F3CT L'APPLICATION

«■nntà ce gui a été désigné par H dans les

tih ^Btatité d'action dépensée est donc, dans

m» w jnnde que t sera moindre, et deviendrait égale MpMat eette quantité nulle. Ainsi la limite théorique de . *ii pope spirale, la quantité d'action dépensée. Dans ok. utotraction faite des frottements, sera compris entre »imt tes deux hypothèses précédentes.

■an mu sur le produit de cet appareil, dont il n'a été 4M|r: on croit généralement qu'il a été exécuté pour la -lartd» par André WirtZ , et la première description en » :• tome III des Mémoires de la société de Zurich, aWi i r Académie des sciences de Paris en 1756, par

Hl * Minci cirwrrci.

On verra facilement , comme dans le n* 134 (ou par le n° 100 de la 2e partie des Résumés des Leçons), qu'il s'établira contre les orifices B une pression

1 due à la hauteur H. L'eau sortira donc de ces orifices, abstraction

faite des résistances provenant du frottement de ce fluide dans les tuyaux,

•vec la vitesse relative % / , et avec la vitesse effective...

/ va-20]

- V — % / — . La quantité d'action fournie par le moteur devant

être égale à la quantité d'action représentée par l'élévation de l'eau, plus la „ moitié de la force vive que l'eau possède en quittant la roue , le rapport de f ' l'eflèt utile à la quantité d'action dépensée est ici

1/ /V*-g*Tk\*

Cette expression sera rendue la plus grande possible, et égale à l'unité, en posant

= 0, d'Où V = — 1/2 g H.

Comme 0 doit toujours être plus grande que û, on voit que la vitesse de rotation des orifices doit surpasser la vitesse due à la hauteur à laquelle l'eau est élevée. Ainsi la limite théorique de l'effet obtenu est la quantité d'action dépensée \ mais il faut imprimer à la roue une très-grande vitesse pour n'élever l'eau qu'à une hauteur peu considérable.

La première idée de cet appareil a été présentée, en 1732, à l'Académie des sciences par Le Demours.

MACBIlfl FiTonumi.

226. Elle a été proposée sous ce nom en 1786, par J. Bernoulli, comme une application du tube de Pitot proposé pour la mesure de la vitesse des eaux courantes. Un ou plusieurs tuyaux sont fixés à un axe vertical de rotation ; l'extrémité inférieure M (Fig. 101) est recourbée horizontalement, et se présente directement au choc de l'eau; l'eau s'élève dans les tuyaux, et sort par les orifices placés à l'extrémité supérieure N. Il convient, comme

dans la machine précédente, qu'elle jaillisse de cet orifices dan» ne Ant-

tion horizontale et contraire a celle du mouvement de rotation. On nomam

Y la vitesse de rotation de l'orifice de sortie W dont on suppose l'entrte

évasée; »V la vitesse de rotation de l'orifice d'entrée M dont on suppose tellement l'entrée évasée ; a l'aire de l'orifice H ; 0 l'aire de l'orifice M;

H la hauteur de l'orifice If au-dessus du niveau A dn réservoir inférieur.

Le choc de l'extrémité inférieure M du tuyau contre l'eau du réservoir

inférieur donne lien, contre le plan de l'orifice placé à cette a&trémité, à une

pression que l'oo peut supposer due à la hauteur k , en représentant

par k un coefficient qui dépend principalement de la figure et des dimessions de cette partie du tuyau. La force centrifuge de l'eau contenue dans le tuyau donne lieu d'ailleurs , à l'orifice H, à une pression due à la hauteur

v* (1 — n*} — . Par conséquent, le fluide sortira de cet orifice avec la vitesse 2sr

/ kn*v>-t-(\

-t-(i-t»)v»-affH

et avec la vitesse effective. .

DE LA MÉCANIQUE, 3- PAtlTIE. ,!)r.

■dire quand on suppose l'orifice M place dans l'axe de la roue, d'où

l'on peul juger que la direction du plan de cet orifice n*a. dansée e-as, aucune

sur l'effet obtenu. Ce calcul ne tient point compte de la résistance

que l'catl opposerait au niouvemcnl de la partie du tuyau qui est plongée

«Inns le réservoir intérieur.

227. Cette machine peul être considérée sous divers points de vue. Nous ■apposerons, en premier lieu, qu'un tuyau d'un diamètre Ires-pelîl est enroule suivant une hélice tracée sur un cylindre incliné auquel on imprime un mouvement de rotation.

