Mélange de fer avec

Une charge de 180 livres agissant pendant plusieurs heures ne lit prendre aux trois pièces sous le n° 1 qu'une courbure presque insensible.

Les pièces sous les n°" 2 , 3 et 4 n'ont pas été altérées sous des charges de i6a livres, et ont conservé de trèspetites courbures après avoir supporté des charges de 182 livres.

Les pièces sous le n° 5 n'ont pas été altérées sous 180 livres, et l'ont été à peine sous 190 livres.

Les pièces sous les n" 6 et 7 ne l'ont pas été sous 182 livres, et l'ont été un peu sous 202 livres.

Les expériences sous les n°* 1, 2, 3 et 4 donnent pour la valeur moyenne delà constante E , E= 1 1 53o 000 ooo k .

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(a) Apraclical essay en the strength 6/ cast irait, a*, édit page 76 et suivantes.

DE LA MÉCANIQUE, l'\ PARTIE.

ARTICLE IV

De la résistance d'un solide prismatique a la rupture

PRODUITE PAR UN EFFORT DIRIGÉ PERPENDICULAIRE ME NT A LA LONGUEUR DE CE SOLIDE.

1 12. Les fibres des corps, quand on les soumet à des extensions ou à des accourcissemens très-petits, s étendent ou s'accourcissent de la même quantité sous un même poids, comme on Ta dit n°* 76 et 77. Alors, si la section transversale est rectangulaire , les fibres dont la longueur ne varie pas lors de la flexion du corps sont au milieu de la hauteur de cette section. Quand les variations de longueur des fibres sont plus considérables, ces fibres peuvent, sous le même effort, s étendre plus ou moins quelles ne s'accourcissent. Alors les fi- * bres invariables s éloignent ou s'approchent de la face qui devient convexe lors de la flexion. La rupture a lieu quand les fibres étendues ne peuvent plus l'être davantage sans se séparer, ou quand les fibres comprimées ne peuvent plus l'être davantage sans s'écraser. La rupture s'opère d'une manière différente selon les corps. Dans les pierres, le verre, les métaux fondus, il se fait une séparation brusque et totale sur toute la hauteur delà section. Dans les bois, les fibres sont écrasées vers la face concave, et arrachées irrégulièrement vers la face convexe. Dans les métaux forgés, la rupture n'est pas toujours accompagnée d'une séparation totale ou partielle. Les molécules, sans cesser d'être adhérentes, paraissent avoir pris près de la section de rupture de nouvelles positions d'équilibre, en vertu desquelles la figure du solide a changé.

Les conditions de la rupture dépendent de l'équilibre

68 leçons sur l'application

qui s'établit entre les forces qui tendent à rompre le corps , et les résistances dues aux forces développées, par l'effet des extensions et compressions des fibres, dans la section transversale où la rupture va s'opérer. Pour évaluer exactement ces résistances, il faudrait connaître i° l'axe d'équilibre où sont placées les fibres invariables; 2 0 la valeur de lâ force produite dans une fibre par une extension ou une compression données. À défaut de ces connaissances , que l'on ne pourrait acquérir que par des expériences délicates, on est obligé, pour obtenir au moins des évaluations approximatives, de recourir à des hypothèses.

il 3. L'hypothèse le plus simple, et généralement le moins éloignée de la vérité , consiste à admettre que les résistances des fibres, à l'instant où la rupture va s'o- •j pérer, sont encore proportionnelles aux extensions ou compressions de ces fibres, comme elles le sont dans le cas d'une flexion très-petite. Alors 1 état de la section transversale du corps, à l'instant où la rupture va s'opérer, ne diffère point de l'état considéré dans les n°* 77 et suivans. Seulement il faut concevoir que la fibre placée à la face convexe qui est le plus étendue, ou la fibre placée à la face concave qui est le plus accourcie, subissent le degré d'allongement ou d'accourcissement qui est immédiatement suivi de la rupture.

La situation de Taxe d'équilibre, où sont placées les fibres invariables, se déterminera toujours par la même condition géométrique énoncée n° 78. Supposons cet axe ainsi déterminé, et conservons Jes dénominations du n° 77 , qui se rapportent à la Fig. 1 ; appelons de plus :

(/ la distance à Taxe d'équilibre aa! de la fibre extrême située à la face convexe ou à la face concave du solide, qui est prête à rompre;

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 69

R une constante exprimant la force nécessaire pour rompre un prisme dont la section transversale est l'unité superficielle, tiré dans le sens delà longueur. En remarquant que la résistance des fibres situées à la distance s/ de l'axe a a! est dudv.R, et que la résistance des fibres situées à la distance v du même axe

est dud v-~jr> on aura pour l'expression de la somme

des momens de ces résistance)}, pris par* rapport à Taxe aa! ,

Nous nommerons cette expression moment de rupture du corp9, et nous la désignerons par la lettre p.

114. 3i la section transversale peut être partagée en deux parties symétriques, par une ligne perpendiculaire à la direction de la force qui agit sur le corps, l'axe d'équilibre est placé dans cette ligne. Les deux intégrales sont égales, et Ton a

pour l'expression du moment de rupture.

En comparant ces formules à celles qui ont été trouvées n° 80 pour représenter le moment de flexion , on reconnaît que l'expression du moment de rupture peut être déduite de celle du moment de flexion en écrivant R à la place de E, et en divisant par t> ; , c'est-à-dire par la distance à Taxe d'équilibre contenant les fibres invariables, de la fibre qui en est le plus éloignée. D'après cela, les expressions des n° 9 81 et suivans donneront immédiatement les résultats énoncés ci-après.

r]0 LEÇONS SUR L APPLICATION

1 1 5. La section étant un rectangle ( Fig. 2 ) dont b et c sont la largeur et 1 épaisseur, v' = -, et l'expression du moment de rupture est

2R 6c 5 -bc*

P — = tt "7 •

C il o

116. La ligure de la section étant formée de deux triangles égaux (Fig. 3), dont les côtés sont p et 7, le moment de la résistance à la rupture est

117. La figure de la section étant un rectangle dont les côtés sont b, c, et Taxe contenant les fibres invariables formant l'angle 9 avec le côté b, le moment de rupture est

& 3 csin.»? +6c 3 cos.'ç>

r 6(£sin. ? 4- ccos.?)

Quand la section est un quarré cette expression se réduit à

6{sin.<p-f-cos.?)

et si la pièce est fléchie dans le sens d une des diagonales du quarré, Ton a

Ainsi une pièce à base quarrée fléchie dans le sens des diagonales de la base résiste moins à la rupture quelle ne le fait quand elle est fléchie dans le sens des côtés

de cette base, dans le rapport de 1 à

1 18. La figure de la section transversale étant un cercle (Fig. 4) dont r est le rayon, l'expression du moment de la résistance à la rupture est

R *rr* „r.r 5

Les momens de rupture, pour le quarré et le cercle

inscrit, sont entre eux dans le rapport de i à ^ , le même qui a lieu pour le cas de la flexion.

119. A l'égard d'un tuyau, / et r 7 ' étant les rayons des cylindres extérieurs et intérieurs, remarquant que le moment de rupture du vide intérieur supposé plein , est