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(co».Br— /i«ln.4')SDiii'.#'

équation qui détermine la distance de l'axe C à laquelle doit être pbeè point M où le clioc s'exerce pour que la condition dont il s'agît soit rafl Si l'angle s' était nul, c'est-à-dire si la direction du choc était perpnit laire au rayon passant par le centre de gravité du marteau, la formule pra dente deviendrait

SDm'.r"

SDwt'.*'

ce qui est l'expression connue de la distance du centre de percussion.

Lorsque l'on a ainsi déterminé la distance R' du point frappé par laça de manière à rendre nul l'effort instantané supporté par les points «Tiff de l'axe du marteau . on peut employer les formules des n<" 84 et 85, t supprimant le terme /*,?' introduil par la considération du frottement f lieu sur les tourillons de cet axe.

88. On a supposé, dans les deux exemples précédents, que l'arbre port lescainmes recevait immédiatement l'action du moteur. S'il en était id ment, et en général si, dans une machine quelconque, l'arbre qui nt le choc recevait l'action du moteur par l'intermédiaire de plusieurs prtee faudrait considérer chacune de ces pièces comme perdant par l'effet àa à une portion de sa quantité de mouvement , et établir pour chacune une rf tion d'équilibre entre la quantité de mouvement perdue et les forces de) cussion développées aux points de contact de celte pièce et des pièces m gués. On pourra toujours, au moyen de ces équations et de celles quioj meront que les surfaces entre lesquelles le choc s'exerce ne se séparent p>

Supposons un axe A (Fig. 36), qui tourne par l'effort P du moteur, et sur lequel est montée une roue qui doit faire marcher un pignon. L'effort que Apportera cet axe, sera généralement la résultante de trois forces : 1° le

rds de l'axe et de la roue ; 2° l'effort P ; 5° l'effort Q exercé contre les dents pignon. Cette résultante sera la plus petite possible si le pignon est placé B. Elle serait la plus grande s'il était placé en C. Le pignon étant placé B, les efforts P et Q seraient égaux, si les rayons Ara, An étaient égaux. M la pression exercée sur Taxe se réduirait au poids dont il est chargé.

90. Considérons maintenant un axe en A (Fig. 37), auquel un mouvement de rotation est imprimé sans qu'il supporte aucune pression de la part du moteur. Imaginons que sur cet axe sont montées des roues qui doivent en conduire d'autres. Si l'on place les roues conduites B,C, deux à deux., de pitnière que les points d'engrenage soient aux extrémités d'un même diamètre de la roue qui conduit, il en résultera que l'axe A ne supportera aucun eflbrt, par suite des pressions exercées contre les dents. Toute autre disposition n'offrira pas le même avantage.

c 91. La disposition précédente laisse d'ailleurs l'axe A chargé de son propre yoids et de celui des roues qu'il supporte. Si cet axe ne conduit qu'une seule Mue B (Fig. 38), et si les diamètres des roues A et B sont tellement réglés que l'effort Q exercé contre les dents soit égal au poids dont on vient de parler, Taxe A ne supportera plus aucun effort. On peut toujours disposer les roues et régler leurs diamètres de manière que cette condition soit remplie. On doit tâcher de le faire, autant que le permettent les autres conditions de l'établissement de la machine.

92. Considérons un pilon soulevé par une camme fixée à une roue. L'effet du choc de la camme contre le pilon sera généralement de produire un effort momentané contre les prisons du pilon. Cet effort sera nul, si la direction de la force de percussion passe par le centre de gravité du pilon. Lorsqu'une camme soulève un marteau , en le faisant tourner autour d'un axe fixe , l'appareil peut être disposé de manière que le choc de la camme n'exerce aucun effort sur cet axe. On y parvient : 1° en donnant au marteau une ligure susceptible d'être partagée en deux parties symétriques par un plan perpendiculaire à l'axe de rotation, qui contiendra le centre de gravité; 2° en faisant en sorte que le choc se fasse suivant une direction contenue dans ce plan, perpendiculaire à Taxe, et distante de cet axe d'une quantité R'. dont l'expression a été donnée ci-dessus n° 87. Si Ton veut que le choc du marteau contre l'enclume n'exerce non plus aucun effort sur l'axe, la position du point de contact, et la direction suivant laquelle le choc s'exerce devront être assujetties aux mêmes conditions. On ne pourra éviter , en adoptant ces dispositions, qu'il n'y ait un effort exercé sur l'axe, par l'effet de la force centrifuge, pendant le mouvement du marteau. Mais cet effort ne