Admettons d'abord que l'extrémité inférieure de la vis soit plongée sous |c niveau A À du réservoir inférieur (Fig. I02)assei profondément pour que, il.nis li' mouvement de rolalion, l'extrémité M du tuyau reste constamment au dessous de ce niveau ; Une pourra alors entrer que de l'eau dans le Inyati. Il formera un vase dans lequel l'eau tendra à s'élever par l'effet de la force i résultant du mouvement de rolalion. Quoique ici l'axe de ce vase soit incliné, te même raisonnement fait dans le n" 100 de la 2" parlie du fb>mtmédeê Leçons montrera qu'en appelant v la vitesse de rolalion qui a lieu dans un point déterminé de la surface supérieure libre du fluide, ce point

r* tendra .1 s'élever au-dessus du niveau du réservoir inférieur à la bailleur

■De ï colle vitesse, d'où il suit que tous les points de la surface également ilislanls de l'axe tendent à se placer dans un même plan horizontal. Si la hau- 1 leur de l'extrémité supérieure S du tuyau au-dessus du niveau A A est constamment moindre que la hauteur due à la vitesse de rolalion de ce poiut. IV;ih dégorgera constamment par l'extrémité N. ce qui formera un appareil analogue à celui du n"225. Mais ici la figure du tuyau qui forme le vase, et nnclinaison de l'axe de rotation, donneraient lieu à une sorte de mouvement d'oscillation de l'eau contenue dans l'appareil, qui n'a pas lieu dans le cas du pr cité . el qui consommerait inutilement une partie de l'action du niolcur.

Q8, \ilmetlons, en second lieu, que l'extrémité inférieure de la vis ne soit pasentièreinenl plongée dam le réwnoir inférieur (Fig. 103), en Surir que flestrémité du tuyau accomplisse une parlie de sa révolution dans l'eau et une au in- 1 h n s l'air. Il s'introduira alors alternativement de l'air et de l'eau dans li nu. m el ces deux fluides tendront à s'y distribuer de la manière indiquée sur [a figure, l'eau occupant toujoura la parlie la phii nasse de chaque spire. Chaque portion d'air qui s'introduit dans le tuyau se comprime d'abord, puis se dilate progressivement en passant de spire en spire, et reprend dans la dernière sa force élastique primitive. Il n'ai pas nécessaire alors, pour que l'eau parvienne à l'extrémité supérieure S du tuyau, que l.i

rotation soiL aussi grande que dans le cas précédent, parc* que la prrssion que l'action de la gravité sur l'eau intérieure produit à l'entrée M du lujao. pression que la force centrifuge doit surmonter, au lieu d'être due â la han leur verticale de l'extrémité supérieure N du tuyau sur le niveau AA. serait due simplement à la somme des hauteurs verticales des colonnes d'eau contenues dans chaque spire.

229. Lorsqu'il entrera assez d'air dans le tuyau pour que l'eau n'occupe plus dans la spire inférieure , et par conséquent dans toutes les autres, qnr la portion mon de cette spire qui est située au-dessous du plau horizontal m n mené parle point le plus élevé, ou une portion moindre. les hauteurs verticales des colonnes d'eau contenues dans toutes les spires étant nulle*. l'air contenu dans le tuyau n'y sera nullement comprimé, et aucune pression ne sera exercée par l'effet du poids de l'eau intérieure à l'entrée M du tuyaa. Par conséquent . l'action de la force centrifuge ne sera plus nécessaire ponr que l'eau s'élève en passant de spire en spire. Quelque lent que puisse être le mouvement de rotation imprimé à l'appareil, l'eau pourra toujours alors être élevée à une hauteur aussi grande qu'on le voudra. La portion mnoit chaque spire se nomme l'arc liydrophore.

La situation et la longueur de l'arc hydrophore peuvent être détermine» comme il suit: AAfFig 104) est l'axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée. a la projection horizontale de cet axe; BC la base de ce cylindre, bmenk projection horizontale de cette base ; B M N la projection verticale de l'héliee. On nommera

r le rayon A B du cylindre :

au même niveau que le point le plus élevé M, et qui est l'autre extréde Tare hydrophore ; la hauteur de ce point au-dessus du plan horizon- B sera donnée par l'expression précédente de MF en y mettant t au lieu Donc la valeur de t est donnée par l'équation

1 — co«. t

1 — COS. 8

OU f — «=(cot. t — oot. t)

tang. •

6 tang. a tang. 6 tang. a tang. a

laquelle il faut mettre pour s la valeur donnée par l'équation (a), et >eut par conséquent s'écrire

cot . # — cot. t

un. t

ion qui est indépendante des angles a et e. La table suivante indique les rs correspondantes s et t — s qui satisfont à l'équation (6), ces valeurs exprimées en centièmes du quart de cercle.

