SURCHARGÉE

254. Reprenant le ealcul du n° 225, en supposant la surface supérieure des terres chargée uniformément par des matières qui doivent se diviser suivant 4* plans verticaux correspondants aux extrémités supérieures T des lignes if rupture (Fig. 20 et 21 ) , et nommant

p le poids porté par l'unité de surface ,

(m devra , dans les formules de ce n°, écrire ph -+- \ * /** au lieu de 7 « hJ. L'iligle du prisme de plus grande poussée demeurera toujours le même. La wleur de la poussée du n° 229 deviendra

s in. t Cos. *î (rrpt)

rt dans le cas où la paroi est verticale ,

235. En appelant h" la valeur de h pour laquelle Q est nulle , on aura

•es expressions deQ du n° 230, et l'expression trouvée n° 231 pour la distance du point d'application de Q à l'extrémité inférieure de la paroi , conviendront au cas dont il s'agit, en écrivant A" au lieu de h'.

236. En supposant nulle la cohésion des terres , comme au n° 232 , la valeur de la poussée sera

Q = (p h -4- { « h2) /* cos. t ;

et si la paroi est verticale ,

Là distance du point d'application deQ à l'extrémité inférieure de la paroi sera

h ic h H- 5/>

5 cos. t x h -+- 2p

et si la paroi est verticale ,

xh -f-2/*

237. Lorsque les terres se changent en on fluide, les e dentés de Q s'appliquent à ce cas en supposant t = 90" , ce qui donne t= quand la paroi est verticale. La valeur précédente de la distance du p d'application de la pression convient également aux terres non cohérente», et aux fluides,

tQciuBBK d'un hdi sotmifAirr la podssée du teuh.

238. On regarde le mur ABba (Fig. 22 et 23) comme pouvant se suivant la direction inclinée «S. La rupture peut avoir lieu , soit parée pt la partie supérieure SBba glisserait sur le plan de rupture , soit parce q* cette partie supérieure serait renversée en tournant sur l'arête «. LaruptM par glissement, suivant une direction inclinée, tracée dans l'épaisseur du i peut être prévenue par divers procédés de construction; et, abstraction de ces procédés , ce genre de rupture n'aura pas lieu , en général , si le nv a l'épaisseur nécessaire pour résister à la rupture par renversement. On sidérera seulement ici ce dernier genre de rupture.

Conservant les dénominations des n°* 225 et suivants , on nommera

a la largeur Aa de la base du mur ;

h la hauteur verticale AC ;

m le rapport de la base à la hauteur, pour le talus de la race eitérian*

ab du mur; n le poids de l'unité de volume de la matière du mur ; R ta cohésion de la matière du mur sur l'unité de surface (voyez n° 211 )< F le rapport du frottement à la pression pour les terres glissant sur la h»

intérieure AB du mur.

> représentera, comme ci-dessus, l'angle que le parement intérieur AB

do moment de la poussée des terres sur BS, pris par rapftréte a, est donc

I**!1 (* — A')cot.i I — H * -=Fasin. • ,

L cos. • 5 cos. • z — h' J

supérieur et inférieur ayant lieu respectivement pour les cas des 22 et 23. La même expression conviendrait au cas où la surface suirc des terres serait surchargée uniformément , en écrivant /*" au lieu ♦ conformément au n° 235.

L Le moment des forces qui s'opposent au renversement, pris par rapà l'arête a, se compose du moment du poids du rectangle ACca, qui est

~VLd*h;

■jËtas le moment du poids du triangle abc,

£IIjll>JP;

ou plus le moment du poids du triangle ÀCB ,

\ II h2 tang. « (o qc ^ h tang. t) ;

le moment du poids du triangle «RS ,

ou plus le moment du poids du triangle ARS ,

r II (A -s)2 tang. «O^t (h - z) tang. •];

ttxquels il faut ajouter le moment de la résistance à la rupture sur aS, qui est

4 R | (h - 5)'-+- [azp (A-*) tang. •]* J;

et enfin le moment du frottement et de l'adhérence des terres contre le parement intérieur du mur , qui est

{ F x zt* (z — h') cos. t. a cos. i.

