FLUIDES

646. La pression des fluides s exerce perpendiculaire* ment à la surface des parois des vases. Dans le cas d'un fluide élastique, la grandeur de cette force peut être s*p-

luron

4^6 LEÇONS SUR LAPPLICATION

posée constante dans toute l'étendue delà paroi. Dans le cas d'un liquide soumis à Faction de la pesanteur, les parties inférieures sont plus fortement pressées que les autres, et il est souvent nécessaire d'avoir égard à celte différence.

647. Les parois des vases sont généralement formées par des substances solides. Ce sont des corps qui peuvent résister aux changemensde figure auxquels ils se trouveraient sollicités par l'effet de la pression des fluides, mais qui cèdent un peu à cette pression , en raison de l'extensibilité ou de la compressibilité de leurs parties. Il y a quelquefois un tel rapport entre la figure de la paroi et la grandeur des pressions normales exercées dans ses diverses parties , que cette paroi ne tend pas, à proprement parler, à changer de figure, mais est seulement sollicitée à s'étendre ou à se comprimer dans le sens de la surface. On désignera ce cas en disant que la paroi est tracée suivant la surface d* équilibre. Quand il a lieu la paroi peut être formée d'une substance parfaitement flexible , telle que léserait un tissu de fils dont les parties seraient capables de résister à la compression ou à l'extension , mais ne résisteraient pas à la flexion. L'équilibre est stable si toutes les parties de la surface sont étendues , et la seule chose qu'il importe de connaître est la grandeur de la tension qu'elles supportent.

On ne peut présenter ici d'une manière complète et générale la recherche des effets qui se manifestent dans une paroi pressée par un fluide , mais les notions que l'on exposera suffiront dans la plupart des applications. On considérera successivement une ligne et une surface, sollicitées par des forces qui sont dirigées suivant des lignes normales à cette ligne ou à cette surface.

DE LA MÉCANIQUE , l r# . PARTIE. fyl^

De l 'équilibre dune ligne sollicitée par des forces perpendiculaires à sa direction.

648. Les conditions de l'équilibre d'une ligne considérée comme un fil parfaitement flexible, à tous les points duquel sont appliquées des forces normales, peuvent être déduites de ce qu'on a vu dans les n°" 3o6 et 428. On peut également les trouver directement comme il suit.

Considérons d'abord une courbe MM' (fig. 147) tracée sur un plan , dans lequel sont dirigées les forces appliquées normalement à cette courbe. On pêut la regarder comme un polygone d'un nombre infini de côtés, et supposer les forces appliquées aux sommets du polygone. Nommons

ds la longueur d'un élément mn de l'arc de la courbe ,

ou d'un côté du polygone; p la longueur du rayon de courbure au point m; Fia valeur de la force normale appliquée au point M,

pour une unité de longueur mesurée sur l'arc de la

courbe ;

T la force avec laquelle le côté mn du polygone est tendu.

L'équilibre du polygone exige que la force appliquée à chaque sommet m soit détruite par les tensions des élémens mn, mn', La force appliquée en m est Fds , et la direction de cette force partage en deux parties égales l'angle nmn'. Donc i° la tension du côté mn' doit être égale à la tension T du côté mn ,• et 3° le rapport de T à Fds est celui du sinus de l'angle fmn ou fmri, qui differe in fini ment peu d'un angle droit, au sinus del'angle infiniment petit compris entre mn et mn' dont la valeur est

— . U suit de là i a que la valeur de la tension T doit

être la môme pour tous les côtés du polygone , ou que te.

fil est également tendu dans toutes ses parties; a 9 que

l'on doit avoir en chaque point de la courbe

Fds ds „ T ou F= - .

T P P La pression normale est en chaque point égale à la tension divisée par le rayon de courbure. Si le fil ne forme pas une courbe fermée, il faut que les derniers élémens MN, M'N' soient tirés dans le sens de leur longueur avec des forces égales à la tension T.

649. Considérons présentement une courbe à double courbure , sur laquelle agissent également des forces<normales. On peut la regarder comme un polygone dont les côtés sont infiniment petits, et dans lequel trois côtés consécutifs ne sont pas compris dans un même plan. Les forces, appliquées à chaque sommet du polygone, doivent être dirigées suivant le rayon du cercle osculateur. Tout ce qui a été dit dans le n° précédent s'applique à ce système : il faut pour l'équilibre du fil qu'il soit également tendu dans toutes ses parties, et c'est ce qui aura lieu si la force normale appliquée à chaque point est égale à la

tension divisée par le rayon de courbure (a).

(a) On conçoit nettement l'existence de l'équilibre dans un fil formant une courbe à double^purbure, «n se rappelant que, d'après un théorème démontré pu* Lancret ( Mémoires présentés à la première classe de l'Institut , tome I , p. 420 ) , on peut toujours faire passer par une courbe quelconque une surface développable telle que, cette surface étant développée, la courbe donnée y tracerait une ligne droite. Cette surface, nommée surface rectifiante , est formée par les intersections successives des plans qui , touchant la courbe , sont perpendiculaires aux rayons des cercles osculatours de cette courbe. 11 suit de là qu'il existe toujours.