>rès avoir calculé s par l'équation (a), on prendra dans cette table la vacorrespondante de t — s; cette valeur, multipliée par — et par r, don-

la projection horizontale de l'arc hydrophore ; en divisant ensuite par . e, on aura la longueur absolue de cet arc.

H). La longueur de l'arc hydrophore serait nulle si l'on avait « =•. L'inlison de la vis sur l'horizon doit être moindre que l'inclinaison de l'hélice l'axe pour qu'elle puisse élever de l'eau. L'évaluation de la longueur de hydrophore, et par conséquent du volume d'eau qui peut être contenu ; chaque spire, servira à déterminer la valeur qui doit être donnée à ;le a pour que, toutes choses égales d'ailleurs, la vis monte dans un temps îé la plus grande quantité d'eau qu'il est possible. Soit V la vitesse de ion du cylindre sur lequel l'hélice est tracée, les arcs hydrophore* seront

sportés dans le sens de Taxe avec la vitesse et s'élèveront verti-

tang. e

V Bin. et calcinent avec la vitesse . Par conséquent, la question donl UM

consiste à déterminer l'angle * de manière à rendre un maximum la fond»

Si l'on supposait l'angle s de 60", on trouverait, pour la valeur corrtip» dante au maximum de celte fonction, a = 44° environ.

251. La vis d'Archimède étant considérée dans l'hypothèse du n* Si supposant le mouvement de rotation uniforme, remarquant que l'eau dans le tuyau sans choc et en sort avec une vitesse nulle, parce que H coule dans le tuyau avec une vitesse relative égale à celle des points du lujn en sens contraire, on voit qu'il n'y a point de force vive perdue dans cetippareil. Ainsi, en négligeant les frottements, l'effort du moteur doit simple ment faire équilibre au poids de l'eau contenue dans la vis ; soit P l'effort di moteur supposé appliqué à la circonférence de la hase du cylindre sur l«]«<J l'hélice est tracée, E le volume d'eau contenu dans l'arc hydrophore,fil< nombre des spires du tuyau qui forme la vis, H le poids de l'unilé de voirai de l'eau. Comme à chaque lotir du cylindre les arcs hydrophores sontélntt

2Dr

de la hauteur verticale -

pour la condition de l'équilibre,

-, le principe des vitesses virtuelles t

lang. » tang. 8

ou bien, en appelant H la hauteur à laquelle l'eau est élevée, et remarq

ou te hélice dont le rayon serait moindre que a c et a b ne pourrait recevoir reau, et que toutes les hélices dont le rayon est compris entre a cet a b lourronl en recevoir; donc on peut prendre a c pour le rayon du noyau delà ris sans rien perdre sur le volume de l'espace hydrophore. Cet espace est compris entre le plan horizontal M N , la portion de la surface hélicolde qui lit au-dessous de ce plan , et la surface cylindrique servant d'enveloppe à la ris; on peut en calculer le volume comme il suit. On nommera

« l'angle que l'axe A A forme avec le plan horizontal M N ; • l'inclinaison de l'hélice B M B N sur l'axe A A ; f le rayon a b de l'enveloppe cylindrique sur laquelle cette hélice est tracée; - ê l'angle map formé avec le rayon a m par un autre rayon ap mené à la projection horizontale/? d'un point quelconque P de la surface hélicolde \ as la longueur du rayon ap;

x la portion P Q d'une droite parallèle à l'axe A A qui est comprise entre le point P où cette droite coupe la surface hélicolde, et le point Q où elle coupe le plan horizontal M N.

6na

8in. s sin. t

EP = r.i tang. • , E Q = s . ,z = x. r . $ tang. e.

tang. a tang. a

Posant z = Oj il vient

x = r tang. a tang. • t

tin. t

équation qui appartient à la courbe n n, intersection du plan horizontal M N avec la surface hélicolde. En faisant x = rf l'équation précédente donne

tin. t

*• = tang. a . tang. 8 :

nous désignerons par ° la valeur de s qui satisfait à cette dernière relation, c'est-à-dire l'angle m an formé avec a m par le rayon mené au point extrême n.

Cela posé , remarquant que l'élément différentiel du volume de l'espace hydrophore est x ds . dx. dz, on aura, pour l'expression de ce volume, l'intégrale triple

s fin. t

/e pr p tang. a

"J . dxJ •'"''

o r tang. a . tang. • r $ tang. 6

sin . $

ou bien

/o / 1 1 fin. « 1 «* \

ds ( «tang. 9 h 1 tang.'a. tang.5 6 1 o \ S 5 tang. a 0 fin.'t /

UÇfMS SUE L'AI'PilCATIOX

/ | Il — «N.« I /•* #4. «Il

f*[ HtaoçiT -4- - [ang. 'a langea / .

