D'UN POIDS
871. On suppose la pièce AMM' (Fig. 49) chargée en M du poids n, encastrée horizontalement aux deux extrémités A et M' ; et l'on remarque que refct de l'encastrement en M' est de rendre horizontale en ce point la direction de la tangente à la courbe. Or on ne changera rien à l'état d'équiflbre de la pièce AM' , si l'on suppose cet effet produit au moyen de ce que selle pièce, posée simplement sur un appui en M', est prolongée en M' M", et
chargée à l'extrémité M" d'un poids dont la valeur a été terminée. Cela posé, on nommera
a la distance AS;
a' la distance AM';
a/' la distance AB";
n' l'effort exercé sur l'appui M' ;
H" le poids suspendu à l'extrémité M" ;
■ et t auront les significations indiquées n° 559.
On aura en premier lieu pour la portion AM de la pièce
<Py
* dx*
dr „ .— = ïï(a.
dx
i*1) — B'(o'«- Lx*) + W(a"x — ±x*)t
On a ensuite pour la portion MM' , en déterminant les constantes de ■ ds
nière que, pour x=a, les valeurs de — et y soient. égales àcellesquisenii
dx
données par les équations précédentes ,
dx*
— sniin-n'io'ji-i^+n"
dx
r = n (f o'jf— i8ï)n'(ï0'**-
572. Le coefficient — çj l'ordonnÎT y drvmil être nuls a» point M', c'f
En substituant ces valeurs dans les équations précédentes, et écrivant 2 P au lieu de n, on aura pour déterminer la figure de la première moitié de la pièce ,
dx* \1 J
dy fax x*\
dx \2 2/
fax3 x*\
On vérifie que les équations appartenant à la seconde moitié indiquent une figure symétrique à celle de la première moitié. L'ordonnée du milieu de la pièce ou la flèche de courbure, est
et en comparant ce résultat à celui du n° 87, on voit que cette flèche de courbure est quatre fois moindre lorsque les extrémités sont encastrées que lorsqu'elles sont posées sur des appuis.
374. En supposant toujours le poids n ou 2P placé au milieu de l'intervalle ÀM % la courbure est le plus grande possible aux deux extrémités et au milieu de la pièce, qui tend à se rompre en même temps en ces trois points, l'équilibre relatif à la rupture est exprimé par l'équation
en sorte que la pièce peut supporter un poids deux fois plus grand que celui qu'elle supporterait si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis [i].
[i] Ce résultat est généralement admis, bien qu'on Tait établi d'une autre manière; mais U a été contredit par M. Barlow, qui, dans son Essay on the strength and stress oftimber, p. 139, substitue la raison de S à 2 à celle de 2 à 1. La proposition sur laquelle M. Barlow fonde son raisonnement, et qui est énoncée page 115 du même ouvrage, est inexacte et contraire à l'expérience. On peut remarquer qu'il est difficile, dans les expériences, de réaliser l'hypothèse de l'encastrement aux deux extrémités. Il faut, pour que l'on y parvienne, que la pièce soit prolongée de chaque côté sur une assez grande longueur. Les expressions de II' et II" indiquent effectivement que les efforts exercés sur les points fixes tendent à devenir infinis quand la longueur sur laquelle la pièce est prolongée devient onUe. On peut voir sur ce sujet les expériences rapportées dans le Traité du mouvement des ;. Œuvres de Mariotte, tome II, page 406.
575. Quand une verge rigide chargée de poids est soutenue sur un nombre de points d'appui plus grand que 2, les efforts que chacun de ces points d'sppui doit supporier sont indéterminés entre certaines limites. Ces limites peovent toujours être fixées par les principes de la slatique. Mais, si l'on suppose la verge élastique, l'indétermination cesse entièrement. On considérera seulement ici une des questions de ce genre le plus simples qui puissent être proposées.
On supposerais pièce MM' (Fig. 50) posée horizontalement sur trois pornts d'appui , placés , l'un au milieu A de la longueur de cette pièce , et les dm autres aux extrémités M, M'. Chaque moitié de la pièce est chargée au milieu N , H', d'un poids n, n'. Il s'agit de déterminer la ligure alfectée par la pièce, et les efforts exercés sur chaque point d'appui. On nommera
a la moitié AM ou AM' de la longueur de la pièce ;
p, q, g' les efforts exercés en A, M, M';
u l'angle que fait avec l'axe \x la tangente à la courbe au point A ;
■ et p auront les significations indiquées n° 559.
Les principes de la statique exigeant 1* que la somme des poids n, ff égale à la somme des efforts exercés sur les points d'appui ; 2" que la somn» des moments des forces, pris par rapport à un point quelconque, |>T exemple au point A, soit nulle ; on a d'abord les deux équations
données par les équations précédentes ,
= — glas J-4-n — Ht tang. ».
dx
fax* x*\ /a7 \ a5
i/ = - g [ 1 -f- [ H — -f- «lang. tù 1 s — n — .
m équations qiii conviendraient aux parties AN' et N'M' de la pièce se dépolit des précédentes , en y écrivant n' au lieu de n, cf au lieu de q, et ■géant le signe de tang. <». En remarquant ensuite que les équations «tenant aux parties NM et N'M' doivent donner y =0 quand on supè x=a, on aura les deux équations
0 = — q h II h • lang. «,
rt* 5 a2
0 = — q' h IT • lang. «.
77. Au moyen de ces équations , et de celles du n° 575, on trouvera
lang. w =
22 II -f- 22 H'
13 n — 3 ir
'on connaîtra la figure de la pièce en substituant ces valeurs dans leséquau précédentes. On voit que le point d'appui A supporte seul les \ à trèsi près de la somme des poids dont la pièce est chargée. Les efforts exercés * les points d'appui sont indépendants de •, en sorte qu'ils demeurent les ■es pour des pièces plus ou moins flexibles.
178. La pièce tend nécessairement à se rompre dans l'un des points A. N If. On a au point A
• — =n qa = I 5 II + 3 H' — ;
dx* 2 V /&*
poBàR
• = - g - = — 13 II - 3 II' I -:
dx* 2 V J 64
et au point N'
LEÇONS SDR L'APPLICATION