produira qu'un Flottement moins dangereux pour la solidité des ruachian que les actions instantanées , et dont on doit d'ailleurs tenir compte dira l'évaluation des résistances permanentes.

93. Dans les machines où il y a des mouvements alternatifs , il se produit souvent des actions instantanées du genre de celles dont on vient de parler. Elles ont lieu quand les corps en mouvement parviennent à la fin d'une orallation avec une vitesse finie, et commencent l'oscillation suivante avec ont vitesse finie dirigée en sens contraire. On doit en généra! éviter ces effets.d préférer les moyens de transmettre les mouvements qui , tels que les manivelles, règlent les vitesses de manière qu'elles sont toujours nulles, à |M où le mouvement change de direction.

TITRE X

S MOTESS DE HAISTEMH l'uNIFOHMITÉ DC :.lm il.'.li.'if DANS LES m.n! t - | ETADLISSEMENT DES VOLANTS. FHTDCU COS10BE.

94. Les causes qui peuvent faire varier la vitesse dans les machines sont 4t I deux espèces : 1° les actions exercées par le moteur et par la résistance peu- I vent être tantôt plus grandes, tantôt plus petites qu'elles ue devraient «n, pour qu'un équilibre constant se maintienne ; 2° une des actions peut ètrt | dans le cas de l'emporter progressivement de plus en plus sur l'autre, en

DE LA MÉCANIQUE, 3"» PARTIE. tfOS

hjjfra, pendant que la manivelle décrit le demi-cercle EAF, l'action étant ■Mlle quand la manivelle décrit le demi-cercle £ BF. Cet appareil ne peut ■■primer au poids Q un mouvement continu, qu'autant que la masse de la zjpNe est déterminée d'après certaines conditions qu'il s'agit de reconnaître, gommons

i?* « le rayon CM de la manivelle ;

# * le rayon de la roue à la circonférence de laquelle le poids Q est

■#■ suspendu ;

-i< m l'angle ACM;

\fi Df» l'élément de la masse de la roue ;

r la distance de cet élément à l'axe de rotation C ;

rf la plus petite vitesse de rotation des points situés à l'unité de distance de l'axe ;

tr la plus grande vitesse de rotation des mêmes points ; . « = 3,1416; t... g = 9-,8088.

- Le mouvement du système étant , par hypothèse, uniforme, en sorte que -thaque tour commence avec la même vitesse, les quantités d'action imprimées rvp*r le moteur et la résistance, pendant la durée d'un tour, doivent être égales.

a On a donc, en négligeant les frottements,

On connaîtra les situations où le moteur fait équilibre à la résistance en , posant:

P . a cos. jr = y b, d'où coi. j? = — ,

valeur qui appartient à deux situations du coude de la manivelle, telles que CM et CN.

toi

D'après les notions exposées n° 67, le minimum de la vitesse a lieu quand la manivelle est en CM, et le maximum quand elle est en CN. Quand la manivelle passe de C M en CN, puis de CN en CM, la force vive acquise par le système, puis perdue, doit être égale au double des quantités d'actions imprimées respectivement dans chacun de ces intervalles, par les forces P, Q : on aura donc les deux équations