DE LA MÉCANIQUE, l r *. PARTIE. 4 a 9

65o. Lorsque des forces sont appliquées perpendiculairement à une verge courbe solide , et qui ne cède à Faction de ces forces que par un changement de figure trèspetit dû à l'élasticité , il n'eet pas nécessaire, pour que l'équilibre subsiste, que les conditions énoncées ci-dessus soient satisfaites. La tension exercée dans le sens delà longueur de la courbe peut varier d'un point à l'autre. Quant à la manière de connaître la tension longitudinale qui a lieu dans un point quelconque, on remarquera qu'une verge sollicitée par des forces normales ne peut , en général , demeurer en équilibre , à moins que ces forces ne se détruisent réciproquement, ou à moins que la verge ne soit maintenue par deux points fixes, si elle forme une courbe plane , ou par trois points fixes » si elle forme une courbe à double courbure. Les efforts exercés sur les points fixes seront déterminés par la condition qu'étant composés avec les forces appliquées normalement à tous les points de la courbe, il en résulte un système que l'on puisse réduire à deux forces égales et directement oppo- # sées. La tension des diverses parties de la verge est produite à la fois par les forces normales appliquées à tous les' points, et par les forces particulières, appliquées à des points déterminés, et nécessaires pour établir l'équilibre*

Cela posé, si dans une verge courbe MM' (6g. ifô) sollicitée de la manière qui vient d'être indiquée, et qui forme une courbe non fermée, on veut connaître la ten-

une surface , perpendiculaire ami rayons de courbure de la coui*be donnée , sur laquelle cette courbe eu une li^ne de plus courte distance. Donc le fil pourra être regarde comme étant tendu §ur la surface d'un corps solide fixe , où il demeure en équilibre , et où il exerce en chaque point une pression normale.

43o LEÇONS SUR L APPLICATION

sion longitudinale supportée par l'élément mn , on remarquera que cette tension résulte de ce que les forces appliquées aux deux parties m M , m M' de la courbe se détruisent réciproquement au moyen de la liaison que l'élément mn établit entre ces deux parties. Par conséquent , si Ion décompose, parallèlement à la tangente de la courbe au point m , toutes les forces appliquées à la partie mM , ou bien toutes les forces appliquées à la partie mM', la somme des composantes ainsi obtenues sera la tension cherchée.

65 1. Considérons présentement une courbe fermée plane MN (fig. i49)> sollicitée par des forces normales dirigées dans le plan de cette courbe , et supposons que Ton demande la tension supportée par l'élément mn. Si l'on décompose toutes les forces appliquées à la courbe parallèlement à la direction de la tangente au point m, on remarquera que les points m, m' dans lesquels la direction de la tangente est la même, partagent la courbe en deux parties , dans chacune desquelles les forces normales produisent des composantes dirigées dans des sens opposés. Si Ton prend les résultantes des composantes parallèles à mn fournies respectivement par les forces agissant dans les parties mMm' et mNm', on obtiendra deux forces égales entre elles et directement opposées. La destruction de ces forces produit la tension des deux élémensmn, m! ri : on connaîtra donc ces deux tensions en décomposant Tune des résultantes dont on vient de parler en deux forces dirigées respectivement suivant mn et m' ri.

652. Admettons que la figure de la verge MN soit à double courbure , et supposons également que toutes les forces appliquées à la courbe aient été décomposées parallèlement à la tangente menée au point m. Si l'on conçoit la courbe proposée enveloppée par un cylindre dont les

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 43 1

arêtes soient parallèles à cette tangente, il y aura un point m! pour lequel le plan tangent à ce cylindre sera parallèle au plan tangent mené par le point m. Les deux points m , m' partageront comme ci-dessus la courbe en deux parties , dans chacune desquelles les forces normales produiront des composantes parallèles à mn dirigées en sens opposés. Si Ton prend respectivement les résultantes des composantes fournies par chaque partie de la courbe , on touvera deux forces égales et directement opposées, dont la destruction réciproque produit les tensions des élémens mn, rrin'. Par conséquent, si Ton décompose Tune de ces forces en deux autres, qui lui soient parallèles, et qui soient dirigées dans les deux plans tangens menés aux points m , m', celle de ces composantes qui serait dirigée dans le plan tangent au point m donnera la tension supportée par l'élément mn. ,

De f équilibre (tune surface sollicitée par des forces qui sont dirigées perpendiculairement à cette surface.

653. Les conditions de l'équilibre d'une surface suppoposée parfaitement flexible , sollicitée par des forces normales , peuvent être établies au moyen des considérations suivantes.

