THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES ENGRENAGES
6. Les engrenages sont destinés à transmettre un mouvement circulaire d'une roue à une autre roue. Le plus souvent les axes des deux roues sont parallèles entre eux ; quelquefois ils forment un angle, et dans ce dernier cas l'appareil prend le nom d'engrenage conique. Lorsque le rayon de l'une des loues devient infini, ou que la portion de circonférence qui porte l'engrenage devient une portion de ligne droite . elle prend le nom de crémaillère.
Considérons (Fig. 6) deux roues dont les centres sont placés dans les
fiC LEÇONS SCR L'APPLICATION
points C, C'. Le mouvement se transmet généralement de la première rm à la seconde au moyen de deux portions de courbe Km, À' m, dont fait pousse l'autre à leur point de contact m. Soit EB la direction de la un* commune à ces courbes en m; les vitesses de rotation de chacune des ras seront entre elles réciproquement comme les distances CE, CE', ou mbukIb distances C B, C'B. On peut donc, en déterminant les courbes km, A'm,à manière que, dans les diverses situations des roues, le point B tombe en il points donnés de la ligne CC '. régler à volonté le rapport des vitesses respectives de ces roues.
La condition ù laquelle on s'assujettit est que le rapport de ces vitesse) demeure constant dans toutes les positions des roues. Il faut alors que la tion du point B ne change pas. Nous indiquerons les solutions dont les mécaniciens font principalement usage.
7. Soit CC (Fig. 7 } la ligne qui joint le centre C, C des deux roues, CB, C'B les l'ayons des cercle* primitifs, c'est-à-dire les rayons dont le rapport détermine le rapport des vitesses de rotation respectives de ces roues. Si ta courbe fixée au cercle dont le centre est C. se réduit à un point m (ceqri est le cas de l'engrenage d'une roue et d'une lanterne}, la courbe A» à l'autre cercle . doit être l'épicycloide que décrirait un point du cercle dent le rayon est C'B roulant sur le cercle dont le centre est C.
8. Si la courbe (Fig. 8), fixée au cercle dont le centre est C', est une ligne droite Cm dirigée suivant le rayon de ce cercle (ce qui est le cas ordinaire de l'engrenage de deux roues), la courbe A?», fixée à l'autre cercle, doit être i'opirydoïdc que décrirait un point du cercle dont le diamètre est égal
trbes, menée par ce point, ne cesse pas de se confondre avec cette ligne.
L'engrenage où Ton emploie les développantes des cercles présente aussi
avantage, que l'on peut sans difficulté faire engrener avec la même roue
itres roues de divers diamètres , ce qui permet de changer à volonté la
mce des deux axes de rotation.
10. Une roue (Fig. 10) peut faire marcher une verge droite en poussant l^ii point ou une ligne droite perpendiculaire à cette verge. La courbe Ara, pftée à la roue, doit, dans ces deux cas , être une portion de la développante ûln cercle tangent à la direction de la verge. Quand la verge doit conduire 9k roue , il faut que cette verge porte des dents dont les parties courbes , ||Billées suivant une cyclolde décrite par un point du cercle dont le diamètre ç£tt CB, poussent des lignes droites dirigées suivant les rayons de la roue.
11. Les dispositions précédentes conviennent principalement au cas où Ton ^Mnt que la roue imprime à la verge droite un mouvement continu dans le £Véme sens. On veut quelquefois, qu'après avoir poussé la droite la roue la * ramène dans la même situation. Fixant au cercle, dont le centre este (Fig. 11), tdeux portions de courbes tracées suivant la développante de ce cercle, et placées en sens opposés, la verge Bm sera poussée et tirée alternativement,
, Mirant sa direction, à chacun des tours de la roue, et la vitesse de cette verge et celle de la roue conserveront toujours le même rapport. Cette disposition est la plus convenable ; mais il n'est pas nécessaire que la courbe fixée au cercle en soit la développante : il suffit que les distances B m croissent proportionnellement aux arcs correspondants ÀB. Et, en général, ayant fixé d'avance les espaces à parcourir par les deux points, on déterminera facilement, par une simple construction graphique, les courbes par lesquelles le mouvement doit être transmis , pour que ces deux espaces soient parcourus en même temps d'un mouvement uniforme.
