, — P) + A'PT -*- log . A'
our l'expression du temps pendant lequel la pression diminuera dans le prelier réservoir de la valeur initiale Pt à la valeur P.
CAS OC IL T A DBS CHANGEMENTS BBGSQUE8 DANS LA GBA1IDEUB DES SECTIONS DU VASE.
147. On peut appliquer aux cas dont il s'agit des considérations analogues celles qui ont été présentées dans les n" 67 et suivants. Le fluide s'écouint par l'orifice CD (Fig. 61), après avoir franchi la section EF, à laquelle accède immédiatement la^section plus grande GH, on conservera les dénonciations précédentes, et l'on représentera par
 l'aire de la section EF; A' l'aire de la section 'G H;
B, B' les valeurs des pressions qui ont lieu respectivement dans les sections EFetGH.
leb posé , en appliquant ici le principe de la conservation des forces vives, m aura ç*dx pour la masse d'une tranche quelconque, ç*dx.u2 pour a force vive à la fin du temps t, et p *dx . 2 udu pour la force vive qu'elle cquiert pendant le temps dt.Lz force vive, acquise par tout le fluide penlant ce même temps, est donc :
intégrale étant prise entre les sections AB et C D. D'autre part, les vitesses
du fluide aux sections E F et G H étant respectivement ■
le fluide qui passe dans le temps dt d'une section dans l'autre perd 1>:
p- / fû p'û y vive — u U dt. U* I . On a donc pour la soonx
* V ba b-a' /
forces vives acquises et perdues dans le temps dt
v /va Fl\>
rpmdx.iitdu-*- — ÙVdt.&t ) ,
Quant aux quantités d'action exercées pendant le même temps, une tn quelconque étant sollicitée en raison de la différence des pressions qt lieu sur ses deux faces, par la force — « dp, et , décrivant l'espace uà somme des quantités d'action exercées sur toutes les tranches dans let dt est
—fmdp.udi.
Égalant donc la somme des forces vives acquises et perdues an do des quantités d'action imprimées, et supprimant les facteurs égaux. . P'U'U, pmti, il viendra
/dp fdx u» /va va V
p J dt 2 \ BA B'A'/
Qdt , et remplaçant — pi dt
FÛU
vive, doit être supprimé si l'on veut considérer une portion du fluide entre ÀB et une section située entre AB et EF. Ainsi les pressions it données depuis A B jusqu'en EF par l'équation
X P /p'2fl2 p"&*\
à 2 k log. - = U' f ; (12)
<j»t depuis G H jusqu'en CD par l'équation
\ P rP^Û* P"û* /P'û' FÛ'Vn
a*log.- = U* -f-f (15)
faisant donc • = A dans l'équation (12), on connaîtra la pression B qui
Heu en EF ; et, en faisant •»= A' dans l'équation (13), on connaîtra la pres-
m B' qui a lieu en G H. Si d'ailleurs on élimine des deux équations obtenues
cette manière la vitesse U au moyen de l'expression (11), elles devien-
"dront