Soit la ligne MN ( Fig. i5o) formant le contour d'une surface, et représentons- nous le solide que cette surface recouvre , et que nous supposerons fixe. Ayant marqué deux points quelconques M , IN qui partagent cette ligne en deux portions MpN, M^rN, on peut diviser chacune de ces deux portions en un même nombre de parties trèspetites, égales entre elles dans chacune des portions. On peut ensuite du point M au point N , et de chacun des points de division p de la première partie à chacun des

LEÇONS SUR h APPLICATION

points de division correspondans q de la seconde partie, tendre des fils qui s'appliqueront sur le solide en suivant la ligne de plus courte distance pmq tracée sur sa surface entre leurs extrémités p, q.

L'ensemble de ces fils , en les supposant infiniment rapprochés, formera nne surface; et si, aux deux extrémités de chaque fil pmq, on applique dans la direction des élémens extrêmes des forces égales T, ce fil , en vertu de la tension T, pressera le corps sur lequel il est appliqué suivant une direction normale à la surface. La valeur de la

pression exercée au point m sera - , en désignant par p

le rayon de courbure de la courbe du fil au point m. Si Von conçoit maintenant le corps supprimé , et que l'on ait ap-

pliqué à tous les points m des forces normales égales à - ,

l'équilibre subsistera. On remarquera qu'il n'est pas nécessaire que les forces T aient des valeurs égales pour tous les fils ; il suffit que la tension soit constante dans rét,endue de chaque fil.

Si maintenant on place autrement les points M, N sur la courbe , on pourra former de la même manière un second système de lignes de plus courte distance, et tendre de nouveaux fils qui croiseront les premiers. Si un nouveau fil passant par le point m est tendu par la Torce T, il pro-

duira en ce point une pression normale égale à — } p' représentant le rayon de courbure de la courbe du nouveau fil au point m , et cette pression s'ajoutera à celle qui est produite par le premier fil. Par conséquent , le corps étant supprimé, on maintiendra maintenant l'équilibre en ap-

pliquant au point m une force normale égale à — h —

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE.

En continuant ainsi , on voit que l'on peut tendre sur le corps un nombre indéfini de fils appartenant à divers systèmes de ligues de plus courte distance. La seule condition nécessaire pour l'équilibre est que la tension de chaque fil soit la même dans tous ses points. Si Ton nomme T,T,T", etc ^ j estens j ons respectives des fils qui secroisent

au point quelconque m, et p, p', p", etc. , les rayons de

courbure des courbes de ces fils au point m, la pression

normale exercée en ce point sera — ^ — 7 ^f- -f- etc. Il est

évident d'ailleurs qu'à chaque point p du contour de la surface doiveut être appliquées, dans la direction des divers fils qui partent de ce point , autant de forces respectivement égales aux tensions de ces fils. Toutes ces forces sont dirigées dans le plan tangent à la surface au point p.

Si la surface proposée n'était pas terminée par un contour, et formait une enveloppe fermée , ce qui précède lui pourrait être appliqué, en considérant que l'équilibre est établi dans des fils tendus sur cette surface , et formant un ou plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance. Chaque fil formerait une courbe fermée, la tension serait constante dans toute sa longueur, et la force normale résultant en chaque point du fil de sa tension, serait égale à cette tension divisée par le rayon de courbure de la courbe du fil. La pression normale supportée par le corps en un point quelconque serait la somme des pressions normales produites par les tensions de tous les fils qui se croiseraient en ce point.

65/{. Il résuite de ce qui précède que , pour qu'une surface flexible sollicitée par des forces normales soit en équilibre, il suffit que l'on puisse décomposer cette surface, au moyen d'un ou de plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance, en bandes infiniment étroites regardées

/{34 LKÇONS SUR INAPPLICATION

comme des iils, et que les forces normales appliquées à chaque point intérieur , aussi bien que les forces tangentielles appliquées à chaque point du contour de la surface, étant réparties entre les divers fils, chacun deux soit en équilibre. Une surface quelconque parfaitement flexible étant donnée, il y a une infinité de systèmes de forces, appliquées perpendiculairement aux points intérieurs et tangentiellement aux points du contour, qui peuvent être en équilibre au moyen de cette surface.

655. Considérons une surface parfaitement flexible, maintenue par un contour fixe, et sollicitée par des forces normales telles que la surface est en équilibre et ne tend pas à changer de figure. On peut demander comment l'équilibre est établi , quelle tension la surface supporte en chaque point suivant une direction déterminée, et quels sont les efforts exercés sur chaque point du contour fixe. Cette question ne peut, en général , être résolue, tant que Ton regarde les élémens de la surface comme inextensibles, parce que l'équilibre peut être établi d'une infinité de manières. Mais si l'on suppose les élémens de la surface extensibles, la question est déterminée.

Du cas oit une surface sollicitée par des forces normale* est également tendue dans tous les sens.

