EQUILIBRE DU T1ECIL, DE LA POULIE ET DU PALAN
86. Considérons un treuil dont l'axe est horizontal, servant à élever un poids Q au moyen d'une puissance P tirant une corde passée sur une roue (Fig. 18). Nommant
R le rayon de la roue ;
r le rayon de l'arbre ;
P , ?' les rayons des tourillons À et B ;
d le diamètre de la corde soutenant le poids Q ;
p la distance m A ;
q la distance n A ;
/ la longueur A B de l'arbre ;
x l'angle de la direction de la force P avec la verticale ;
M le poids du treuil et de la roue, dont le centre de gravité est supposé dans
l'axe du treuil ; g la distance de ce centre de gravité au tourillon A : N , N' les efforts exercés respectivement sur les tourillons A , B ; •, *' les angles des directions de ces efforts avec la verticale ; f, a, b, \l ayant les mêmes significations que ci-dessus; (n° 27).
On décomposera d'abord toutes les forces en d'autres qui leur soient parallèles, et qui soient appliquées à chaque tourillon. On décomposera ensuite
chaque force donnée par P en deux autres , l'une horizontale^ rentre « cale. On aura ainsi : Force verticale appliquée en A,
Force horizontale appliquée en A.
Force verticale appliquée en B ,
g 9 p M hQ — l-P— cos. ».
I * t Force horizontale appliquée en B, p
P — lin.l;
d'où
H = -\Z[M(l-S) + Q(t~q)1* + 1[tW-g)-*-QV-q)]P(l-p)a*.\ + TH
-l/\,M0 + Qq]* + t[Mg + Qq)Ppcai.l + Fr>,
On exprimera ensuite l'équilibre du treuil en posant l'équation :
& 89. Les formules précédentes conviendront au cas d'une poulie, en supposant r=R.
■; On abrège beaucoup la résolution des équations des nM 56 et 37 en mettant pour P sous le radical du second nombre une première valeur approchée, calculée en négligeant l'effet du frottement, qui est :
rV d* i
fila valeur P trouvée de cette manière ne paraît pas suffisamment exacte, on peut en calculer une autre, en mettant la première sous le radical.
40. Les formules précédentes, en y faisant M=o peuvent s'appliquer au cas d'un cabestan dont Taxe est vertical, la corde exerçant l'effort Q étant dirigée horizontalement. Dans ce cas P représente ordinairement la somme de plurieurs puissances, dont les points d'application doivent être distribués symétriquement autour de Taxe de rotation. Il résulte de cette disposition, que ces puissances n'exercent aucun effort sur les points d'appui de cet axe , et qu'on doit faire P=o dans le terme affecté de /'. On doit remarquer enfin que le poids M du treuil produirait sur le fond de la crapaudine qui supporterait le pivot de ce treuil , un frottement que l'on devrait faire entrer dans l'équation d'équilibre , conformément au n° 35.
41. Les considérations précédentes conduisent aux formules suivantes pour le calcul des palans ou moufles. Supposant les poulies égales et les cordons parallèles (Fig. 19), nommant
T0, Tp T,, T5.... T„ les tensions des cordons;
P la puissance qui soulève le poids, égale à la tension du dernier cordon ;
Q le poids soulevé , égal à la somme des tensions des cordons passant sur
les poulies ; r le rayon des poulies ; p celui des trous des poulies ; d le diamètre de la corde ;
P,a, 6, n, ayant les mêmes significations que ci-dessus; on aura d'abord, par le n° 38, en négligeant le poids des poulies,
T1r=T0r-+-/rp(T0-4-Ti)H (a-t-fcT^r,
d'où
r + Tç 2r
ou , faisant pour abréger, a = , 6=
2r r-fp Sr
on a également
etc
TB=«+6T)i 1 = a(l-4-6-i-6»+ ■+■ 6*-' ) + 6" T, ,
--4-6. Te
Tj
■+&.Ta
elc
Tb
mais on a
slie en b et se redresse en a> les chaînons décrivent en tournant sur leurs ses des angles égaux à ceux que décrit la poulie sur le sien, on aura par le principe des vitesses virtuelles , pour exprimer l'équilibre de la poulie ( abstraction faite du frottement sur l'axe de cette poulie).
p.R=Q.R-+-r(PfH-Qr), d'où
p = 0 , ou
R -fr
FROTTEMENT DES ENGRENAGES [l].
43*. Considérant une roue dont le centre est G ( Fig. 21 ) , conduisant une lutre roue dont le centre est C, au moyen de la courbe n m qui pousse la courbe n' m, il s'agit de connaître, pour une situation quelconque des courbes nm, ri m, de quelle quantité l'on doit augmenter la force qui est appliquée il la première roue , pour surmonter le frottement qui a lieu de la part de Tune de ces courbes sur l'autre.
AmetBmB' étant respectivement, pour la position des courbes nm et ?r m que l'on considère , la normale et la tangente commune de ces deux courbes à leur point de contact m , on nommera
R, R' les distances CA, C'A ;
9 l'angle ?/? AC formé par la normale m A avec la ligne des centres ;
p, p' les distances CB, C'B' ;
n la distance Am;
P la force appliquée à la roue dont le centre est C pour la faire tourner,
et qui est supposée agir à la distance R du centre C ; /le rapport du frottement à la pression.
