HA

3 cos.t* z — h' 1

d'où il suit que le bras de levier a G de la force dont il s agit, est

cos. i 3 cos. t z — h

L'expression du moment de la poussée des terres sur BS, pris par rapport à l'arête a , est donc

■~ U ' ( ^ A ' )COS 4^>3^-^+ asin *]'

les signes supérieur et inférieur ayant lieu respectivement pour les cas des figures 22 et 2 3. La môme expression conviendrait au cas où la surface supérieure des terres serait surchargée uniformément, en écrivant h" au lieu de h, conformément au n° 2 35.

239. Le moment des forces qui s'opposent au renversement, pris par rapport à l'arête a, se compose du moment du poids du rectangle ACca , qui est

moins le moment du poids du triangle abc ,

moins ou plus le moment du poids du triangle ACB ,

ï n h* tang. i(aq:;A tang. t) ;

moins le moment du poids du triangle aRS,

ï n ( h — z) [azf (A— z) tang.t] 2 j

moins ou plus le moment du poids du triangle ARS, *

s)' tang.e [azç] (A— z) tang.i];

DE LA MECANIQUE , I re . PARTIE. 1 5 1

auxquels il faut ajouter le moment de la résistance à la rupture sur aS, qui est

| R [ (A—*)- + [a zp ( A-z) ung.ip | ;

et enfin le moment du frottement et de l'adhérence des terres contre le parement intérieur du mur, qui est

ïF&zP (z — /*') cos. s. a cos.i.

2^0. La condition de l'équilibre du mur , pour une valeur donnée de z , s'exprimera en égalant cette somme de momens au moment de la poussée des terres sur BS. Si l'on résout ensuite l'équation par rapport à a , et si l'on détermine la valeur de z par la condition de rendre a un maximum, on connaîtra eu même temps la direction suivant laquelle le mur se romprait , si l'épaisseur a était un peu trop petite, et la moindre valeur qu'il soit possible de donner à cette épaisseur.

241 . Nous supposerons le parement intérieur du mur vertical , la cohésion des terres et celle de la matière du mur nulles, d'où e=o, h'=o 9 R = o. De plus nous négligerons le frottement exercé par le terrain contre la face intérieure du mur, d'où F=o. Dans ce cas, s'il n'y a point de surcharge sur la surface supérieure des terres, le moment de la poussée sur BS , pris par rapport au point À , est

et le moment de stabilité du mur ,

infl'A-jna 1 {h — z) — înm 1 h 3 .

En égalant ces deux quantités, et résolvant par rapport k a , on trouve

4 V (36— is) -f-Ufft' h 3 n (A+aï) '

l53 LEÇONS SUR L APPLICATION

Différen Liant et égalant à zéro, on aura, pour déterminer la valeur de z qui rendra a le plus grand possible , l'équation

Cette valeur , substituée dans l'expression précédente, fera connaître la moindre largeur qu'il soit possible de donner à la base du mur.

242. Si le parement extérieur du mur est vertical, aussi-bien que le parement intérieur, m = 0; l'expression précédente de a se réduit à

/<*z*t' (3 A— iz) a—\/ .

V n(/<+az)

La valeur de z qui rend cette expression un maximum, est

et la moindre épaisseur qu'il soit possible de donner au mur, est

V 1/ 3) Il

Ainsi la hauteur RS est alors le -f- environ de la hauteur du mur , et la moindre épaisseur est à peu, près

o,5$.ht y/^. f

Équilibre dun mur soutenant la poussée des terres, en supposant ce mur renversé en totalité sur [arête extérieure de sa base.

243. On regarde maintenant le mur comme un corps posé sur une base avec laquelle il n'aurait aucune adhérence, en supposant l'adhérence de la matière de ce mur assez grande pour qu'il ne s'y fasse pas de disjonction ,

DE LA MÉCANIQUE, i". PARTIE. l53

dans le cas où la poussée des terres le renverserait en le faisant tourner sur l'arête extérieure de sa base. En conservant les dénominations du n°. 238, qui se rapportent aux fig. 22 et 23 , l'expression du moment de la poussée des terres sur AB se déduira de celle qui a été trouvée dans ce numéro en supposant z=h t et sera

; r<r t* [U a (h-lh')zfah {h— h') sin. e cos. » ].