656. Soit une surface parfaitement flexible et inextensible sollicitée par des forces normales , et supposons l'équilibre établi entre ces forces et les efforts de tension qui ont lieu dans le sens de la surface. Admettons que l'on ait tracé sur la surface une ligne quelconque de plus courte distance , et considérons la portion de la surface formée par une bande dirigée suivant cette ligne , et ayant une largeur constante et très-petite : cette bande sera tendue sui-

DE LA MÉCANIQUE, I r# . PARTIE.

vant sa longueur avec une certaine force. Cela posé, on dit qu'une surface est également tendue dans tous les sens, i° si la tension de la bande est constante dans toutes les parties de sa longueur ; 2° si la valeur de cette tension est la même , quelle que soit la direction de la ligne de plus courte distance suivant laquelle la bande est tracée.

Soit X la largeur de la bande, qui doit être supposée infiniment petite, et 9 la valeur de sa tension longitudinale,

qui lésera également: le rapport ^—T représente la tension des parties de la surface rapportée à l'unité linéaire. La quantité finie T donne la mesure de la force avec laquelle la surface est tendue.

657. Soit MN (Fig. i5i) une portion du contour d'une surface également tendue dans tous les sens. Il est nécessaire, pour que l'équilibre soit maintenu, que des forces dirigées dans le plan tangent à la surface soient appliquées à chaque point du contour. On peut regarder ce contour comme étant composé de parties infiniment petites bc, dont la longueur est égale à X, et supposer queles forces distribuées sur l'intervalle bc sont appliquées au milieu a de cet intervalle. On peut également regarder la surface comme étant formée d'une infinité de fils oubandes infiniment étroites, dirigées suivant les rayons du demi-cercle décrit des points a avec le rayon ^X. Les forces tangentiellesappliquées à chaque point a devront faire équilibre aux tensions des bandes partant de ce point. Soi tmnqp deux des bandes dont il s'agit, dont les directions forment avec la normale ad

des angles c>>. La largeur pq de ces bandes sera -^da>, leur

tension T— do>, et la résultante des tensions des deux

bandes, T X deo. cos. «. La somme de toutes les résul-

tantes semblables, ou l'intégrale T X I du>. cos. w, dodt

la valeur est T X , est la force qui doit être appliquée au point a. Ainsi l'équilibre d'une surface également tendue dans tous les sens avec la force T, exige que des forces égales entre elles soient appliquées perpendiculairement au contour de la surface dans tous les points de ce contour, et que la valeur de ces forces, pour une unité de longueur, soit T.

658. Etant donnée la figure d'une surface considérée comme un tissu parfaitement flexible et inextensible , il existe toujours un système de forces appliquées normalement à tous les points intérieurs, par l'effet duquel la surface serait maintenue en équilibre, et également tendue dans tous les sens. Soit M ( fig. i5a ) un des points de la surface, et supposons que l'on ait décrit de ce point comme centre, et d'un rayon infiniment petit ,

égal a ~ , un cercle. Considérons une des bandes infiniment étroites mnpq , tracées suivant les directions des lignes de plus courte distance qui se croisent au point M. Désignons par r le rayon de courbure de la section normale de la surface, faite au point M dans la direction de l'axe de cette bande, et par o l'angle de cette section avec le rayon fixe AM. La largeur mn ou pq delà bande

sera — û?o>, et la force avec laquelle elle est tendue,

T^-^w. Ainsi regardant cette bande comme un fil

isolé, on la maintiendrait en équilibre en appliquant an point M, perpendiculairement à la surface, une force dont la valeur, rapportée à l'unité de longueur, serait,

d'après les numéros 648 et 649 , T. rfw. - ; et pour Fin-

DE LA MÉCANIQUE, 1 PARTIE. fë*] ). I V I

lervalle mnpq , T.^-rfo). - .X; ou T. — c?w. Si Ton

considère également une autre bande mîrip'cf dirigée

perpendiculairement a la première, en désignant par /

le rayou de courbure de la section normale faite dans

la surface suivant la direction de la nouvelle bande , on

aura de même T. --.—do pour la valeur de la force

qui, étant appliquée sur l'intervalle m'rip'<f perpendiculairement à la surface , maintiendrait cette nouvelle bande en équilibre. Si Ton prend donc la somme des

quantités T-^+^cfw dans une étendue égale

au > de la circonférence a compter du point A, ou aura la somme des forces qui , étant appliquées normalement à la surface, dans l'étendue du cercle décrit du point M, font équilibre à la tension de toutes les bandes qui se croisent en ce point. Or on sait que la valeur de la quantité

~jT^~j est indépendante de l'angle oa, et qu'en nommant p , p les deux rayons de courbure principaux de la surface pour le point M, cette valeur est ~~~r*r • Donc l'intégrale cherchée est T — (— +4- ) • La surface du cercle décrit du point M avec le rayon - étant d'ailleurs — , on voit donc que l'expression

représente la valeur de la force normale qui doit être appliquée au point M (cette valeur étant rapportée à l'unité de surface), pour que la surface proposée soit également tendue dans tous les sens avec la force T (a).

