LA. FLEXION
Kilogrammes.
Le résultat général de ces observations est qu'en calculant les valeurs des charges qui causent la flexion d'après la formule Q= ^ — (dans laquelle on
mettrait à la place de *, E— pour une pièce rectangulaire, etE — pour une
pièce cylindrique, en faisant E= 20 000 000 000k ), on trouve des valeurs plus petites que celles qui ont été données par l'expérience, dans le rapport de 7 à 8 environ [9]. L'auteur attribue en partie cette différence au frottement du levier employé pour transmettre la pression.
[t] Estai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 96. [s] Idem y page 94.
t «MISTAUCS UKS Pïêcrs M F» roitiir, PlIMtra DABI u m ■ LA LOftSUIll.
401. On peut voir sur ce sujet les expériences «le M. G. Remue, rapportée» ci-dessus n" 19.
D'après d'autres expériences de M. Reynolds m, faites sur de la fonte trèsdouce, deux barres d'un pouce anglais quarré et de 3 pieds de longueur, ayant une extrémité posée sur une barre horizontale, avec laquelle elles formaient un angle de 45", et s'appuyant Tune contre l'autre par les extrémité] supérieures, ont supporté sur ces extrémités une charge de 15680 livres avoir-du-poids, produisant dans le sens de chaque barre un effort de 11087 litres. '
Dans un autre essai, deux barres semblables, mais posées de manière à former avec la barre horizontale des angles de 22° i, ont supporté sur les extrémités supérieures une charge de 8960 livres, produisant dans le sens de chaque barre un effort de 1 1709 livres.
BEKAIQCES SI
E DES RÉSULTATS PKÉT.ÉDÏITS OATS LES APPLICATIONS.
402. Les résultats exposés dans les n" 585 et suivants supposent essentiellement la force représentée par Q dirigée dans le sens de l'axe de la pièce, ou du moins dans le plan vertical passant par cet axe, perpendiculairement auquel la flexion s'opère. Dans la réalité, lorsqu'une pièce est chargée verticalement, le poids est ordinairement réparti sur toute l'étendue de la seclion transversale. Il Faudrait donc, pour que l'expérience s'accordât exactement avec ces résultats, que les pièces fussent terminées aux extrémités par une pointe ou par une arrête
fléchissent indifféremment dans le sens de la diagonale on des côtés. Les pièces à base rectangulaire même , à moins que les deux côtés de la section ne soient très-différents, ne fléchissent pas toujours exactement dans le sens du pins petit côté, la direction de la flexion étant ordinairement déterminée par quelque défaut d'homogénéité dans la pièce, ou par la manière dont la pression s'exerce aux extrémités.
Ces remarques indiquent par quelles raisons les expériences connues ne donnent pas toujours, pour le poids qui peut faire fléchir une pièce à base rectangulaire chargée verticalement, une valeur conforme à celle que l'on
calculerait par la formule Q = ** — , en supposant que la flexion ait lieu dans
le sens du petit côté de la section transversale. Mais, lorsqu'on prend les précautions convenables pour accorder les circonstances de l'expérience avec les hypothèses sur lesquelles les formules sont fondées, le résultat est alors représenté exactement par cette formule.
403. A l'égard de la charge qu'on peut faire supporter aux pièces comprimées dans le sens de leur longueur, on remarquera en premier lieu que la pièce cédera nécessairement sous une charge Q donnée par l'expression
qui, pour le cas d'une section rectangulaire, devient
Mais cette expression augmente rapidement à mesure que la longueur a de la pièce diminue. En général les pièces employées de cette manière dans les constructions sonMrop courtes, eu égard à leur grosseur, pour présenter le genre de flexion auquel s'appliquent les résultats des n°' 583 et suivants. En supposant E=l 000 000 000" pour le bois de chêne, E= 20 000 000 000k pour le fer forgé; et comparant les valeurs données par cette formule avec les résultats rapportés d'après M. Rondelet dans les n0- 597 et 399, on trouvera que la formule précédente donne des valeurs plus grandes que ces résultats lorsque l'épaisseur c de la pièce surpasse le ,V environ de la longueur a. Par conséquent, pour les pièces dont la longueur n'est pas égale à 20 fois l'épaisseur, c'est-à-dire dans la plupart des cas qui se présentent dans les constructions, la résistance ne doit pas être déterminée d'après la formule précédente, mais par la considération du poids qui pourrait écraser la pièce. Le poids qui doit écraser ou comprimer une pièce dont la longueur est égale
à une ou deux fois l'épaisseur, peut être estimé, pour ■ quarré de la section transversale, à
5 kU- pour le bois de chêne et de sapin , 40 fer forgé,
100 fer fondu. |
On conclut des expériences rapportées ci-dessus : 1° Que pour les bob l'évaluation précédente doit être réduite aux | lorsque la longueur de la pièce est égale à 12 fois l'épaisseur , et à moitié quand cette longueur est égale i 24 fois l'épaisseur;
2° Que pour le fer forgé l'évaluation précédente doit être réduite aux? quand la longueur est égale à 12 fois l'épaisseur, et à moitié quand la longueur est égale à 24 fois l'épaisseur;
5° Que pour le fer fondu l'évaluation précédente doit être réduite aux ; i peu prés , quand la longueur est égale à 4 fois l'épaisseur , à moitié environ quand la longueur est égale à 8 fois l'épaisseur, et au Vi lorsque la longueur est égale à 36 fois l'épaisseur.
