ET PAR HARIOTTE ET LÉ1BH1TZ
). La première consistait à placer Taxe horizontal d'équilibre au point
eur de la section de rupture, (Fig. 11), et à considérer la force inté-
e développée en chaque point de cette section comme constante pour
les points. Nommant
la résistance pour l'unité de surface;
la largeur de la section ;
i, fju, les valeurs pm> pn de l'ordonnée du contour de la section qui
répondent à une même abscisse u;
la hauteur de la section ;
mit ainsi
/b (*[& du I o J fxu
dv. r,
Tk$ Edinbur$ philosophical journal, tome XII, 1825.
88 LEÇONS SDR L'APPLICATION
pour l' expression da moment de la résistance à la rupture. Cette expra dans le cas où la section est un rectangle dont les cotés sont b, c, è
La théorie attribuée communément à Mariotte et à Léibnitz consi placer également l'axe horizontal d'équilibre au point inférieur de la m et à supposer la force intérieure développée en chaque point propo nelle à la distance de ce point à l'axe d'équilibre. Le moment de la rési à la rupture était alors
— I du I tlv.o3.
cJ o J A«
Il devenait, dans le cas du rectangle,
UaARQtK SUR LA THÉORIE DE LA RESISTANCE à
151. La théorie présentée dans les n™ 112 et suivants est fondé l'hypothèse que les fibres longitudinales, à l'instant de la rupture, c des résistances proportionnelles aux extensions et contractions de ces l et qui sont égales pour des extensions et contractions égales. La situât l'axe d'équilibre contenant les libres invariables est déterminée par la
r, et que les résistances des bases de figures semblables le sont tou-
t«B cube des dimensions homologues. Les rapports seuls des résistances
les bases de diverses figures sont changés. 2° Dans les applications, on
point dans le cas de calculer les résistances respectives des corps en les
tant dans l'état qui précède la rupture : on les considère au contraire,
on le verra dans la suite , lorsqu'ils n'ont pu prendre encore qu'une
flexion , qui n'en a point altéré l'élasticité ; et les résultats précédents
it alors sensiblement à la manière dont la résistance s'exerce.
NE LA RUPTURR d'UH SOLIDI PRISMATIQUE D'UNI PRTITB LONGUEUR.
153. Les notions précédentes, comme on l'a remarqué n° 79, ne peuvent appliquées avec exactitude qu'autant que la longueur du solide prismaest beaucoup plus grande que les dimensions de sa section transversale. Tôt effectivement ce qui a lieu dans les cas qui se présentent le plus frétaient dans les constructions et dont la considération est la plus imporî. A l'égard des cas où la longueur du solide surpasse peu les dimensions Ile la section transversale , ou même est plus petite que ces dimensions, [comme ils n'ont pas été suffisamment étudiés par l'expérience, on se bornera èprésenter à ce sujet quelques aperçus.
Considérons le solide AM (Fig. 9) encastré horizontalement à une extréî, et supposons d'abord que le fil auquel est suspendu le poids P soit dans le plan de la section A, c'est-à-dire contre la face verticale du dans lequel l'extrémité du solide" AM est encastrée. L'action du poids ne tendra pas alors à faire fléchir la portion AM du solide ; mais elle tenr èra a séparer cette portion de celle qui est encastrée , et avant que cette sé- 1 faration ne s'opère les fibres qui unissent les parties prêtes à se disjoindre m seront allongées d'une certaine quantité. Il est naturel d'admettre que Teflort nécessaire pour produire cet allongement est proportionnel l°à l'aire de la section transversale du solide, 2° à la grandeur de l'allongement dont il Agit. Par conséquent, si la section transversale est un rectangle dont b représente le côté horizontal et c le côté vertical; et si nous désignons par 1 rallongement dans le sens vertical (supposé très-petit) des parties du solide placées dans la section transversale A; D nn coefficient constant spécifique représentant la résistance du corps à un glissement d'une partie sur l'autre dans le plan de la section transversale; "Trifort dont il s'agit sera représenté par Ds. bc. Nous écrirons donc ici pour ifUtion d'équilibre
jt «t tous concevrons que la rupture aura lieu lorsque rallongement 5 aura pris
une valeur telle qu'il entraîne la disjonction des deux parties du corps, U poids qui causerait la rupture serait donc proportionnel à l'aire de la sec transversale.
155. Revenons maintenant à la considération du solide dont la partie s ; che du point A est encastrée fixement, mais dont la partie à droite de et point est libre, et sollicitée à son extrémité M par le poids P. D'après les remarques faites dans le n" 77, l'équilibre de la partie AM exige que les rares intérieures développées dans la section transversale A par l'action du poiè P aient des composantes verticales dont la somme soit égale à ce poids ; et 1 faut de plus que les composantes horizontales de ces mêmes forces fa équilibre au poids P autour de l'axe horizontal correspondant aux fibres dont la longueur ne varie pas. Nous avons considéré jusqu'ici ce dernier équilibre seul : mais dans le cas dont il s'agit il devient nécessaire de considérer également l'équilibre des forces verticales, Supposant donc ces forces verticales développées dans la section d'une manière conforme à ce qui a été expliqué ci-dessus (ce qui ne peut être bien éloigné de la vérité, surtout lorsque la longueur du solide est fort petite), nous écrirons d'abord l'équation
P = D!.ftc.
