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ou a pour le moment cherché
A sections transversales égales, Un cylindre plein et un tuyau offrent des résistances a la rupture qui sont entre elles dans le rapport de
} ,Ji ,/'4
A résistances égales, les sections transversales du cylindre et du tuyau sont entre elles dans le rapport de
1 20. Connaissant l'expression du moment de rupture pour une base de fracture rectangulaire, on peut se proposer d'inscrire dans un cercle un rectangle déterminé par la condition de rendre cette expression un maximum.
Le diamètre du cenje étant i, les côtés de ce rectangle seront respectivement — et
121. Considérons un solide prismatique '[(Fig. 9) encastré horizontalement à l'extrémité À, et chargé k\\ autre extrémité M d'un poids. Nommons
p le moment de rupture, évalué conformément aux n 0 ' 1 13 et su i vans, d'après la figure de la section transversale du 6olide; P le poids suspendu à l'extrémité M du corps; a la distance horizontale de la section A à la direction
du poids P; s la longueur A M du solide; f la flèche de courbure CM.
La rupture tend à se faire dans la section A , et les conditions de 1 équilibre sont exprimées par
P = P*. d'où P = ^- ;
ou à peu près, en supposant que la courbure du solide
est l'élastique du n° 86, ce qui donne s= <i-f- -j^- r
122. Considérons présentement un solide prismatique ( Fig. 10), posé horizontalement sur deux appuis, et chargé au milieu. Nommons * 2P le poids suspendu au milieu A du solide; a la moitié CM de la distance des appuis; f la flèche de courbure AC;
a l'angle de la tangente à la courbe en M , M' avec
l'horizontale MM'.
La rupture du corps tend à s'effectuer au milieu A.
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. nZ
L'effort exercé contre l'appui M (fbstraction faite de la considération du frottement sur cet appui ) est une force normale à la courbe du solide , dont la composante verticale est P, et la composante horizontale P tang.a. Par conséquent, en supposant que la courbe
du solide est l'élastique du n° 86, d'où tang.a = — les conditions de l'équilibre s'expriment en posant
p=P.fl+P./ tang.a, OU f>= (
d'où
2P =— rrr > ou iP = *\r. >
i a3. Considérant un solide prismatique droit encastré horizontalement à une extrémité, comme celui qui est représenté Fig. 9 , et chargé de poids distribués arbitrairement sur la longueur À M. Nommant
x la distance horizontale d'un point quelconque du
solide à l'extrémité A; p la valeur du poids suspendu en ce point, rapportée à l'unité de longueur, et donnée en fonction de jc ; a la distance ÀC.
On aura pour exprimer l'équilibre,
ça
» =J dx.px.
124. Si les poids portés par chacun des élémens de la longueur du solide sont égaux entre eux, p est constante ^ et l'on a
pa* ap
Ainsi le solide serait également rompu par un poids distribué uniformément sur sa longueur, ou par un poids moitié moindre, suspendu à l'extrémité B.
ia5. Lorsqu'un solide posé horizontalement sur deux appuis, comme on la supposé n° 122, est chargé par des poids distribués uniformément sur sa longueur, p représentant la charge correspondante à l'unité linéaire, on a p a et pa. tang. a pour les composantes verticale et horizontale de la pression supportée par les appuis. Par conséquent, en supposant que la courbe du solide
est l'élastique du n° 90, d'où tang. a = ^ , les conditions de l'équilibre sont exprimées par l'équation
p = pa.a-\-pa.f tang. % — pa.—
ou
p=^(l-L/tang.«), ou p= ^l(,+^:) ;
d'où
ipa — ou ipa
a-j-2j tang. a
Ainsi ^en négligeant le quarré de ^ j le solide est
également rompu par un poids distribué uniformément sur sa longueur, ou par la moitié de ce poids placée au milieu.
126. Lorsque le solide prismatique, posé horizontalement sur deux appuis , est chargé à la fois du poids 2P placé au milieu, et du poids constant/? sur chaque unité de longueur, l'équilibre est exprimé par l'équation
p = ( P+/» a ) a+ {V+p a )/ung. * — p a. -,
DE LA MBCAMQLE, l r \ PARTIE. 7S
OU
p = ( P+pa ) (a+/Uoa. « > - ^ i doù
^ p a p— ( g-f a/tang. a )
Dans le cas dont il s'agit, en supposant la courbure du solide déterminée conformément à ce qui a été
SV Jr-ipa 4/ t> valeur fait n- 90, on a tang.a = r p+5/l ^ - ' cette valeur
doit être substituée dans les équations précédentes.
1 27. Pour appliquer les résultats précédens à un corps donné, il faudra substituer à la place de p l'expression du moment de rupture qui convient à la 6gure de la section transversale de ce corps, conformément aux n°» 1 13 et suivans. On donnera ensuite à la constante R la valeur qui convient à la nature du corps , et qui doit être déterminée par l'observation.