Les expériences connues ne donnent pas les moyens d'évaluer avec exactitude la résistance dans les cas intermédiaires différents de ceux que l'on vient de spécifier.
404. Quant aux pièces dont la longueur surpasserait 20 fois environ l'épaisseur, on peut en évaluer la résistance par les formules des n" 386 et suivants, avec la certitude que cette évaluation ne dépassera pas les résultats donnés par les expériences.
405. Lorsque dans les applications on aura évalué, conformément anx deux n" précédents, la résistance qu'une pièce comprimée verticalement peut présenter . on devra .. pour en roiiflurt* le plus j;raml poids dont celle pièce
tion du poids comprime la pièce verticale dans le sens MA, et tend à la foire \ plier et rompre. On nommera
a la distance AB; / la distance MC;
* l'aire de la section transversale de la pièce;
&, y l'abscisse A />, et l'ordonnée mp d'un point quelconque m de la courbe
affectée par la pièce ; f l'ordonnée M B du point extrême.
• aura la signification indiquée n° 80.
L'équation d'équilibre sera
d*y . — = II(/-4- /"-/);
dy et l'intégrale de cette équation ( qui doit donner y = 0 et — =0 quand x= 0 ),
dx
-C08*Vt}
On doit avoir y =/* quand x = a ; donc
= co». a \ / — ,
d'où
co». o\/ —
et
arc
V i+rJ
L'équation de la courbe est
cos.o
On doit mettre dans l'expression de nie plus petit des arcs dont le cosinus est /
égal à , à moins qu'il n'y ait certains points de la pièce AB maintenus
fixes. La flèche de courbure produite par un poids donné est proportionnelle» la distance MC. Le poids capable de faire prendre à la pièce dbc Flèche de courbure donnée , est réciproque au quarré de la longueur de cette pièce.
407. La question précédente diffère de celles qui ont été traitées dans les n™ 383 et suivants, en ce que l'on obtient ici une relation entre le poids n dont la pièce est chargée, et la flèche de courbure /"produite par l'actioD de ce poids; ce qui permet de déterminer, conformément à ce qui a été dit n" 387 , la limite des efforts auxquels on peut exposer la pièce dans une construction.
E ayant la signification indiquée n" 77, on aura — pour la compression
Eu
des fibres résultant de l'action de n. Désignant de plus , comme au n* 113, par v' la distance à l'axe d'équilibre de la fibre extrême qui subit la plus grande compression, la plus grande compression des fibres résultant de h flexion de la pièce sera exprimée pour un point quelconque, comme on le
«Pjvoit d'après le n" 77, par v' — , quantité dont la plus grande valeur , qui a lien
au point A. est -
E'IW
. Le plus grand accourcissement des fibres est
! 408. Si la section transversale de la pièce est un rectangle dont b soit la
\ largeur et c la hauteur, on a •»= bc, t=E — , t/= — . L'équation précédente
*■ «crient
[ bc*
l La fraction sera ordinairement fort petite , et par conséquent cette
\ Ebc*
équation différera très-peu de
R' = — (c-4-ô/), d'où n = ,
bc2 c-4-6/
409. On supposera maintenant que l'extrémité supérieure de la pièce est fixée et encastrée (Fig. 59), et que le poids n fait supporter à cette pièce une tension longitudinale, en même temps qu'il la fait plier. Dans ce cas , en conservant les dénominations du n° 406 , l'équation d'équilibre sera
dx*
et supposant pour abréger — = r3, on aura pour l'intégrale
e représentant la base des logarithmes hyperboliques, A et B deux constantes
arbitraires.