{a) II est aisé de voir que ion parviendrait au même résultat , en considérant toute autre figure dont le point M serait le centre.

438 LBÇONS SUR INAPPLICATION

659. Si les deux rayons de courbure étaient égaux et de même signe , propriété qui appartient à la sphère , la

force dont il s'agit serait 2JL . On voit par-là que la

même pression normale qui pourrait produire une tension T dans le sens des élémens circulaires d'une surface cylindrique , produirait dans tous les sens une tension ~Y dans une surface sphérique de même diamètre.

Applications à des vases de diverses figures.

660. Nous considérerons eu premier lieu des vases contenant uu fluide qui exerce du dedans au dehors une pression , et dont les parois sont planes. Ces parois sont généralement tendues dans la direction de la surface, en même temps quelles supportent une pression normale. Le cas le plus simple est celui d'un tuyau recti ligne dont les parois sont formées par des plans parallèles à l'axe de ce tuyau ; par exemple le tuyau rectangulaire AH (fig. i53) , que Von suppose ouvert par les deux bouts. Les parois ne sont point tendues dans le sens de la longueur du tuyau, mais dans le sens de sa largeur seulement. Considérant une partie ma* de ce tuyau, on peut regarder les portions mnrirri et pqq r p' des faces inférieure et supérieure, comme étant tendues respectivement, parallalèlement aux côtés mm', pp' , par l'effet des pressions opposées qui s'exercent sur les portions mnqp, rririq'p' des faces latérales, avec une force égale à la moitié de la pression exercée sur chacune de ces dernières portions. De la même manière , chacune des portions mq, m'a* sera tendue parallèlement à mp , m'p' avec une force égale à la moitié de la pression exercée dans 1 étendue mn' ou pq'. L'une quelconque des portions de paroi dont il s'agit, telle que mnqp, peut donc être

DE LA MÉCANIQUE, 1 r *. PARTIE. 4^9

regardée comme une pièce qui est à la fois tendue suivant sa longueur, pressée par des forces normales distribuées uniformément sur cette longueur, et supportée sur ses deux extrémités. On peut lui appliquer l'analyse du n° 592, et régler la force de la paroi d'après l'équation du n°593. a désignera la moitié de la longueur mp ; Q , la moitié de la pression normale exercée sur mri ou pcf ; jD,la valeur de la pression normale exercée sur mnqp pour une unité linéaire mesurée sur la longueur mp.

661. Si le tuyau était fermé par les deux bouts, ou par un bout seulement, ce qui précède ne pourrait plus être rigoureusement appliqué. Mais en procédant comme il vient d'être dit, on connaîtrait une limite d'après laquelle on serait assuré de donner à chaque paroi une force plus que suffisante. Considérons, par exemple , un vase quadrangulaire et vertical ÀBGH (fig. i54) , ouvert par la face supérieure, dont le fond repose sur un plan horizontal fixe, et qui est rempli d'un fluide pesant. Si le fond du vase n'existait pas, on pourrait appliquer à chaque élément transversal mq' ce qui a été dit dans le n° précédent, en faisant attention que la pression du fluide augmentant avec la profondeur, ces élémens ont à supporter des efforts d'autant plus grands qu'ils sont placés plus loin de la surface supérieure du fluide. Mais si le fond du vase existe, comme ce fond attache les unes aux autres les quatre parois latérales , il empêche qu'il ne s'établisse, dans le sens des longueurs mn des élémens, des tensions aussi grandes, et que ces élémens ne se courbent autant en cédant à la pression normale. Le résultat du calcul indiqué ci-dessus donnera donc , pour les parties des parois, des épaisseurs qui surpasseront d'autant plus les épaisseurs réellement nécessaires que ces ' parties seront plus voisines du fond du vase.

662. Si Je vase était entièrement fermé, le3 parois seraient teutlues suivant plusieurs directions. Si , par exemple, le vase rectangulaire AH (Fig. i54) est fermé par les deux bouts, et contient un iluide pressant du dedans au dehors , Tune quelconque A F des faces est tendue suivant deux directions parallèles aux arêtes AB et AE. Cette face peut être regardée comme appartenant à un tuyau rectangulaire dont Taxe est parallèle à AB, ou à un autre tuyau rectangulaire dont Taxe est parallèle à A F. Si Ton considère successivement ces deux tuyaux en les supposant ouverts parles deux bouts, et si l'on applique ce qui a été dit n° 660 , on obtiendra des résultats d'après lesquels la force de la paroi AF se trouverait nécessairement fixée au delà de ce qui est nécessaire. L'excès de force qui lui serait donné, si Tôt» adoptait ces résultats, serait d'autant plus grand que la longueur des tuyaux serait moindre par rapport aux dimensions transversales.

La recherche du véritable état d'équilibre des parois, dans des cas de ce genre, comporte une analyse particulière, qui ne peut être exposée ici.