(Sr'Dmn W'*- t?/a) = 4Pa y \ 2Q.26arc f co«.=:— ),

[Sr'Dffi-4- )(©"' — c'a) = *Q&| *-»-*arc ( tin.— - J )-4PaM- \ I J

«M LEÇOXS SUl L'àTPUCATHM

Os équations «tant conciliées «et b relation P. a = Q. ■ b, donnerai

également

**0 4P» r / î I / [Vi

-r-I. ... + = I V 1 arc/to». = — -

96. Supposons maintenant qu'on veuille régler le mouvement de tniaiat que la moyenne des vitesses extrêmes xT, v soit V, et que cet vilosa

extrêmes différent de V de la quantité — . On aura

K-l N-t-1 4V> b- = T. r-= V, tf*-f*= ;

et en substituant dans l'équation précédente, on en déduira

fc»Q

pour l'expression du moment d'inertie de la roue qui satisfera à la cûndilkm énoncée. La plus petite valeur qu'il soit possible d'attribuer à Sr^Dm.poiir obtenir un mouvement continu, est celle qui répondrait à v' — o. d'où n=\. On ne doit point oublier que les moments d'inertie sont exprimés eo unita de masse.

97. Considérons, pour second exemple, un appareil semblable au précèdent, mais dans lequel la force P, après avoir tiré de haut en bas pendant que la manivelle parcourt le demi-cercle E A F, tire de bas en haut pi'iulsm que la manivelle parcourt le demi-cercle FBE. L'égalité des quantités d'ic-

ayant égard à la relation P. 2 a — Q. *b, ces équations donneront également

PQ 4Pa r / 4~~" 3 / 3\i

Sr2Dmn = y * arc cot. = — I.

g i/i-tjiL ic» * V */J

88. Si l'on suppose, comme dans le n° 96, que les vitesses extrêmes v> v

tiioivent différer au plus de la quantité — d'une vitesse moyenne V, on aura

pour déterminer le moment d'inertie de la roue,

6*Q «Por/ 4 2/ 2\

Sr2Dm = h — y 1 arc f cot. = — ).

99. S'il s'agissait d'une machine dont l'objet ne fût pas d'élever un poids Q, nais d'exercer, à une distance quelconque de l'axe C, un effort dont la valeur fût indépendante de la vitesse de rotation de cet axe, l'équation précédente ae réduit à

nPor / 4 a / a\-i

Sr*Dm= y 1 arc ( co«. = — ) I.

va L ** x \ xjj

100. Reprenons le cas du n° 95, en tenant compte de l'effet du frottement les tourillons de l'axe G. Nommons :

Mie poids de la roue =gS Dm; p le rayon des tourillons de l'axe C ; f le rapport du frottement à la pression ; v la valeur de la vitesse angulaire de la roue au bout du temps t; m la valeur de l'angle ACM au bout du même temps. L'axe est constamment chargé de l'effort vertical P, et des poids Q, M. De plus, par l'effet de la variation du mouvement du poids Q, cet axe supporte

0 dv encore l'effort vertical —b—. Ainsi, la résistance due au frottement est

g dt

/ Q dv\

V g dt)

L'équation» du mouvement de la roue , exprimant que , dans chaque élément du temps, la force vive acquise est égale au double des quantités d'actions exercées est donc, pendant que la manivelle descend dans le demicercle EAF,

[8i*D*»-t- — P )vdt>=\Paco$.x — Qb—f?( P -f-Q-4- M-*- — 6 — j \vdt.

Cette équation, puisque vdt=— dx, revient à

[$r>Dm + -(l>*+rbç) lt>i*t>=-[Pac<*. *-Q6 — fp(P-4-Q-f-M)]tfx;

LEÇONS SDH L'APPLICATION

et elle conviendra, au cas où la manivelle monte dans le demi-cercle F BK, y faisan! P = o.

En intégrant, on aura

Sr»D*

i. — P«*in. *-*-[Qfr-i-/,p{p + g+iin

D'après ee résultat, il est facile de déterminer, comme ci-dessus, le moa d'inertie Sr'Dm, de manière que le mouvement soit régulier, et qw vitesse demeure constamment comprise entre deux limites données. La ré larité du mouvement exige qu'à la fin de chaque tour reprenne la même

n leur. Or quand la manivelle est au point E on a * = — , et la valeur d