Les observations au moyen desquelles on détermine la valeur de cette constante consistent à placer horizontalement un solide prismatique sur deux appuis , à le charger au milieu par des poids de plus en plus grands, et à observer simultanément le poids qui cause ia rupture, et la flèche de courbure qui a lieu a l'instant où cette rupture est prête à s'opérer. La section transversale du solide étant un rectangle ( tfig. 3 ) dont
les côtés sont b et c, on a (n° 1 15) p = R-j-,et(n° 122;
3 p = Il , en faisant abstraction du poids du
solide. Donc
iP.3a(.+ jA 1 P— R — — . d ou Iv= 7 — . »
2 a étant l'intervalle des appuis , 2 P le poids placé au milieu de la longueur du solide,/* la flèche de courbure.
128. Si l'on a égard au poids du solide, il faut employer l'expression de 2 P du n° 126. En nommant 2U ce poids', cette expression devient
R bc % — 3 u ( a+i/tang. a) 3 (rf-f/tang.a )
d'Où
3 [(1 P+a n ) (a+/tang. a)— n g] '
et Ton a
3 P+2 n 4/ taog. «= gp^---
129. Lorsque les solides ont une petite longueur, ou ne prennent qu'une faible courbure à l'instant de la rupture, on peut négliger les termes du second ordre introduits par la considération de cette courbure : on a alors, en faisant abstraction du poids du solide,
aP=R^, d'oùR = 2P.^; ôa oc
et en tenant compte de ce poids,
2 P^R £î!-«, d'où R =(2 P+n) ~.
ôa Oc
On va maintenant rapporter les expériences faites pour évaluer la résistance à la rupture de divers corps, et au moyen desquelles on peut déterminer les valeurs de la constante R.
DE LA MÉCANIQUE , I r \ PARTIE. 77
Résistance de la pierre et de la brique à la rupture.
130. D'après les expériences de M. Gauthey (a), un prisme en pierre calcaire dure de Givry, ayant 18 lig. de largeur et 8 lig. d'épaisseur, posé sur deux appuis distans de 18 lig., est rompu sous une charge de i43 livres placée au milieu. La résistance, pour la pierre tendre de Givry, n'est que le \ de la précédente.
131. D'après les expériences de M. Barlow (b), un prisme en brique de 4 pouces anglais de largeur et a pouces d'épaisseur, posé sur deux appuis distans de 3 pouces, rompt sous une charge au milieu de
343 liv. av.-du-poids pour la vieille brique commune.
4o3 nouv. brique commune.
444 très-bonne brique.
132. Résultats des expériences faites par M. Tredgold sur des barres rectangulaires en marbre et en pierre, posées horizontalement sur deux appuis et chargées au milieu (c). Les nombres sont donnés en mesures anglaises.
(a) Mémoire sur la charge que peuvent porter les pierres; Journal de physique, 1 774*
{b) An essay on the strength and stress timber, page 25o.
(€) The phiiosophical magasine and Journal, vol. 56, p. 200.
DlSTANCK
f.iRGET'K
INDICATION DES PIÈCES
des
des
qui
appuis.
pièces.
pièces.
rompt.
pouces.
pouces.
pouces.
livres.
Marbre blanc statuaire, très-pur.
Pesanteur spécifique, a, 706. .
IIO
Pierre de Portland, brune. Pe-
santeur spécifique, 3, 1 13 . . .
Gres blanc siliceux. Pesanteur
qa
Pierre de Dundee. Pesanteur
spécifique, a,(îai
Grès de Craigleith. Pesanteur
Grè» de la carrière de liai les. . .
ia3
Pierre calcaire de Portland ...
Résistance du mortier à la rupture.
i33. Voyez dans les Recherches sur les chaux de construction, de M. Vicat, la détermination de la résistance à la rupture de diverses espèces de mortiers.
Résistance du bois à la rupture.
i34» Il a été publié sur la rupture des bois un grand nombre d'expériences, parmi lesquelles on doit distinguer celles de Buffbn , sur le bois de chêne nouvellement abattu (a). Les résultats moyens de ces expériences sont contenus dans le tableau suivant.
L'intervalle des appuis, représenté ci-dessus par 2a,
(a) Histoire naturelle, partie expérimentale , XI". Mémoire.
DE LA MÉCANIQUE , l". PARTIE. 79
était de p1u9 petit que les longueurs des pièces indiquées dans ce tableau.
$0 LEÇONS SUR LAPPLICATION
En calculant la valeur de 11 par la formule du n* 128 , au moyen des données de l'expérience faite sur une pièce de 6 pouces d'équarrissage et 10 pieds de longueur, on trouve
L'expérience faite sur une pièce de 8 pouces d'équarrissage et 14 pieds de longueur , donne
Si l'on cherche les valeurs de R données par toutes ces expériences, on ne trouvera dans ces valeurs que des différences qui peuvent être attribuées à la diversité des qualités des bois, ou aux erreurs des observations. Mais il n'en serait pas de même si l'on n'avait pas égard au poids des pièces et à la courbure , comme on l'a fait en établissant la formule du n° 128.
i35. Expériences faites par Bélidor, sur des barreaux en bois de chêne (à).