ï uog.» 6 J o tin.««>

nier terme se calculera Facilement par approximation, r « I*i proposé, la droite génératrice de la surface hêlicolde iryJknUirr à t'axe , mais inclinée de manière à augmenter u r de l'espace hjdrophore. on aurait alors, en désignant par ■ l'agir 4e b pearnince nec la perpendiculaire à l'axe,

i = * r . a lang. 8 -+- x tang. u :

fcrofcal é» TOhune de l'espace hvdrophorc s'opérerait de la manière qui ' ■ l Ml 'r.-l--]':i.' ■.

Sort E le Toiumede l'espace hydrophorc, on déterminera, conformément à ce ft'oa i fa dans le n" 230, l'inclinaison de la vis propre à faire monter,

• ■■ - - ■ ,>Ii> d'ailleurs, la plus tïraiide (ninntiiù d't.'au "id'il ser.-i iioafctr es on temps donné, en cherchant la valeur de a propre il rendre un

Y. itn. a.

On pourra également appliquer ici les résultais énoncés dans le n° 231.

233. Pour que l'eau s'élêvc dans la vis en passant de spire en spire de Ij Minière qui a élé supposée dans le n" 229 et les suivants , il est nécessaire que ta portion de chaque spire, qui n'est point occupée par l'eau, soit rempli' d'air dont la force élastique soit égale à la pression atmosphérique. Pour que

XACHINE DE VEBA.

234. Elle est composée d'une corde sans fin ou de plusieurs cordes sans In (Fig. 106) placées les unes à côté des autres, passant sur une poulie supérieure fixe et sur une poulie inférieure qui sert seulement à maintenir la oorde tendue et qui est plongée dans l'eau. Lorsqu'on imprime à la poulie supérieure et par conséquent à la corde un mouvement de rotation rapide, reau s'élève, en suivant la partie montante de la corde, par l'effet de la communication de mouvement qui résulte de l'adhérence. On a élevé l'eau, au moyen de cet appareil, à plus de 55 mètres de hauteur. A cette hauteur, avec une corde de 0m,045 de pourtour, l'effet utile a été trouvé à peu près les -de celui que l'on aurait obtenu en agissant sur un treuil à manivelle servant à manœuvrer des seaux. A une hauteur moindre et avec des cordes plus grosses , le produit est plus considérable. Cette machine a été inventée en 1780.

CANNE BTDKACLIQUE. MACHINE M VIALON.

235. La canne hydraulique est un tuyau vertical AB (Fig. 107) dont l'extrémité A, garnie d'une soupape, est plongée dans le réservoir inférieur ; on imprime à ce tuyau un mouvement de va et vient vertical. L'eau entre par la soupape quand le tuyau s'abaisse, et après un certain temps, lorsque le mouvement alternatif du tuyau est convenablement réglé, la soupape devient inutile, l'eau contenue dans le tuyau ayant acquis un mouvement d'ascension uniforme. En supposant que l'effet du frottement de l'eau contre les parois du tuyau puisse être estimé d'après les résultats exposés n° 109 de la 2e partie des Résumés des Leçons, les conditions de l'établissement de cet appareil ie trouveront de la manière suivante. Nommons

Q l'aire de la section du tuyau ; x le contour de cette section ;

x la longueur du tuyau ;

U la vitesse d'ascension de l'eau contenue dans le tuyau supposée uniforme: Y et V1 les vitesses imprimées respectivement au tuyau quand il s'élève et quand il s'abaisse également supposées constantes ;

c l'espace parcouru verticalement par le tuyau à chaque oscillation; n le rapport de la section de la veine contractée après l'entrée de l'eau en A dans le tuyau à la section du tuyau ;

o la masse de l'unité de volume de l'eau :

g la vitesse imprimée par la gravité aux corps pesants dans l'unité de temps.

Considérons l'intervalle de temps qui comprend une oscillation du tuyau. Pendant la montée du tuyau ( conformément à la formule du n° 109 cité ci-

000 LSÇONS SUR I/APPLICATION

dessus }, il sera exercé, sur la colonne d'eau contenue dans le tuyau, du sens du mouvement de cette eau, une quantité d'action exprimée par

t xi [«(V — V) + 6(T— 0)»] . c.

Pendant la descente du tuyau il sera exercé sur la même colonne d'eau. sens contraire, la quantité d'action

PX1[«{T'+D) + 6(T'-D)»].c.

La durée de L'oscillation étant c, le volume d'eau élevé pendant

vv; v+v

intervalle est a V. c, et comme il est élevé de la hauteur », la qi

W tîté d'action imprimée en sens contraire du mouvement par la gravité