12. Lorsque les axes ne sont point parallèles , ce qui oblige à employer un engrenage conique, les mêmes considérations peuvent encore être appliquées. Les cercles primitifs ne sont pas alors situés dans un même plan, et doivent être regardés comme les bases des deux cônes droits, dont le sommet commun est au point de rencontre des deux axes, et qui se touchent suivant une arête. Le roulement de l'un de ces cônes sur l'autre , s'il en résultait un frottement suffisant, transmettrait le mouvement de rotation d'un des axes à l'autre. Les dents des deux roues sont ici formées par des portions de surface conique dont le sommet est également au point de rencontre des deux axes. Dans le cas de l'engrenage d'une roue avec une lanterne , les parties courbes des dents de la roue seront formées par des portions de cône ayant pour base des portions d'épicyclolde sphérique, décrites par le cercle primitif de la lanterne roulant sur le cercle pri-
de la roue. Dans le cas de l'engrenage d'une roue avec un pignon,
les portions d'épicydoidc sphérique seront décrites par un cercle d'un iamètre moitié moindre que le cercle primitif du pignon.
Si l'on veut employer un engrenage analogue au n* 9, les dents serai formées par les surfaces coniques décrites par le plan tangent commun m cônes primitifs des deux roues , que l'on ferait rouler sur ces deux cônes de manière à les développer.
15. Considérant une vis h filets rectangulaires, qui engrène avec une root dentée, en supposant que le plan de la roue contient Taxe de la vis , les déments reclilignes des dents de ta roue, au lieu d'être perpendiculaires au plu de cette roue, devront être inclines sur ce plan, et l'angle compris enlnle plan et les éléments devra être égal à l'inclinaison du filet de la vis sur a* axe. De plus, si l'on considère une section quelconque faite dans les dentt parallèlement au plan de la roue, la courbe, suivant laquelle les dents serait coupées , devra être la développante du cercle primitif de la roue, comme dans le ras du n" 10.
1 4. Pour une roue conduisant une lanterne. Ayant fixé les nombres dt toiirsquelaroucct la lanterne doivcntfairercspectivementdanslemémeteinps, et la distance des centres, on connaît les rayons primitifs CA,C'A(Fig. 12), qui doivent être entre eux réciproquement comme ces nombresde tours. On tuée les cercles primitifs. On fixe le nombre des fuseaux de la lanterne et des denb de la roue , d'après la grosseur qu'on rcut leur donner. On marque sur la cercles primitifs les axes des fuseaux et les milieux des intervalles des dénis.
es cercles en autant de parties égales ka> ko! qu'ils doivent avoir de Dn partage chaque intervalle ka en deux parties, Tune kb pour l'ér de la dent , l'autre b a pour celle du vide des dents : ces parties dinairement à peu près égales entre elles. On trace, à partir des A, b} a , des rayons qui forment les flancs droits des dents de la t des portions d'épicycloïde, décrites comme il est dit n° 8, qui en t les parties saillantes. On marque ensuite dans chaque intervalle A a', it occuper une des ailes du pignon, une partie A b' pour Je vide de [ui doit être un peu plus grand que le plein kb des dents de la roue), partie a ^ pour le plein de l'aile. On trace les flancs droits des ailes, parties saillantes formées par des épicycloldes décrites par le cercle A est le diamètre roulant sur le cercle primitif du pignon. On arronointe des dents et des ailes, où Ton peut supprimer tout ce qui est au point m pour les dents de la roue, et du point ni pour les ailes du pi- ;n supposant que la partie saillante de la dent A b de la roue touche 3 flanc droit de l'aile al b' du pignon, à l'instant où le flanc droit de suivante de la roue commence à toucher en m' la courbe de l'aile e du pignon.
On voit qu'en général il résultera de cette construction que, quand la b cessera de pousser l'aile a'V, l'aile suivante du pignon n'aura pas dépassé la ligne des centres, et que sa partie courbe sera poussée lanc droit de la dent suivante de la roue, ce qui est un inconvénient, [u'il en résulte un frottement plus dur. Pour l'éviter, il faudrait qu'à t où la dent A b quitte l'aile al V, le point m1 se trouvât dans la ligne itres CC On ne parvient à remplir cette condition qu'en faisant les u pignon suffisamment nombreuses et minces. On s'est assuré qu'il ipossible d'y satisfaire quand le pignon avait moins de 9 ailes el la oins de 64 dents, et quand le pignon avait moins de 10 ailes et la roue de 72 dents. Quand les pignons ont un plus grand nombre d'ailes, t plus de difficulté, pourvu que le nombre des dents de la roue soit n conséquence. En adoptant le mode de tracé indiqué n° 11, les dents toujours poussées autant avant qu'après la ligne des centres; >n voit que cet inconvénient a également lieu dans beaucoup d'au-
t convenable que le nombre des dents de la roue et celui des ailes du
i soient premiers entre eux, afin que les mêmes dents ne se rencontoint : elles s'usent alors plus également.