Le moment des forces qui s'opposent au renversement se déduira également de l'expression* donnée n° 239, en supposant z=A,R=o, F=o, et sera

h [a'zfahUnç.t + h h 1 (tang. 3 c— m 9 )].

Égalant ces deux expressions , et résolvant l'équation par rapport à a , on trouvera

a = di î £a tang. s — ^ a (h — h') sio.t cos.cj

4* y/ j tang. c — (h — h!) sin. c cos. «J*

+^ t*.h (A — \hl) — ; h* (tang.' « -m- ) J

pour l'expression de la largeur à donner à la base du mur.

Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est surchargée , en écrivant h" au lieu de h' y et donnant à h" la valeur indiquée n° 235.

244. Si le parement intérieur du mur est vertical , e=o; la valeur de a est

formule dans laquelle f = tang.-f-r, conformément au n° 229.

245. Si le parement extérieur du mur est également vertical , m=o , et Ton a

346- Si, la cohésion des terres étant supposée nulle, il existe une surcharge sur la face supérieure , on doit ( con-

formément au n° 235 ) écrire — ~ au lieu de h' dans l'expression générale de a du n° 243, et dans celles des deux n°" précédens. Mais s'il n'existe point de surcharge, ou doit faire h = o. L'expression du n° 243 devient alors

a = ±L'-h J^tang.i— jj/'sin.icos.fj

+'*y/ ^tang.e — ~P sin.icos.«j +^j' a — ï (tang.'e— m 1 ).

247. Si, la cohésion des terres étant nulle, le parement intérieur du mur est vertical , on a

248. Enûn si , la cohésion des terres étant nulle , let> deux paremens du mur sont verticaux, on a

en sorte que la moindre épaisseur à donner au mur est à peu près 0,577. Ary/^, résultat qui ne diffère pas sensiblement de celui du n° 242.

249. Les formules des trois n°* précédens s'appliqueront au cas où les terres se changent en un fluide , en supposant t=90°, ce qui donne *=i quand le parement intérieur du mur est vertical.

DE LA MÉCANIQUE, I r *. PARTIE. 1 55

Equilibre dun mur soutenant la poussée des terres, en supposant que ce mur peut glisser sur sa fondation.

25o. On peut encore regarder le mur comme un corps posé sur une base horizontale, avec laquelle il aurait une faible adhérence, et sur laquelle la poussée des terres le ferait glisser, sans opérer de disjonction dans ce mur. Conservant les dénominations du n° 2 38, qui se rapportent aux fig. 22 et 23 , on nommera

$ le rapport du frottement à la pression lorsque le mur glisse sur la base A a ;

r la force de cohésion existant entre la matière du mur et cette base.

La force qui tend à produire le glissement est la composante horizontale de la poussée Q , dont la valeur a été donnée n° 23o, c'est-à-dire

ïoht* {h— h') cos.'f.

Le poids du mur étant

n [ah— \ h» (mzfctang.t)], on a pour la force qui s oppose au glissement liï*<*ht>{h— A')sin.icos.e + *nO/*~ \h* (m:±tang.i) )+ra.

En égalant ces deux forces, on exprime la condition de l'équilibre du système, et en résolvant l'équation par rapport à a , on trouve

h <*r (h— h!) cos U ( 1 » tang.i)-}-» n h{m ±. tang. «) a *~i" t>nh+T

pour l'expression de la moindre largeur qu'il soit possible de donner à la base du mur.

Cette expression conviendra au cas où la surface supérieure des terres est surchargée, en écrivant h" au heu de A', et donnant à W la valeur indiquée n* 235.

l56 LEÇONS SUR L'APPLICATION

25 i. Si le parement intérieur du mur est vertical, e=o : la valeur de a est

h «,t* {h—h')+^Umh

formule dans*laquelle f=tang. \ t, conformément au n° 229.