663. Si les parois, au lieu d'être planes, étaient formées par des portions de surface cylindrique, on pourrait faire usage des notions précédentes, en appliquant les résultats présentés ci-dessus, article VI, sur la résistance des pièces courbes.

664. Considérons maintenant un vase dont la paroi est courbe, et en premier lieu un tuyau rectiligne ouvert par les deux bouts. Supposons que le fluide contenu dans ce tuyau exerce sur tous les points d'une môme section transversale des pressions égales, ou que l'on peut supposer égales sans erreur sensible, comme dans le cas où les gaz ou l'eau coulent dans des tuyaux d'un

petit diamètre. La paroi du tuyau n'est pas tendue dans le sens de sa longueur, mais seulement dans le sens des sections transversales. Uu élément transversal du tuyau peut être regardé comme une bande ou un fil sollicité par des forces normales dirigées dans son plan. Ces forces étant égales dans tous les points, le fil ne peut être en équilibre, à moins que le rayon de courbure n'ait aussi une valeur constante. Ainsi la paroi tendra à changer de figure, à moins que la section transversale du tuyau ne soit circulaire.

La section étant supposée circulaire , soit p la valeur de la pression normale produite par le fluide sur une unité de surface de la paroi, et considérons un élélemcnt transversal du tuyau, dont la longueur, mesurée sur Taie, soit égale à l'unité linéaire; p représentera égament la pression normale exercée sur une unité de longueur de la circonférence de cet élément. Par conséquent, nommant rie rayon du tuyau, on aura, d'après le n* 648 , pr pour la tension qui s'établira dans le sensde cette circonférence. Ainsi Ton dira que la surface du tuyau est tendue dans le sens des sections transversales avec la force pr. On voit que la tension résultant d'une même pression normale intérieure croit proportionnellement au rayon du tuyau.

Désignant par h l'épaisseur de la paroi, supposée constanteetbeaucouppluspetiteque le rayon r , et (comme au n° 181 ) par 11' la plus grande tension que l'on veut faire supporter aux fibres sur l'unité de surface: on pourra régler l'épaisseur de la paroi en posant l'équation

K'h=pr.

C)65. Si la section transversale du tuyau n'était pas circulaire, la paroi tendrait à changer de figure, et en changerait effectivement si elle était formée par un tissu

flexible. Si elle est formée par une substance solide, la figure ne changera pas totalement, mais sera légèrement modifiée par l'effet de l'élasticité de cette substance. La matière de la paroi est alors sollicitée de deux manières : i° par l'effet du changement de courbure, qui étend ou comprime les fibres près des faces extérieures ou intérieures; 2° par l'effet de la tension qui s'établit dans le sens des sections transversales, tension qui varie d'un point à l'autre de ces sections, et qui étend les fibres dans toute l'épaisseur de la paroi. La modification que supportent les parties par l'effet du changement de courbure est, dans la plupart des applications, peu considérable; elle peut être déterminée au moyen des principes exposés ci-dessus, article VI. Quant à l'effet de la tension causée par la pression du fluide, qu'il importe ordinairement le plus de considérer, soit MN (Fig. i55) la section transversale du tuyau , et supposons que l'on veuille connaître la tension supportée par cette section dans le point m. On mènera la tangente mp, et une autre tangente nq parallèle à la première. On remarquera ensuite, conformément au n° 65 1, que les pressions normales exercées par le fluide sur les portions de courbe mNn ou mN/i, décomposées parallèlement aux lignes mp, nq , équivalent aux pressions exercées sur la ligne pq, qui leur est perpendiculaire; d'où il suit que l'on aura la tension exercée en m , en prenant la moitié de la pression que le fluide exercerait sur pq. Ou voit que la tension des diverses parties de la paroi est proportionnelle à la distance des deux tangentes mp , nq.

666. Si le tuyau rectiligne dont il s'agit était fermé par un bout, la résistance du fond s'opposerait au changement de figure de la paroi et à l'extension des sec-

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 44^

tions transversales. Cette paroi serait donc sollicitée moins fortement, surtout dans la partie voisine du bout fermé. Il en serait de même, à plus forte raison, si le tuyau était fermé par les deux bouts. Mais dans ce dernier cas, en vertu de la pression du fluide contre les deux bases du tuyau, la paroi supporterait une tension dans le sens des arêtes de la surface cylindrique, en même temps qu'elle en supporterait une dans le sens des sections transversales. Si la section transversale du tuyau est circulaire , on a , en conservant les dénominations du n° 664, p.xr 2 pour la pression exercée sur les fonds opposés, et par conséquent

» ou -~ pour la force avec laquelle une portion

de la circonférence du tuyau égale à l'unité linéaire est tendue dans le sens des arêtes. Ainsi, la pression du fluide étant supposée uniforme dans toute l'étendue du tuyau, la tension qui a eu lieu dans le sens des arêtes est la moitié de celle qui a lieu dans le sens des sections transversales. Si la section transversale du tuyau n'était pas circulaire, la tension qui aurait lieu dans le sens des arêtes serait encore moindre par rapport à celle qui aurait lieu dans le sens des sections transversales.