dy Cette équation devant au point A donner #= 0, y = 0, — = 0 ; et au point
dx
M, x = a, y=f, on a
0 = A — B / = Ae ra -f- Be -ra;
cToù l'on déduit
e ra-f- g — r«
L'équation de la courbe est
410. On obtient ici, comme dans le cas «recèdent, une relation ent poids n et la flèche de courbure /"que ce poids rail prendre à la pièce. 1 plus grand poids n dont la pièce puisse être chargée se déterminera d également par la condition de ne pas faire supporter aux fibres une l qui dépasse une limite donnée. En conservant les dénominations du n* | n twi
on aura — pour l'extension des fibres résullant de l'action de n, et -
Eu
la plus grande extension des libres provenant de la courbure de la pieu, qui a lieu au point M où cette pièce tend à se rompre. Par conséquent , si l'on veut que la plus grande tension ne dépasse pas R', on posera l'équation
d'où l'on déduira la valeur de n.
411. Si la section transversale de la pièce est un rectangle dont b soit u Kfic* c
largeur et c la hauteur, on a » = 6 c, ■ = , v' -. L'équation précédente
devient
. dou n = Rp ■
d'équilibre sera
• — = P(a-*)-4-ô(/,-rh
tont pour abréger p* = — , g* = —, on aura pour l'intégrale de cette
fou
f— 7 = A sin. ^f(i + B) (a — *),
B étant deux constantes arbitraires.
dX a au point A , œ = 0, y = 0, — = 0 ; et au point M , # = a, y =/; ce
Mine les trois conditions
f = A sin. ^B ,
P2 0 = q A Cos. gBH ,
tf2 0 = sin.£ (a -f- B).
i déduit
sin. q B = sin. 4 a, cos. ç B = — cos. q a ,
q* cos.q a P2
f = — ( tang. ^ a — ^ a).
près les valeurs précédentes, l'équation de la courbe sera
p1 /sin. q a — sin. q (a — x) j,=- q x
g3 \ cos. q a
cession de /donnera la valeur de la flèche de courbure en fonction des sP, Q. Cette flèche devant demeurer très-petite, il est nécessaire que . qa — qa soit une très-petite quantité. Donc, 0, ni, H2, us, etc., ; k suite des arcs dont la longueur est respectivement égale à celle de tangente , on ne peut attribuer à la composante Q que des valeurs qui sur-
9Bt peu les nombres , , , etc. En adoptant la première de
■leurs, la pièce se courbera de la manière indiquée fig. 60. Les valeurs ■les Répondent à des courbes offrant un nombre de points d'inflexion O* en plus grand, et dont l'existence supposerait que certains points de sorbes ont été maintenus fixement dans la ligne AB. Si tous les points dans l'intervalle AB, les poids n que la pièce pourra supporter
y/i«>it
sont donc assujettis à la condition que le nombre a
0 et y.', et que la valeur précédente de/* soit fort petite. Cette valeur de, diqtiera le déplacement du point M causé par l'action du poids II.
413. La limite des poids dont la pièce peut être chargée se détermh de la même manière que pour la pièce considérée n° 406. <• et v' ayant k
mêmes significations qu'au n* 407, ou aura — pour raccourcissement
fibres résultant de l'action de la force Q dirigée parallèlement à l'axe i
dfr pièce; et»' — pour raccourcissement des fibres placées à la face cou
produit par la flexion. La plus grande valeur de cette dernière quantité,
a lieu au point A , étant ici v' — tang. q a, le plus grand accourcissen
q total des fibres est
rf P lang. a \ / — 0 V ■
Par conséquent, si l'on ne veut pas que le plus grand effort exercé \ comprimer les libres, rapporté à l'unité de surface, surpasse R', on po: l'équation
t DE LA MÉCANIQUE, H PARTIE. 211
j£ 12. II cos. a
Ç La quantité sera le plus souvent tort petite, et par conséquent
cette équation différera très-peu de
R' = — [ c cos. a -4- C a tin. a
qui donne
Wbc*
ccot. «-f-6asin.«
Les valeurs qu'il convient d'attribuer à R' pour les divers matériaux, ont été indiquées nM 181 et suivants.
415. On suppose maintenant la pièce AM (Fig. 61) fixée et encastrée à l'extrémité supérieure A, et chargée à l'extrémité inférieure, de manière que le poids H tend à l'étendre et non à la contracter. En conservant les dé- £ nominations du n° 412 , on aura ici pour l'équation d'équilibre
• — .=V(a-x)-Q(f-y), f <lx*