262. Si le parement extérieur du mur est également vertical, mc=o, et Ton a

253. Si, la cohésion des terres étant supposée nulle, il existe une surcharge sur la face supérieure, on doit,

conformément au n° 235 , écrire — — au lieu de h! dans

les deux expressions précédentes. Mais s'il n'existe point de surcharge, on doit alors faire 7/c=o. En supposant également nulle la cohésion entre le mur et la base, l'expression du n° 25o devient

a ~ ï l£7ï 1 ' cos * ' e ( 1 ^ * tan * 5 ) + m — taD 8- «J-

254. Si, la cohésion étant nulle, le parement intérieur du mur est vertical, on a

255. Enfin si, la cohésion étant nulle, les deux paremens sont verticaux,

256. Les formules des trois numéros précédens s'appliqueront au cas où les terres se changent en un fluide , en supposant r=90°, ce qui donne quand le parement intérieur du mur est vertical.

Tous les résultats exposés depuis le n° a38 s'appliquent également à un mur formé d'un massif homogène, ou à un mur construit avec des pierres posées par assises horizontales.

ARTICLE V

De l'établissement des fondations, lorsque les murs sont supportés par des terrains compressibles.

357. Quand on n'a pu établir les fondations d'un mur sur un sol sensiblement incompressible, l'inconvénient qui en résulte est moindre si le mur, par l'effet de la compressibiiité du terrain, s'abaisse verticalement, sans pencher d'un côté ou de l'autre. La fondation doit donc être disposée de manière que le mur n'ait aucune tendance à se déverser. Nous supposons le terrain également compressible, dans toute l'étendue de la surface des fondations.

Dans le cas où le mur ne supporte que des actions verticales , on aura satisfait à la condition dont il s'agit si le le centre de gravité du poids du mur, et des poids dont il est chargé, se trouve dans la ligne verticale passant par le centre de gravité de l'aire des fondations.

a58. En général , si un mur supporte des efforts verticaux et horizontaux , il n'aura aucune tendance à se déverser si la résultante de ces efibrts passe par le centre de gravité de l'aire des fondations; c'est-à-dire si la somme des momens de ces efforts, pris par rapport à ce centre de gravité, est nulle (a).

(a) Ces notions ont été présentées dans un Mémoire rédigé en 181 6, et publié en 1822 par M. Lambel , directeur des fortifications. Elles le sont également dans le Mémoire de M. Français , Mémorial du génie , n # 4.

l58 LEÇONS SUR LAPPUCATION

2 $9. Par exemple, dans le mur représenté fig. 17 et 18, dont les conditions d'équilibre ont été examinées dans les n** 200 et suivans, en supposant le profil des fondations rectangulaire , conservant les dénominations de ces numéros , et appelant

al la largeur «6 de la fondation; h! la hauteur B€;

on aura pour le moment du poids du mur et de la fondation, pris par rapport au milieu de la base a 6,

±(P + .aA)(«'a)î

et pour le moment de la force horizontale Q , pris par rapport au même point,

La largeur a' devra donc être déterminée par l'équation

d'Où

260. Dans tout autre cas, et particulièrement lorsque les murs soutiennent la poussée des terres ou des fluides , on ne trouvera aucune difficulté pour régler la largeur des fondations de manière à satisfaire à la condition dont il s'agit , puisque les résultats présentés dans l'article précédent font connaître la grandeur et la direction de la poussée. On fera en sorte que le moment de cette poussée, pris par rapport au milieu de la base des fondations , soit égal au moment du poids du mur, pris par rapport au même point.

ARTICLE VI

Qualités diverses des terres. Evaluation de la pesanteur SPÉCIFIQUE, DU FROTTEMENT ET DE LA COHÉSION.

261. Les propriétés des terres, doot la nature et les qualités sout très - variables , peuvent être considérées sous divers points de vue. On distinguera ici i° les terres déblayées, et réduites en petites parties qui n'adhèrent pas sensiblement les unes aux autres; 2° les terres dans l'état naturel, en les supposant, sèches, ou légèrement humectées; 3° les terres fortement pénétrées par l'eau.

La pesanteur spécifique des terres et des maçonneries ne peut être connue exactement que par des expériences spéciales. Le tableau suivant offre des résultats moyens.

Terre végétale i,4

Terre franche i, 5

Terre argileuse i,6

Glaise 1.9

Sable terreux 1,7

Sable pur 1,9

Maçonnerie de moellon en pierres calcaires et siliceuses , depuis 1,7

jusqu'à 2,3

Maçonnerie de moellon en granit 2,3

Maçonnerie de moellon en basalte q,5

Ces nombres, étant multipliés par 1000, donneront le poids du mètre cube en kilogrammes.