Et quant à l'équilibre de rotation, si nous représentons par p le rayon do cercle oscillateur de la courbe affectée par l'axe longitudinal du solide m point A, nous aurons, conformément à ce qu'on a vu dans l'article précèdent, pour exprimer cet équilibre, l'équation
mit le plus fortement tendues. Or, il est visible qu'en supposant ici l'état Péquilibre de la section À conforme aux notions précédentes, les parties plages à la face supérieure du*solide dans cette section se seront allongées par 'effet de l'abaissement vertical de la partie AM et de la flexion de cette partie, roue fraction de leur longueur exprimée par :
M en mettant pour 'et » leurs valeurs tirées des équations précédentes,
p a/ 1 56a* bc D* E*c*'
Or la grandeur de cet allongement étant le terme qui détermine la rupture, a sfen suit que le poids qui peut rompre le solide est proportionnel à l'expression.
bc a/1 3Câ* D* E*c*
1 Cette formule satisfait aux cas extrêmes : si la longueur du solide est fort petite, on négligera le terme affecté du rapport —, et la résistance à la rup-
tare sera proportionnelle à bc; si cette longueur est fort grande par rapport
a h hauteur c, on négligera au contraire le terme —, et la résistance sera
Proportionnelle à — , comme l'indique dans ce cas l'expérience. Il est vrai-
fc&blable que, dans les cas intermédiaires, la formule dont il s'agit s'éloi-
ftoerapeu des effets naturels, lorsqu'on déterminera les coefficiens constants
^■et— de manière à satisfaire à des résultats obtenus directement par Tex-
P*rience.
155. Lorsqu'au lieu d'une pièce encastrée par une extrémité on considéftftune pièce posée horizontalement sur deux appuis et chargée au milieu (ftg. 10), les mêmes considérations pourront être appliquées, en concevant Vie a désigne la moitié de la distance des appuis, et P la moitié du poids Phcé au milieu de la pièce.
ARTICLE V
DE LA RÉSISTANCE l)'lfS CORPS PRISMATIQUE A LA TORSION.
156. Oh peut essayer de former la théorie de ce genre de résistance * moyen de considérations analogues à celles qui ont été employées pour h résistance à la flexion.
Soit (Fig. 12) un solide prismatique encastré horizontalement à l'une ta extrémités. Supposons qu'une force P agisse à l'autre extrémité avec le de levier Bc pour tordre le solide autour de l'axe Ce; imaginons que par l'effet de la torsion, un diamètre bb de la section extrême , sur laquelle agi la force P, se soit transporté en b'b'. Le diamètre correspondant AA de l'extrémité encastrée n'aura subi aucun déplacement; et on doit concevoir q«, tous tes diamètres des sections intermédiaires, tels que dd, se sont déptaeét proportionnellement à leur distance Ce de l'extrémité encastrée. Par l'effet de ces déplacements, les molécules qui, dans deux sections transversales consécutives , étaient avant la torsion vis-à-vis les unes des autres, ont été éloignées l'une de l'autre d'une quantité proportionnelle, 1" à la distance deçà molécules à l'axe Ce; 2° à la différence des angles parcourus par chaque diamètre dans deux sections transversales consécutives , différence proportionnelle à l'angle beb', et réciproque à la longueur Ce du solide. On peut supposer, la torsion étant censée très-petite, que les résistances naissant des
ilrplni'Onli'ilN ;■>■!■■ i;l:..-i;il ,n-iipm-fiimurllr~ ,:i it^ riT'iiùirt'Hirnls. I,r mumrlll ili'
L'élément de l'aire de la section transversale placé à l'extrémité du rayon r étant dvdr. r, on aura
G — dydr.r* a
pour la résistance provenant de la torsion qui a lieu dans cet élément; et pour exprimer l'équilibre entre le moment de la force P, et la somme des moments des résistances semblables,
G8 />2ic /Y(?) PR = — / tf? / dr.r*, aj o J o
OU
. G6 /»2* PR=- / d9.i[f(9)]*.
157. La section transversale étant un cercle dont r est le rayon, on a f{9)=r, et la formule précédente donne
G6 H *He l# P 2aR
PR =— . 2w — = G , d OÙ 0 = — . .
158. La section transversale étant un quarré dont le côté est b (Fig. 13) , on doit chercher à part l'expression de la résistance à la torsion de l'un des
b huit triangles égaux à ABC. L'équation de AB est r = . On a
2 cos. ?
d'ailleurs
1 1 sin. ? 2 sin.?
cos.4 9 3 cos.3? 3 cos.?
et par conséquent
o cos.4? 3
Ainsi le moment de la résistance du triangle ABC est
et par conséquent l'on a pour le moment de la résistance du quarré
