APPLICATION A LUE PLATE-BANDE
297. Soit la portion de voûte dont on cherche les conditions d'équilibre la Moitié ABNM (Fig. 25) d'une plate-bande uniformément épaisse. Faisons abstraction des résistances provenant du frottement et de la cohésion , et Apposons la plate-bande uniquement sollicitée par l'action de la pesanteur. Conservons les dénominations du n°290, et nommons
3*4 la demi-largeur AM; c l'épaisseur HL\ ; n le poids de l'unité de volume de la matière des voussoirs.
On aura, dans l'équation du n° 294,
P=0.H=0„G = n[(«— i')c + -c2 tang. e] : cette équation deviendra
lang. 8 = ,
2Q — lïcJ
et donnera, si8' désigne l'inclinaison du premier joint AB ,
* 2n«c 2 a c -4- c1 lang. 9'
tang. e' = ; d'où q = II .
2Q — Ile* 2 tang. 0'
On déduit de là
lang. e a — s lang.O' a
Ainsi, l'inclination «'du premier joint A B étant donnée, la valeur det. déterminée par l'expression précédente, et l'équilibre exige que lai fions de tous les joints se rencontrent en un même point 0.
398. Quant aux conditions du n" 395 relatives à l'équilibre de rôti elles deviennent, en les appliquant an joint AB. Oc>;-n"o*c— jllc'lane. '8', — Qc<£Iloc(o-i-2clanfî. 0') + -, lt'^ tang.1»'.
La seconde inégalité, exprimant quela portion de voûte ABNM ne peut Id sur l'arête supérieure B de ce joint, est satisfaite, quelle que soit la valeu tive donnée à Q ; et on voit effectivement, d'après la figure de la voùt ce mouvement est impossible. Quant à la première inégalité, exprima) la portion de vofttc ABXM ne peut tourner sur l'arétc inférieure A, é vient en mettant pour Q la valeur trouvée ci-dessus. n° 297, ac> ;-(o» — cs) tnny. ft' — je1 lang.'a'.
On vérifie que cette inégalité est toujours satisfaite, quel que soit l'ai lorsque la demi-largeur a de la voûte ne surpasse pas la valeur qt trouverait en faisant tang.°' = 1 dans l'équation
t5)tang. i'H
valeur qui est a = c ( 1 ■+- V \ ). Si la demi-largeur » surpasse cette il sera nécessaire, pour que l'inégalité dont il s'agit soit satisfaite, que ne surpasse point la valeur qui serait donnée par l'équation précéder en était autrement la résultante du poids de la portion de voûte AB de la force Q qui doit être appliquée horizontalement en N. se tro dirigée de manière à rencontrer la ligne AB au-dessous du point A,
Ï)E LA MÉCANIQUE, 1" PARTIE. i;;i
HKl» Aus le cas où l'épaisseur de la plate-bande est très-petite par rapport pBlMiiii lare, cette expression devient
sin. 0'
Si Ton considère deux moitiés égales de plate-bande (Fig. 26), sépapar le joint vertical MN, l'équilibre ne pourra subsister h moins que as les joints ne soient dirigés suivant des lignes passant par le même point \ et que l'angle e' formé par le joint extrême avec la verticale ne soit déterconformément à ce qui a été dit n° 298. Si cette dernière condition n'épas satisfaite la plate-bande se romprait, les deux moitiés portant Tune Fautre en IV, etles arêtes A,A' remontant le long des plans fixes contre les voussoirs extrêmes sont appuyés. L'expression de Q du n° 297, la pression horizontale que les deux moitiés de la voûte exercent contre l'autre dans le joint MN; et l'expression de T du n° 500 donla pression normale supportée par les joints extrêmes AB, A'B'. Les its de la plate-bande devront présenter la stabilité nécessaire pour itéra ces pressions.
ITI03S DI L'ÉQ El LIBRE D'UN ASSEMBLAGE DE VOl'SSOIRS , E* SUPPOSAIT TOLS LES JOINTS
PERPENDICULAIRES A LA COURBE D'iXTRADOS.