Des terres déblayées , et réduites en petites parties non

cohérentes,

262 . Daus cet état, les parties des terres sont regardées comme n'ayant aucune cohésion les unes avec les autres. On doit donc , en appliquant les formules des articles précédens , supposer la cohésion nulle. Il reste à connaître le rapport du frottement à la pression, ou, ce qui est la la même chose , le talus qu'affectent naturellement ces terres , lorsque Ton en forme un remblai (voyez les n°* 192 et 2a5).

263. Le sable lin et sec est , de toutes les terres, celle qui prend le plus grand talus. D'après une expérience de M. Gadroy (a), ce talus est 7 ; d'où f-=* 0,6 et 1 = 69°.

264. D'après les expériences de M. Rondelet (6), le plan du talus du sable fiu bien sec, et du grès pulvérisé , forme avec l'horizon un angle de 34° d'où /=s 0,69 etr = 55°;.

D'après les mêmes expériences (c), le plan du talus , pour la terre ordinaire, bien sèche et pulvérisée, forme avec l'horizon un angle qui est au moins 46° 5o'; d'où y =0,94 etr= 43° 10'. Quand la même terre est légèrement humectée, cet angle devient au plus 54° ,* ce qui donne /= i,38 eu = 36°.

265. D après M. Barlow (cT), le talus de la plus légère espèce de sable est \ ; d'où /a 0,8 et T = 5 1 °. D après le même auteur , le talus du sol de l'espèce le plus dense et le plus compacte est % - ; d'où /= 1 ,4 et t t=* 35°.

(a) Traité expérimental et analytique de la poussée des terres, par M. May nie 1, page 1.

(b) Art de bâtir , tome III , page i35.

{d) An Essay on the strengtk and stress of timbcr, page 249.

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. l6l

266. D'après le colonel Pasley (a), l'espèce de terre non cohérente (loose shingle) et parfaitement sèche, employée à ses expériences, prenait un talus de d'où

y*=o,8 et t = 5r.

267. Nous ci terous actuellement les expériences qui ont été faites dans la vue de mesurer directement les pressions exercées par le sable ou d'autres matières non cohérentes ( appelées quelquefois demi-jluides ) contre le fond ou les côtés des capacités qui les contiennent.

D'après les observations de M. Delanges (b) les angles des talus avec l'horizon sont pour le

Sable de rivière très-fin. ...... 33°

Millet a3

Ceudrée de plomb aa 3o'

Grains de plomb d'un diamètre triple de ceux de la cendrée. . . . a5

{a) Course of military instruction , tome III , page 562. Cet ouvrage contient une suite d'expériences sur l'action de la terre contre les revêtemens. On remarquera que des expériences en petit ne sont point propres à donner des notions exactes sur cette action, dont les divers élémens varient suivant des proportions différentes avec les hauteurs des revêtemens. Aucun des résultats obtenus par l'auteur n'est d'ailleurs en contradiction avec les notions présentées dans les articles précédens. Ces résultats iudiquent seulement que le frottement et l'adhérence des terre* contre le parement intérieur des murs , dont la considération a été négligée dans les calculs des n M 238 et suivans , produisent des effets sensibles quand la hauteur des revêtemens est très-petite, comme elle Tétait dans ces expériences. Les expériences décrites par M. Mayniel , dans ses Recherches sur la poussée des terres , peuvent donner Lieu à des remarques semblables.

(b) Statica e mecanica de senti fluidî, Memorie di maternât ica e fisiea délia Societa itatiana, tome IV , 176*8. On trouve dans ce mémoire des observations très-curieuses sur la manière dont le sable se meut en l'écoulant hors des vases par un orifice.

Le poids d'un pouce cube est pour le

Sable 7» 3 drachmes.

Millet 4,2

Cendrée de plomb 39,3

268. Pressions exercées sur le fond d'un vase cylindrique dont Taxe est vertical. Le fond était mobile et la pression qu'il supportait était mesurée par une balance.

HàOTEOa

des

demi-fluides.

Pressions soa le fowd du vasb.