DE L'ÉQUILIBRE ET DE L'ÉTABLISSEMENT DES VOUTES
289. II existe plusieurs espèces de voûtes, dont les principales sont les coûtes en berceau, les voûtes d'arête, les voûtes en arc de cloître, les voûtes 4& dôme. On s'occupera principalement ici des voûtes en berceau.
Une voûte est un assemblage de parties solides juxtaposées. Ces parties nommées vouloirs, sont séparées par des/omte. Dans les voûtes construites :tn pierre, les joints des voussoirs sont ordinairement garnis en mortier. lorsque les efforts exercés sur chaque voussoir, et la figure de la voûte, sont ids que le système ne se trouve point en équilibre, cette voûte se rompt. La rupture peut avoir lieu , soit parce que les parties de la voûte se séparent en glissant les unes sur les autres, soit parce que ces parties s'écartent en tournant autour des arêtes supérieures ou inférieures des voussoirs. Le frottement et l'adhérence des mortiers s'opposent à ces mouvements, et contribuent I maintenir (a voûte en équilibre.
ARTICLE PREMIER
CONDITIONS GÉNÉRALES DE L'EQUILIBRE d'un ASSEMBLAGE DE VOCSSOIRS.
290. Soit un assemblage de voussoirs ABNM (Fig. 24), formant une portion de voûte en berceau, appuyé en AB contre un plan fixe, et maintenu
force de cohésion du mortier esl beaucoup moindre lorsque la force esl exercée parallèlement an plan de rupture, qu'elle n'est lorsque la force est exercée perpendiculairement à ce plan. U serait nécessaire toutefois, pour fixer les idées à cet égard, que des expériences comparative* eussent été faites sur les mêmes mortiers.
En donnant à f les valeurs indiquées n° 280, et calculant le poids nécessaire pour écraser on cube de 0»,05 de coté, par les formules des n™ 100 et 197, on trouve un résultat fort Inférieur à ceux qui ont été rapportés n° 1 1. Peut-être peut-on attribuer en partie cette différence à la présence des grains de sable ou de ciment, beaucoup plus durs que la matière les unit.
■-■y *i r. îï L'APPLICATION
mi- me *«r« dont les composantes verticale et horizon
l '.j î: ur» :•• L'ut assemblage de voussoirs est donnée par le
' .•:•. 'i- ■'. i"'\:ndos XmM ctBnN, et par les directions de
<n mppMt! de* forces quelconques appliquées aux voussoirs.
.•■ ■« un.ni.:.*? >: le système se maintiendra en équilibre.
■■i-urr un- nie* nette de la nature de cet équilibre. ïmaginoni
i.:> :<■ ?.:n;i!iritt\ que les voussoirs sont simplement sollicitât
■: .i .: jesi:i:i'ur. et supposons {pie l'on mette en place successiTe-
iiivoio. e:i commençant par celui qui est continu au plan fixe
•i -»iim-s — >'.■■-■. ssoirs placés contre ce plan pourront se soutenir par
■> < in *YiVment . si l'inclinaison des joints sur l'horizon n'est pas
m Ut'* bientôt il sera nécessaire, pour les maintenir en place,
■■■ :-;;i'.k le ji»i:it supérieur du dernier voussoir une certaine force,
* -.-.•.■wnttHi* ici les composantes verticale et horizontale par
{.'& '..• force devra être assez grande pour empêcher la totalité , os
.-.: .pcK-onquc des voussoirs mis en place, de tomber, soit en
:•■ !.-s joints, soit en tournant sur les arêtes inférieures des joints;
■ JoirJ [>as être assez grande pour causer le soulèvement de la
;• d'une portion quelconque des voussoirs mis en place, soit par un
: vtr les joints, soit par un mouvement de rotation sur les arêtes*
■■• des joints. On voit donc en général que , considérant un joint
e nui. le système des forces appliquées à la portion de voûte
compris les forces P. Q appliquées contre le joint supérieur do
■««soir, doit être tel que l'artion des forces appliquées à la partie
DE LA MÉCANIQUE, 1" PARTIE. 1 i7
h valeur de la force de cohésion , rapportée à l'unité de surface, qui
doit être vaincue pour opérer ce glissement ; EL la valeur de la force de cohésion , rapportée à l'unité de surface , qui est
vaincue lorsque deux voussoirs se séparent, en s'écartant perpendicu- : lai rem en t au plan de joint.
