CHA1GI
au
■ILIEU.
Livres.
FLECHI
de
COUBIUEE.
Pouce.
Une charge de 180 livres agissant pendant plusieurs heures ne fit prendre aux trois pièces sous le n° 1 qu'une courbure presque insensible.
Les pièces sous les nOB 2, 3 et 4 n'ont pas été altérées sous des charges de 162 livres, et ont conservé de très-petites courbures après avoir supporté des charges de 182 livres.
Les pièces sous le n° 5 n'ont pas été altérées sous 180 livres, et l'ont été à peine sous 190 livres.
Les pièces sous les n°* 6 et 7 ne l'ont pas été sous 182 livres, et l'ont été un peu sous 202 livres.
Les expériences sous les n°* 1, 2, 3 et 4 donnent pour la valeur moyenne de ta constante E,
E=ll 530 000 000k.
[i] A pratical essay on 1he strength ofeast iron, 9» édit., pages 70 et suivantes.
MCONS SOB L'APPLICâTIOS
ARTICLE IV
DE LA RESISTANCE D US SOLIDE PRISMATIQUE A LA RUPTURE PRODUITE PAS V, EFFORT DIRIGÉ PERPEXDICULAIREKEBT A LA LONGUEUR DE CE BOLIDE.
112. Les fibres des corps , quand on les soumet à des extensions ou à de» | accourcissementstrès-petiLSjS'étendentou s'accourcissent de ta même quantité sous un même poids, comme on l'a dit n™ 76 et 77. Alors, si la section trans- I versale est rectangulaire, les fibres dont la longueur ne varie pas lors de II flexion du corps sont au milieu de ia hauteur de cette section. Quand les variations de longueur des fibres sont plus considérables, ces fibres peuvent, sous le même effort, s'étendre plus ou moins qu'elles ne s'accourcissenl. Alors les fibres invariables s'éloignent ou s'approchent de la face qui devient convexe lors de la flexion. La rupture a lieu quand les fibres étendues ne peuvent plus l'être davantage sans se séparer, ou quand les fibres comprimées ne peuvent plus l'être davantage sans s'écraser. La rupture s'opère d'une manière différente selon les corps. Dans les pierres, le verre, les métaux Fondus, il se fait une séparation brusque et totale sur toute la hauteur de la section. Dans les bois, les fibres sont écrasées vers la face concave, et arrachées irrégulièrement vers la face convexe. Dans les métaux forgés, la rupture n'est pas toujours accompagnée d'une séparation totale ou partielle. Les molécules, sans cesser d'être adhérentes, paraissent avoir pris près de la section de rupture de nouvelles positions d'équilibre, en vertu desquelles la figure du jjjUdj l dianflt
petite. Alors l'état de la section transversale du corps, à l'instant où la rupture va s'opérer, ne diffère point de l'état considéré dans les n°' 77 et suivants. Seulement il faut concevoir que la fibre placée à la face convexe qui est le plus étendue, ou la fibre placée à la face concave qui est le plus accourcie, subissent le degré d'allongement ou d'accourcisscment qui est immédiatement suivi de la rupture.
La situation de l'axe d'équilibre, où sont placées les fibres invariables, se déterminera toujours par la même condition géométrique énoncée n° 78. Supposons cet axe ainsi déterminé, et conservons les dénominations du n°77, qui se rapportent à la Fig. 1 ; appelons de plus :
v' la distance à l'axe d'équilibre aa' de la fibre extrême située à la face convexe ou à la face concave du solide, qui est prête à rompre ;
R une constante exprimant la force nécessaire pour rompre un prisme dont la section transversale est l'unité superficielle , tiré dans le sens de h longueur.
En remarquant que la résistance des fibres situées à la distance v de l'axe aa' esldudv. R, et que la résistance des fibres situées à la distance v du même
axe est dudv. — , on aura pour l'expression de la somme des moments de
ces résistances , pris par rapport à Taxe aa\
— [ / du I rfr.t*-f- / du I dc.r2
Nous nommerons cette expression moment de rupture du corps, et nous la désignerons par la lettre p.
1M. Si la section transversale peut être partagée en deux parties symétriques, par une ligne perpendiculaire à la direction de la force qui agit sur le corps, l'axe d'équilibre est placé dans cette ligne. Les deux intégrales sont égales, et Ton a
c = — / du j dr.r-
pour l'expression du moment de rupture.
En comparant ces formules à celles qui ont été trouvées n° 80 pour représenter Je moment de flexion, on reconnaît que l'expression du moment de rupture peut être déduite de celle du moment de flexion en écrivant R à la place de E, et en divisant par v', c'est-à-dire par la distance à Taxe d'équilibre contenant les fibres invariables, de la fibre qui en est le plus éloignée. D'après cela, les expressions des n°*81 et suivants donneront immédiatement les résultats énoncés ci-après.
115. La section étant un rectangle ( Fig. 2) dont b et c sont la largeur et l'épaisseur, i''=-, et l'expression du moment de rupture est
1 1G. La figure de la section étant formée de deux triangles égaux (Fig. 3), dont les côtés sont/? et q, le moment de la résistance à la rupture est
117. La figure de la section étant un rectangle dont les cotés sont A, c, ri l'axe contenant les fibres invariables formant l'angle <p avec le côté b, le moment de rupture est
**c*in.I<p-i-6c,«w.,q>
Cl&iin.tp-i-ccof.?)
Quand la section est un quarré cette expression se réduit à
0(iin.q> + cos.?)
et si la pièce est fléchie dans le sens d'une des diagonales du quarré , l'on <
119. A l'égard d'un tuyau, r* et r" étant les rayons des cylindres extérieurs ît intérieurs, remarquant que le moment de rupture du vide intérieur supposé plein, est
>n a pour le moment cherché
A sections transversales égales , un cylindre plein et un tuyau offrent des résistances à la rupture qui sont entre elles dans le rapport de
. A résistances égales , les sections transversales du cylindre et du tuyau sont entre elles dans le rapport de
l Y àr"-r"*.
120. Connaissant l'expression du moment de rupture pour une base de fracture rectangulaire, on peut se proposer d'inscrire dans un cercle un rectangle déterminé par la condition de rendre cette expression un maximum. Le diamètre du cercle étant 1, les côtés de ce rectangle seront respectivement
i yW -et
121. Considérons un solide prismatique (Fig. 9) encastre horizontalement à l'extrémité A, et chargé à l'autre extrémité M d'un poids. Nommons
P le moment de rupture, évalué conformément aux n°* 115 et suivants. d'après la figure de la section transversale du solide ;
P le poids suspendu à l'extrémité M du corps;
a la distance horizontale de la section À à la direction du poids P:
9 la longueur AM du solide;
f la flèche de courbure CM.
La rupture tend à se faire dans la section A, et les conditions de 1 équilibre sont exprimées par
? = pff, d'où P = - :
ou à peu près , en supposant que la courbure du solide est l'élastique en
n° 86, ce qui donne i -