Pour le tracé d'un engrenage conique, le procédé le plus simple con-
développer les surfaces coniques entre lesquelles les dents sont corn-
, et à tracer l'engrenage sur ces développements, comme on le ferait
Les roues planes. Cette construction donnera des panneaux, au moyen
LEÇOXS SUR L'APPLICATION
drsqnels le tracé des dents pourra s'opérer avec une exactitude les surfaces coniques exécutées.
TITRE IV
Dr FROTTEMENT ET I)K LA ROIDEUH DES CORDES.
18. Quand une machine marche d'un mouvement continu. 1rs pressa ou efforts exercés par le moteur et la résistance à leurs points d'applieal respectifs, sont les mêmes que ceux qui se feraient mutuellement équilibn machine étant supposée en repos. Il est donc nécessaire de considéra machines dans l'état d'équilibre; et l'on doit faire entrer dans cette ta dération les résistances auxquelles le mouvement même donne naissance qui doivent être regardées comme des forces qu'il s'agit de détruire, résistances consistent principalement dans les frottements et dans ta raid des cordes.
19. Le frottement est la résistance qu'on doit surmonter quand on en prend de faire glisser l'une sur l'autre les surfaces en contact de deuitt Cette résistance , suivant la grandeur et la nature des surfaces, le te pendant lequel elles sont demeurées en contact, et la vitesse du mouvrai présente diverses variations, dont les lois ont été étudiées par l'esperit On indique ici les résultats les plus remarquables qui ont été obtenu) Coulomb [Académie des sciences, savants élrangert>toine X).
'on veuille détacher les surfaces après un temps quelconque de repos, it qu'on veuille entretenir une vitesse uniforme quelconque. 4° Les surfaces hétérogènes, telles que les bois et les métaux, glissant me sur l'autre sans enduit, donnent pour leurs frottements des résultats ^différents de ceux qui précèdent; car l'intensité de leur frottement, lativement au temps de repos, varie lentement, et ne parvient à la limite 'après quatre ou cinq jours, et quelquefois davantage ; au lieu que, dans s métaux, elle y parvient dans un instant, et dans les bois, en quelques imites. Cet accroissement est même si lent, que la résistance du frotte- Hit, dans les vitesses insensibles, est presque la même que celle qu'on surjnte en ébranlant ou détachant les surfaces après quelques secondes de pos. Ce n'est pas encore tout. Dans les bois glissant sans enduit sur les lis, et dans les métaux glissant sur les métaux, la vitesse n'influe que trèsu sur le frottement; mais ici le frottement croit très-sensiblement à esure que l'on augmente les vitesses ; en sorte que le frottement varie très-peu près suivant une progression arithmétique, lorsque les vitesses oissent suivant une progression géométrique. » ). Il est permis, dans les applications aux machines qui peuvent se préer, de considérer la résistance du -frottement comme étant composée de i parties : 1° une partie proportionnelle à la pression, et qui est le frotte- *tf proprement dit; 2° une partie proportionnelle à l'étendue des surfaces iontact, et qu'on regarde comme provenant de l'adhérence. Les valeurs «s deux parties peuvent être considérées, pour les divers corps, comme ariant pas sensiblement avec la vitesse du mouvement ; mais elles ne sont les mêmes en général lorsqu'il s'agit de détacher des surfaces qui ont été intact pendant quelque temps, ouMe continuer un mouvement commencé. Joit aussi distinguer le frottement des surfaces planes de celui des axes i les mouvements de rotation. Les tableaux suivants contiennent, sur ces rs objets, les principaux résultats donnés par l'observation.
21. Frottement des surfaces planes gui ont demeuré en contai longtemps pour que la résistance ait atteint son maximu.
RAPPORT
INDICATION
du
h» mtam » **»«.
noiTIBJI
à la
OBSERVATIlWS.