191. Pour exprimer les conditions relatives au glissement sur le joint mn, t remarquera en premier lieu que la force qui tend à faire glisser la portion *TOûle /tt/iNM dans le sens nm est
( P +■ o ) cos. e ; k force qui s'oppose k ce glissement ,
(Q + H) 8in.e-4-/*(P-4-G)8in.6 4-/,(Q-*-U)co8.e^-T5:
Dû il suit que, pour que le glissement dans le sens nm n'ait pas lieu, on lit avoir
P(1 — /'lang.e)— Q(tang.e-4-/,)<— G(l— /*tang.e)-f-H(tang.e+/lH .
cos. 8
On remarquera , en second lieu , que la force qui tend à faire glisser la éme portion de voûte dans le sens mn est
(Q-+-H) 8in. 6;
k force qui s'oppose à ce glissement ,
(P -4- G) cos. e-t-/,(P-<-G)sin. 0 -4-/* (Q -+• H) cos. 0-t-f z:
où il suit que, pour que le glissement dans le sens mn n'ait pas lieu, on rit avoir
— P ( 1 -*- ftanç. o) -4- 0 (tang. B-f)<G(i+ /,tang.6) — H (tan&. 0 - f) -+- — 1.
cos.O
L'équilibre de la portion de voûte ABNM exige que Ton puisse attribuer IX composantes P, Q des valeurs telles que ces conditions soient satisfaites, dur l'un quelconque des joints mn.
992. Pour exprimer maintenant les conditions relatives au mouvement de tfation autour des arêtes supérieure ou inférieure du joint mn, on support en premier lieu que la portion de voûte mnUM. tend à tourner de lut en bas sur l'arête m , et que les forces P , Q sont appliquées en N , ce n est le cas où elles ont le moins de tendance possible à favoriser ce mou- Roent. Le moment des forces qui tendent à faire tourner la portion de jftte est
Iffc moment des forces qui s'opposent à ce mouvement, en évaluant le mo-
ment de la résistance provenant de la cohésion comme on l'a hit n* Ml)
Q{b'-r)-t-E{€-y)+!;Raf.
Ainsi, pour que le mouvement de rotation n'ait pas lieu, on doit avoir
Pto"-*) — 0(6'-j)<~G(a- j) + H(S— r)-*-\ n»*.
On supposera en second lieu que la portion de voûte mnNM tend à Iobi de bas en haut sur l'arête n , et que les forces P , Q sont appliquées en K, qui est le cas où elles ont le moins de tendance possible à favoriser « m veinent. Le moment des forces qui tendent à faire tourner la porlin voûte est
et le moment des forces qui s'opposent à ce mouvement ,
P(0-l']+0(l-T') + i|lj",
Ainsi, pour que ce second mouvement de rotation n'ait pas lieu, od avoir
-P(a-i')+!HJ-/)<fi(a-i'}-H(6-/y + JSj»,
L'équilibre de la portion de voûte ABNM exige , outre la condition indii dans le n° précédent, que les valeurs attribuées aux composantes P, Qsi telles que ces dernières conditions se trouvent encore satisfaites, pour quelconque des joints mn.
Réciproquement, lorsque les conditions précédentes seront satisfaites tous les joints, la portion de voûte demeurera nécessairement en équilib
293. La valeur de la pression exercée perpendiculairement au joint mi
fefeeohéskm, les conditions du n° 292, relatives à l'équilibre de rotation, it
expriment que la direction de la résultante des forces appliquées à la ion de voûte mnNM doit passer entre les points m et w. . On voit par ce qui précède que , pour que l'équilibre existe dans un de voussoirs, il est nécessaire en général que les deux composantes , Q satisfassent à quatre inégalités , qui doivent être vérifiées pour tous les de la voûte par les valeurs de ces forces. Il en résulte qu'il existe cerlimites , au-dessus et au-dessous desquelles les valeurs de P et Q doit se trouver. Si les conditions dont il s'agit ne se contredisent pas , et s'il arête des valeurs de P et Q au moyen desquelles on puisse y satisfaire , l'éfiflibre pourra subsister dans le système de voussoirs proposé. Et si l'on conçoit le dernier joint MN appuyé contre un plan fixe , comme l'est le prêter joint AB, et le système soumis à l'action des forces qui sont appliquées voussoirs , on est assuré qu'il n'y surviendra aucun mouvement.