, 240. La condition de l'équilibre du mur , pour une valeur donnée de z,

■ s'exprimera en égalant cette somme de moments au moment de la poussée des

| Unes sur BS. Si l'on résout ensuite l'équation par rapport à a , et si l'on

détermine la valeur de z par la condition de rendre a un maximum , on

connaîtra en même temps la direction suivant laquelle le mur se romprait, si

^épaisseur a était un peu trop petite, et la moindre valeur qu'il soit possible

4e donner à cette épaisseur.

241. Nous supposerons le parement intérieur du mur vertical1, la cohésion

i été terres et celle de la matière du mur nulles, d'où • = 0, h' = 0, R = 0. De

ISO

plus nous négligerons le frottement exercé par le terrain contre ta ftMri Heure du mur, d'où F = 0. Dans ce cas , s'il n'y a point de surcharge (i surface supérieure des terres, le moment de la poussée sur BS, prii rapport au point A , est

et le moment de stabilité du mur ,

En égalant ces deux quantités , et résolvant par rapport à a, on trouve

xa'/»(3A -ï*) + IIm»A'

Différenciant et égalant à zéro , on aura , pour déterminer la valeur i qui rendra a le plus grand possible , l'équation

Cette valeur, substituée dans l'expression précédente, fera connaître moindre largeur qu'il soit possible de donner à la base du mur.

342. Si le parement extérieur du mur est vertical , aussi bien que le pi ment intérieur, m = 8; l'expression précédente de a se réduit à

s*I»{SA-2s)

La valeur de z qui rend cette expression an maximum , est b = -, l/Jh;

ëe oe mur assez grande pour qu'il ne s'y fasse pas de disjonction, où la poussée des terres le renverserait en le faisant tourner sur extérieure de sa base. En conservant les dénominations du n° 238, qui irtent aux figures 22 et 23, l'expression du moment de la poussée f terres sur AB se déduira de celle qui a été trouvée dans ce nu-

en supposant z = h, et sera

\ x Pi'-; h* [h - \ h')qpah(h — h') sin. • cos. ■].

le moment des forces qui s'opposent au renversement se déduira égalede l'expression donnée n° 239, en supposant z = A, R = 0,F = 0,ct

~ H h [à1 qp a h tang. t + 7 h* ( tang. * « — m*) ].

ces deux expressions, et résolvant l'équation par rapporta a, on

h tang. « ** ( h — h' ) sin. « cos

il h lang. t t* (h — h') sin. t cos

-4-- A*(»--î h' ) — 7 A» (tang. a • — m') SU

Fexpression de la largeur à donner à la base du mur. Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est

irgée, en écrivant A" au lieu de Ky et donnant à h" la valeur indiquée

M4. Si le parement intérieur du mur est vertical . « — 0 ; la valeur de «est

= \/~/îA(A-7A')+îm2/i2, V 311

fcraule dans laquelle t = tang. ~ t, conformément au n° 229.

MS. Si le parement extérieur du mur est également vertical , m = 0 , et taa

= *\/ — .h{h — ih').

146. Si , la cohésion des terres étant supposée nulle , il existe une surrfesnr la face supérieure, on doit (conformément au n° 235) écrire

132 LEÇONS SIÎH L'APPLICATION

an lieu de h' dans l'expression générale de a du n" 245, et dans celles A deux n"' précédents. Mais s'il n'existe point de surcharge, on doit faire fi' = L'expression du n° 245 devient alors

*y *Ett

247. Si , la cohésion des terres étant nulle , le parement intérieur du 0 est vertical , on a

248. Enfin si , la eohésion des terres étant nulle , les deux parements du mur sont verticaux , on a

•Va

en sorte que la moindre épaisseur à donner au mur est à peu prt* 0,577-/(2 \ / — , résultat qui ne diffère pas sensiblement de celui du n° 24Î.