667. Soit un vase cylindrique d'une longueur indéfinie, dont Taxe est horizontal , et qui contient un liquide pesant. M AN ( Fig. i56 ) représentant la section transversale de ce vase , et MN le niveau de la surface du fluide, la pression normale qui aura lieu en un point quelconque m de la section sera proportionnelle à la distance mp. Par conséquent si la paroi du vase est formée par un tissu flexible, la condition de l'équilibre, conformément au n° 648, sera que le rayon de courbure au point m soit

444 LEÇONS SUR LAPPLICATION

réciproque à la distance mp y ce qui détermine la nature de la courbe M AN. En rapprochant ce qui vient d'être dit des n°' 77 et 86 , on verra que la figure de cette courbe est celle qu'affecterait un ressort homogène , d'une largeur et d'une épaisseur uniforme, dont la figure naturelle est rectiligne, et qui serait tenu plié , ou moyen d'une corde attachée du point M au point N. La courbe est également tendue dans tous ses points, et on connaîtrait la tension en supposant que le poids du fluide contenu dans le tuyau est appliqué au point 0 , et décomposé suivant les directions des tangentes MO, NO, menées aux points extrêmes. 11 est évident que l'équilibre exige que les points M , N soient fixes , ou que la courbe y soit tirée par deux forces égales à sa tension , et dirigées dans le prolongement de ces tangentes.

668. Si la section transversale du cylindre horizontal n'a point la figure qui convient à Iequilibrr», et si la paroi est faite d'une matière solide , elle est légèrement fléchie par l'effet de la pression du fluide. L'état de flexion de cette paroi, aussi bien que la tension qui peut avoir lieu dans le sens de la section transversale, dépendent à la fois de la ligure de cette section , et de la manière dont le vase est supporté : on peut les déterminer par les principes exposés dans l'article VI de la présente section.

669. Si le même vase cylindrique était fermé aux deux extrémités, les parties voisines de ces extrémités seraient sollicitées avec moins de force dans le sens des sections transversales. La paroi serait de plus tendue parallèlement a Taxe. La valeur totale de cette tension serait évidemment égale à la pression exercée par le fluide sur chacune des bases du cylindre : mais on ne peut connaître exactement la manière dont cette tension est répartie sur les différentes arêtes de la surface cylindrique, à moins déconsidérer la

DE LA MÉCANIQUE, 1 r \ PARTIE. 44^

paroi courbe et les deux bases comme un seul corps élastique, et d'en déterminer complètement l'état d équilibre.

670. Lorsqu'un fluide est contenu dans un vase entièrement terme, et où la pression est égale dans toutes les parties, la paroi , si elle est flexible , ne peut se maintenir en équilibre, à moins que sa figure ne soit celle d'une sphère. Dans ce cas, conformément aux ii°' 648 et 659, nommant p la pression intérieure sur une aire égale à l'unité de surface, et r le rayon de la sphère, la paroi est tendue dans tous les sens avec la force ~ pr; en sorte que, si h est l'épaisseur de cette paroi, on devra, pour s'assurer que cette épaisseur est suffisante , vérifier l'équation

Kh=ipr.

II en serait de même si la paroi , formée d'une substance solide homogène , avait naturellement la figure sphérique. En effet la pression du fluide ne tendant point à changer cette figure, la paroi ne peut céder qu'en se dilatant, et elle doit être également tendue dans tous les sens.

671. Lorsque la figure du vase n'est point sphérique, la paroi doit nécessairement être formée d'une substance solide. La pression du fluide tend à en changer la figure, en même temps quelle lui fait subir une extension. La recherche de l'état d'équilibre de cette paroi, en général très-compliquée, comporte des considérations qui ne peuvent être exposées ici. Mais en laissant de côté cette recherche, on peut se proposer, dans les applications, de régler l'épaisseur de la paroi de manière que l'on soit assuré qu'elle résistera à l'action du fluide. Pour y parvenir, conformément aux principes énoncés ci-dessus n°' 653 et suivaus, on concevra que l'on a tracé sur la surface du vase une ligne de plus courte distance dans une direction quelconque, et une bande infiniment étroite d'une largeur uniforme

44^ LEÇONS SUR LAPPLICATION

dirigée suivant cette ligne. Regardant ensuite cette bande comme une verge élastique soumise en chaque point à des forces normales dont l'intensité dépendra de la pression du fluide, on pourra déterminer l'état de flexion et de tension de la bande dont il s'agit, d'après les principes de l'article VI cité ci-dessus, et en régler convenablement la force. Or il est évident que si une bande quelconque, ainsi séparée de la surface, présente une résistance suffisante , la paroi formée de la réunion de toutes les bandes présentera une résistante plus que su f fi sa n te, puisque leur adhésion mutuel le ne peut que s'opposer à ce qu'elles ne cèdent à l'action du fluide.