En remarquant que CD = R sin. ? , et que la pression exercée de la part d'une courbe sur l'autre en m, est déterminée par la condition de faire
équilibre à P autour du centre C , on aura pour la valeur de cette pres-
p fv sion ; et pour la résistance provenant du frottement qui en résulte, .
sin. 9 «n. 9
Cette résistance est dirigée suivant la ligne B B' , et son effet est de s'opposer au mouvement de la roue dont le centre est C avec le bras de levier CB, et au mouvement de la roue dont le centre est C avec le bras de levier C B'. Par conséquent , à raison de l'obstacle opposé au mouvement de la roue dont
[1} La théorie du frottement des engrenages , exposée ci-dessous , est la même , au fond , que celle due à M.Poncelet, qui, le premier, l'a donnée dans les feuilles litnographiées de son court de mécanique , professé à l'École d'application de l'artillerie et du génie à Metz.
164 LEÇONS SDR L'APPLICATION
le centre est C , la force P doit être augmentée de la quantité . — .
tia.f r et à raison de l'obstacle opposé au mouvement de la roue dont le etaEr
/r ' p este, la même force doit être augmentée de la quantité . — .On «or
pour la quantité cherchée dont il faut augmenter la force P , afin de sur monter le frottement de l'engrenage.
Comme on a p = n + Rcos. ?, p'=n — R'cos. <p, l'expression précédai équivaut à
/■p (R + R')* Bill, f R R'
ÂÂ. Si la tangente BB' passait entre les centres C , C des deux rou (Fig. 22), la résistance provenant du frottement s'opposerait toujours s mouvement de la roue dont le centre est C, mais elle favoriserait le nui vement de la roue dont le centre est C. La quantité dont il faudrait to) menter la force P serait alors
/p fp p"\
et comme l'on aurait p = rt serait encore exprimée par
-Rcos. ip,p' = R'cos.t — n, cette quantil
«entre est C décrive un angle infiniment petit • ; le moment virtuel de H Aéra n. R «•• Mais il est aisé de voir que le point m, lorsque cet angle sera -!!#6erit, se transportera à gauche sur la courbe mn d'une quantité que l'on trouvera en décrivant l'angle » avec le rayon CB ; d'un autre côté, la roue
t Ru
dont le centre est C décrira en même temps l'angle — ; et on verra égale-
jnent que le point m se transportera à droite sur la courbe m n' d'une quan*
ttté que l'on trouvera en décrivant l'angle — avec le rayon C'B'. Donc les
*' ; deux points qui étaient en contact en m se sont écartés l'un de l'autre à une
p'. Ru
^distance p» h , et par conséquent , le moment virtuel de la résistance
due au frottement sera »*-♦- J. On trouvera donc u en posant
•in.?V R' /
^équation
y- ïïr»= — fp»-f- — ], doù n = — - + - ,
* tin. v\ R' J •in.çVR H'/
'^Domme ci-dessus.
\ En considérant maintenant le cas du n° 44 , on voit que les points appari tenant aux deux courbes mn, mn' qui étaient d'abord en m, se transporp'.R»
lent tous les deux à gauche des quantités/? «et .en sorte que l'écart
de ces deux points est ici exprimé par la différence de ces deux quantités , ce qui donne, comme dans ce numéro,
n=ff(p—q.
sin. 9\R WJ
\ 46. En supposant aux courbes mn,mn' une figure quelconque, les l quantités R, R', n, ?, varieront avec les positions des dents. L'effet du frottement variera également. Il convient , pour établir les conditions d'équilibre d'une machine d'estimer cet effet d'après la moyenne des valeurs que prend la quantité précédente dans toutes les positions des deux dents, depuis l'instant où elles commencent à se pousser , jusqu'à celui où elles se quittent.
47. Dans tous les engrenages assujettis à la condition que le mouvement de l'une des roues étant uniforme, celui de l'autre le soit également, et dont Il a été question dans le titre III , les quantités R , R' seront constantes pour toutes les positions des dents ; n et 9 seront seuls variables. Si les dents ^étaient très-serrées, ? différerait très-peu d'un angle droit, et nommant x
l'angle compris entre C'A et le rayon Cm, n différerait très-peu de K L'expression du n* 44 différerait donc très-peu de
fV x.
R Nommant st et a? tes angles décrits par la roue dont le centre est C, &p l'instant où les roues se prennent avant la ligne des centres, jusque cef le point de contact m se trouve dans cette ligne, et depuis ce dernier iwt» jusqu'à celui où les dents se quittent après la ligne des centres, on aunpa la valeur moyenne de l'expression précédente dans cet intervalle : a-*-a' *,ï-*-*',
fP-
ou /P.
a te,-*-*')
ou, en négligeant le deuxième terme compris dans la parenthèse, l-t-R' â'j-t-jr' n " s ' formule approchée, dans laquelle xi+x1 est l'angle occupé par une dt sur la roue dont le centre est C. L'espace occupé par une dent sur Ym l'autre roue est donc R' (.ri -+- a?), en nommant a cet espace, l'exprès» de la résistance du frottement devient donc
RH' s' Nommant m le nombre des dents de la roue dont le centre est C, «
illR
R' {r, -va') =«= — .
t expression dont il faut prendre la valeur moyenne, depuis l'instant où le /point m se trouve en A, jusqu'à celui où la courbe mn cesse de pousser le 1 feseau. Lorsque le point m se trouve en A, la valeur de l'angle x ne diffère
ijpts sensiblement de — . On appellera af la valeur de cet angle quand le
faaeau quitte la dent. On voit donc qu'il faudra prendre la valeur moyenne
^ge l'expression précédente depuis l'instant où x = — jusqu'à celui où x=af.
On a
r cos. —
/•in. T 9 /* 810. 7 X 2 R'
ds. ; — = — 2 log. cos. 7 x, et I dx. ■ — =2 log. ■ .
C0S.7* t/ COS. 7 x cos.is'
dx tang. (i«-*-Jjf)
t s p dx
— — ss 9 log. Ung. ( j « -4- y*), et / ; — = 21og.