!. Considérant une portion de vortle ABNM,dans laquelle tous les joints
voussoirs sont perpendiculaires à la courbe d'intrados A7??M, appuyée
extrémité contre un plan fixe AB, et maintenue à l'autre extrémité
une force dont les composantes verticale et horizontale sont P et Q : on
imera
xjy les coordonnées kp, pm d'un point quelconque m de la courbe d'intrados;
z la longueur du joint mn ;
s la longueur de l'arc km ;
ajb les coordonnées du point extrême M :
S la longueur totale AmM de la courbe d'intrados ;
p le rayon de courbure de cette courbe, au point m ;
F la valeur de la force appliquée aux voussoirs, pour le point m de la courbe d'intrados, cette valeur étant rapportée à l'unité de longueur, et donnée en fonction de Tare de la courbe.
? l'angle que la direction de la force F forme avec l'axe horizontal des abscisses, cetangle étant égalcmentdonné en fonction de l'arc delà courbe.
T la valeur de la pression exercée perpendiculairement au joint vin, par Tune des deux parties de la voûte contre l'autre.
Faisan t abs traction des résistances provenant du frottement et de la eohai et appliquant ici les nations présentées d°* 290 et suivants, la première comoI de l'équilibre du système est que la pression raormale T, supportée pu joint mn, soit égale et directement opposée à la résultante de toutes les for appliquées à la partie mnNM de la voûte. En remarquant que les composta
fr > verticale et horizontale de la pression T sont respectivement T — et T-
ils
et que les sommes des composantes verticales et horizontales des forces »p quées à la portion m«NM de la voûte sont respectivement / df.Fsù
et / dg. F cos. <?, cette condition donnera les deux équations,
T - = Y+ § d». Fiin.ip, d» J t
dx /-S
T — = 0-*- / <ti. 1
de J s
304. La seconde condition de l'équilibre du système est que la direction la résultante de toutes ces forces passe entre les points metn; mais il inutile d'y avoir égard. Cette condition est implicitement comprise dai supposition que les joints des voussoirs sont normaux à la courbe d'intrac puisqu'alors les directions successives des résultantes dont il s'agit forme) nécessairement une seconde courbe parallèle à la première.
505. Différenciant les deux équations du n° 503 , multipliant la prem dj dx f
par — , la seconde par — , et ajoutant ( en observant que
Mrteque la pression est constante dans toute l'étendue de la voûte. fei aura donc, en différenciant les deux équations du n° 303,
dy dx
T d. — = — ¥ds. sin. 9, T d. — = — F ds. cos. 9 ds ds
tk (en ayant égard aux valeurs de sin. ? et cos. <?) l'on déduit
Td<p = — F ds,
ds
» parce que rf? (qui est l'angle de deux normales consécutives) = ,
T T = pF, CtF = — .
linsi la pression exercée d'un voussoir à l'autre est égale à la force appliquée nnalement à chaque point de la courbe d'intrados, multipliée par le rayon courbure en ce point; et l'équilibre exige que cette dernière force ait, is toute l'étendue de la courbe, des valeurs réciproques au rayon de courre.
107. Si la courbe d'intrados était un arc de cercle, la force appliquée aux îssoirs, perpendiculairement à cette courbe, devrait avoir une valeur connte dans toute l'étendue de la voûte. L'équation précédente donne la rela- 11 qui existe entre cette force, et la pression qui s'établit entre les voussoirs. en conclut que, si la courbe d'intrados était un cercle entier, la somme 1 forées normales appliquées à la voûte dans toute l'étendue de ce cercle, la pression exercée d'un voussoir à l'autre, seraient entre elles comme la conférence est au rayon, ou comme 2* est à 1.
SOS. On a supposé précédemment que les voussoirs pouvaient glisser sur plans de joint, sans qu'aucune résistance provenant du frottement ou de cohésion s'opposât à ce mouvement. En admettant l'existence du frottemt et de la cohésion , il n'est plus nécessaire, pour que la voûte se mainune en équilibre, que les forces appliquées perpendiculairement à la courbe ntrados soient assujetties à la loi indiquée n° 306. Mais, quelles que soient les leurs de ces forces, la pression normale existant entre les voussoirs, qui ►orra alors varier d'un point de la voûte à l'autre , se calculera toujours en «que point au moyen de la formule T = p F.
CAS OC LIS FORCES APPLIQUÉES A LA VOBTB SE RÉDUISENT EN POIDS DES VOUSSOIRS.