Chfine surchène, les libres parallèles. . .
Le frottement fi'""
les fibres parallèle* cl la
maximum au bout dequ secondes.
surface réduite a de»
arclcs arrondies. . .
tes fibres croisées. . .
les surface» garnies d'un
enduit de suif renou-
velé S chaque expé-
Le frottement attcii umiinurti en quelque!
lea mêmes après un long user . en mettant du
l.\ii|[n''i-.'iu'f (iroilun m
slauce d'environ 1:>L>I |il
o,ai
lilr.m. L'ïdbèrenrt itmT,si.tancedc39Lil.
Ire quai-ré.
Chenc sursapin, les fibres parallèles. . .
Le trotienjent attei
Sapin sijrsapin. fos fibres parallèles. . .
secondes.
Orme sur orme, les fibres parallèles. . .
Mm*
tMMU eût atteint ta
Le maximum rtu rrott
Meuvent des surfaces planes, quand le mouvement dure depuis
un certain temps.
RAPPORT
INDICATION
du
F&OTTIIINT
OBSERVATIONS
DES 80 RFA CBS M CONTACT.
à la peissiok.
tur chêne, les fibres parallèles. .
et la surface réduite à
des arêtes arrondies.
les fibres croisées. . .
et la surface réduite à
des arêtes arrondies.
les fibres parallèles et
les surfaces enduites
de suif ou de vieux
oing renouvelé à cha-
L'adhérence des surfaces occasionne une résistance d'environ
la surface réduite à
30 kit. par mètre quarré.
des arêtes arrondies ,
avec enduit, ou l'en-
duit essuyé et les
surfaces restant onc-
sur sapin , les fibres parallèles. .
sur fer, les fibres étant paral-
lèles , et la vitesse
très-petite. . . .
Le frottement augmente avec
la vitesse étant de 0»,03
par seconde. . . .
les surfaces étant très-
la vitesse , à moins que les surfaces n'aient été usées pendant longtemps.
petites , sans enduit,
mais restantonclueu-
Le rapport du frottement à la pression est constant.
fer
Le frottement diminue quand les surfaces ont été usées long-
temps.
;ur fer
Le frottement après un long user se réduit à 0,17.
fer) avec un enduit de suif renou-
L'adhérence produit une rési- j
stance d'environ 14 lui. par mètre
ur fer, avec un enduit de suif re-
quarré.
L'adhérence produit une résistance d'environ 7kil. par mètre
avec de l'huile sur un an-
quarré.
cien enduit de suif. . .
L'adhérence peut être regar-
la surface réduite à des
dée comme nulle.
pointes émoussées, res-
tant onctueuses, ou en-
duites de suif et d'huile.
23. Frottement des axe» quand le mouvement dure dtptd certain temps.
RAPPORT
INDICATION
du
mOTTEBÏÏT
OBSERVATION
su aï» au ta xirtimcE.
FBlSJIDï.
Axe de fer dans une boile de cuivre. . .
avec un enduit de suif. . . .
avec un enduit de vieux oing. .
les surface» étant pénétrées par
le suif et reslant onctueuse).
avec un enduit d'huile. . . .
avec un enduit qui n'avait pas
été renouvelé depuis long-
On voil p.ir (■■ liM'-ji
temps , quoique la machine
frollfiiieril de> 3Xn f»
néral un peu fiionr-i'on-,
blet que If fruiii'iii'iii
eût servi vont: nu die ment. .
Axe de chêne vert dans une Imite de gayac
avec un enduit de suif.
face» planes; el rMW
l'enduit étant essuya et les sur-
,lll--i. il"ù[llr- li'll'i-îllfi-ll
di-nl». que dam luutlra peutent se |>fi ■"■>•«: -'
faces restant onctueuses. .
après avoir servi longtemps
i n-ineiit il'.- Mi.nlnri"
sans qu'on eût rafraîchi
Mirfjms sont urdiiMiftni
duilcs de rorns i:u'. i"
ment es! I>'.j.iu'i'i;ii .lu".
Axe de cliéuc vert dans une boite d'orme
du lier» de la prtstiun.
l'enduit étant essuyé et les
surfaces restant on duc uses.
Axe de huis dans une bol le de i;;iyac enduit
l'enduit élanl essuyé, et les
WÊ