672. Par exemple, si la figure du vase est une surface de révolution , sur laquelle les méridiens sont des lignes de plus courte distance, on pourra considérer un de ces méridiens, la bande infiniment étroite dont il serait l'axe, et régler l'épaisseur de la paroi de manière que cette bande, supposée isolée, résiste à l'action du fluide. La paroi aura alors une résistance plus que suffisante. Si la surface de révolution était une sphère, la force de la paroi, ainsi déterminée, serait précisément double de ce qui serait nécessaire , ainsi qu'on le voit par les n 0 ' 648 et 65g.

Expériences sur la résistance des vases contenant un jluide qui exerce une pression sur les parois.

673. D'après une expérience de Mariotte (a), un cylindre en fer-blanc, ayant un pied de diamètre, et une longueur qui n'est pas indiquée, mais qui paraît avoir été de un à deux pieds, dont les deux bases étaient formées par des platines de cuivre avec lesquelles le ferfa) Traité du mouvement des eaux; Œuvres de Mariotte, tome II,

page 47 1 .

DE LA MÉCANIQUE , I f \ PARTIE. 447

blanc était soudé, a supporté sans se rompre la pression (Tune colonne d eau de yo pieds de hauteur. Il a rompu après quelque temps dans une soudure sous la pression d'une colonne d'eau de 100 pieds. L'épaisseur du ferblanc n'est pas indiquée; mais l'auteur établit un rapprochement entre la résistance de cette matière dans son expérience, et ia résistance d'une bande de fer-blanc de trois lignes de largeur qui avait supporté une tension de 120 livres.

674. D'après une autre expérience du même auteur (a), un- vase de plomb en forme de baril, ayant 18 pouces de longueur, un pied de diamètre au milieu, 8 pouces aux deux extrémités, et 2 7 lignes d'épaisseur, terminé par des bases planes faites avec le même plomb, a supporté sans rompre la pression d'une colonne d'eau de 100 pieds de hauteur. Les platines se courbèrent déplus de 1 7 pouce. Le plomb avant été limé au milieu de la hauteur du baril, dans une étendue de 6 pouces de longueur et 4 de largeur, et l'épaisseur réduite à un peu moins d'une ligne au milieu de ce qui était limé, le plomb céda dans cet endroit , et il s'y fit une fente.

675. D'après deux expériences de M. Jardine d'Edinburgh (i), un tuyau de plomb de 1 ^ pouce anglais de diamètre, pouce d'épaisseur, a supporté sans altération apparente la pression d'une colonne d'eau de 1000 pieds de hauteur, et s'est rompu sous celle d'une colonne d'eau de 1200 pieds.

Un autre tuyau de la même épaisseur et de 2 pouces de diamètre, a supporté sans altération apparente la pression d'une colonne d'eau de 800 pieds, et a rompu sous celle d'une colonne d'eau de 1000 pieds.

{a) Idem , page 472.

(B) Citées dans les Annales de Chimie et de Physique, mars 1826.

44$ LEÇOWS SUR l'a PPL. DE LA MBCAN., T*. PARTIE.

G76. D après une expérience de l'auteur, un vase sensiblement sphériqne, eu tôle de fer de très-bonne qualité, formé de deux demi-sphères assemblées par des rivets et une soudure et se recouvrant l'une l'autre de o m ,oi , avant o m ,337 de diamètre extérieur dans le sens du grand cercle suivant lequel la soudure était faite , 0*323 dans le sens perpendiculaire à ce grand cercle, et o m ,oo26 d'épaisseur, a été rompu sous la pressiou de i44 kil- par centimètre quarré. La rupture s'est manifestée par une petite fente, à o m ,o5 de la soudure.

D'après une autre expérience, uu vase semblable, ayant o m ,285 de diamètre dans le sens du grand cercle suivant lequel la soudure était faite, 0^,279 dans le sens opposé, et o m ,oo24 d'épaiôseur, a été rompu sous la pression de 1 63 kil. par centimètre quarré. La rupture s'est également manifestée par une petite fente, à o",i2 de la soudure.

677. Le résultat des expériences de Mariotte ue peut être soumis au calcul , à raison de l'incertitude de la première , et de la figure compliquée du vase dans la seconde. En appliquant aux deux expériences de M. Jardine la formule indiquée ci dessus n° 664, on trouve que le plomb a été rompu par des efforts de i k ,37 e^ i k , 58 par millimètre quarré. Ces expériences s'accordent donc entièrement avec les résultats des expériences directes rapportées n°70. Si l'on applique également aux dcui expériences de l'auteur sur des vases sphériques le calcul indiqué ci-dessus n° 670 , en adoptant le plus graud des deux diamètres , on trouve que la tôle a été rompue par des efforts de 46 et 47 kil. par millimètre quarré. Ce résultat s'accorde également avec les expériences directes rapportées n° 52 , qui ont été faites sur de la tôle d'une moindre qualité.

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tique, 1. partie