249. Les formules des trois n"' précédents s'appliqueront au cas où Iw terres se changent en un fluide, en supposant * = 90°, ce qui donne I quand le parement intérieur du mur est vertical-

a pour la force qui s'oppose au glissement

± i * x h 0 ( h — h' ) sin. • cos. • -t- * II [ a h — \ h* ( m ± tang. s ) ] -4- T a .

, En égalant ces deux forces , on exprime la condition de l'équilibre du système, et en résolvant l'équation par rapport à a, on trouve

h % fi (h — h' ) cos. > • (1 =p * tang. •)-*-* II h ( m db tang. • ) "V ♦ÏÏÂ+T

pour l'expression de la moindre largeur qu'il soit possible de donner à la base du mur.

Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est surchargée , en écrivant A" au lieu de H, et donnant à h" la valeur indiquée n° 235.

251. Si le parement intérieur du mur est vertical, t = 0 : la valeur de a est

h<K(*{h — h') + QIlmh a= ,

formule dans laquelle t = tang. \ r , conformément au n° 229.

252. Si le parement extérieur du mur est également vertical , m = 0 , et

Ton a

253. Si, la cohésion des terres étant supposée nulle, il existe une surcharge

sur la face supérieure , on doit , conformément au n° 235 , écrire au

lieu de h' dans les deux expressions précédentes. Mais s'il n'existe point de surcharge, on doit alors faire h' = 0. En supposant également nulle la cohésion entre le mur et la base , l'expression du n° 250 devient

a = - 1 — 0 cos. * • ( 1 =F ♦ tang. « ) -+- m ± tang. « I.

254. Si , la cohésion étant nulle, le parement intérieur du mur est vertical, on a

Ar it

a=-| - t2-htn I.

255. Enfin si , la cohésion étant nulle , les deux parements sont verticaux ,

256. Les formules des trois numéros précédents s'appliqueront an m les terres se changent en un fluide, en supposant t —90°, ce qui donne (= quand le parement intérieur du mur est vertical.

Tous les résultats exposés depuis le n- 338 s'appliquent également i mur formé d'un massif homogène, ou à un mur construit avec des pian posées par assises horizontales-

ARTICLE V

DE L'ÉTABLISSEMENT DES FONDATIONS , LOBSQUE LES ML HS SONT SUPPOETï* PAB DES TERRAINS COMPRESSIBLES.

257. Quand on n'a pu établir les fondations d'un mur sur un sol sen ment incompressible, l'inconvénient qui en résulte est moindre si le par l'effet de la compressibilité du terrain, s'abaisse verticalement, sans cher d'un côté ou de l'autre. La fondation doit donc être disposée de mt que le mur n'ait aucune tendance à se déverser. Nous supposons le ternin également compressible, dans toute l'étendue de la surface des fondations.

Bans le cas où le mur ne supporte que des actions verticales, on ami satisfait à la condition dont il s'agit si le centre de gravité du poids du mur, et des poids dont il est chargé, se trouve dans la ligne verticale passant ptf le centre de gravité de l'aire des fondations.

pour le moment du poids du mur et delà fondation, pris par rapport Mflieo de la base aê,

{ (P-4-icaA)(a' — a);

ffoar le moment de la force horizontale Q, pris par rapport au même point,

Li largeur a devra donc être déterminée par l'équation

Q(A-t-A') = £ (P-+-*afc)(a'-a),

•4- ira h

M). Dans tout antre cas, et particulièrement lorsque les murs soutiennent poussée des terres ou des fluides, on ne trouvera aucune difficulté pour la largeur des fondations de manière à satisfaire à la condition dont il [Agit, puisque les résultats présentés dans l'article précédent font connaître 'kfrandeur et la direction de la poussée. On fera en sorte que le moment de îbtte poussée, pris par rapport au milieu de la base des fondations, soit égal \m moment du poids du mur, pris par rapport au même point.

ARTICLE VI