L'expression de Q peut être mise sous la forme
Q=— r (h — h' ) cos. t ; et daus le cas où la paroi est verticale,
23 1 . Pour connaître maintenant le point delà paroi où Ja force Q doit être appliquée, on remarquera que, sur une portion de la paroi correspondante à la portion z de la hauteur h, la poussée a pour expression
— t 1 ( 2 — h' ) cos. e.
Différenciant par rapport à z , il vient
r (22— A')cos.f
pour la poussée exercée sur la portion de la paroi cor-
l46 LEÇONS SDR L APPLICATION
répondante à la portion dz de la hauteur A. On aura le moment de cette poussée élémentaire, pris par rapport
au point A (Fig. 20 et 21), en multipliant par
Prenant la somme des momens de ces poussées élémentaires, et la divisant par la poussée totale , on a
dz [— 2z' + (2A + h') z — hh r ]
h {h — /*') cos. 1 3cos.e /* — h'
pour la distance du point d'application de la force Q au point inférieur À de la paroi (a). Quand la paroi est verticale , cette distance est
a32. L'inclinaison du plan de rupture qui donne le prisme de plus grande poussée est indépendante de la valeur de la cohésion. Si l'on suppose la cohésion nulle , h'x=:o : la valeur de la poussée est
0= — . r cos. î ;
et quand la paroi est verticale,
[a) Cette formule diffère de celle qui a été donnée par MM. de Prony et Français , dans les Mémoires cités ci-dessus , ces savans ayant pris l'intégrale du moment de la poussée entre les limites h' et h. On remarquera que , quoique la somme des poussées élémentaires soit nulle sur la hauteur h' , il ne s'ensuit pas que la somme des momens de ces poussées soit également nulle. 11 parait donc que l'intégrale doit être prise entre les limites o et h, comme l'a fait Coulomb dans son Mémoire de 177^. En opérant de cette manière, on fait disparaître l'anomalie remarquée par M. de Prony, n° 28 de ses Recherches sur la poussée des terres.
DE LA MÉCANIQUE, I T \ PARTIE. ifa
La distance du point d'application de Q à l'extrémité inférieure de la paroi est
3cosV
et quand la paroi est verticale,
comme dans les fluides.
233. Si l'on suppose en même temps la force de cohésion et le frottement nuls , o, t =s 90',
f = tang. (45° 1^71) zttang.
et quand le paroi est verticale,
La valeur de la poussée est dans ce dernier cas
conformément aux propriétés connues des fluides.
Pression exercée contre une paroi plane , lorsque la surface supérieure des terres est surchargée.
234. Reprenant le calcul du n° 225 , en supposant la surface supérieure des terres chargée uniformément par des matières qui doivent se diviser suivant des plans verticaux correspondans aux extrémités supérieures T des lignes de rupture (Fig. 20 et et 21), et nommant
p le poids porté par l'unité de surface ,
on devra , dans les formules de ce n°, écrire ph -+• ; «■ h 2 au lieu de ; ^ h 2 . L'angle du prisme de plus grande poussée demeurera toujours le même. La valepjr de la poussée du n° 229 deviendra
Q = (p h + ; » h*)t\ cos. « — 7 * . "° ' T ;
COS. J t (T-*.»)
l48 LEÇONS SUR INAPPLICATION
et dans le cas où la paroi est verticale,
Q= {ph <, h>) r—iyh.t.
235. En appelant h" la valeur de h pour laquelle Q est nulle, on aura
les expressions de Q du n° a3o, est l'expression trouvée n° a3 1 pour la distance du point d'application de Q à l'extrémité inférieure de la paroi, conviendront au cas dont il s'agit en écrivant h" au lieu de /*'.
236. En supposant nulle la cohésion des terres , comme au n° 232 , la valeur de la poussée sera
Q= {ph A a ) t* cos. e ;
et si la paroi est verticale ,
La distance du point d'application de Q à l'extrémité inférieure de la paroi sera
h - *h+3p 3 cos. «' h-\- p '
et si la paroi est verticale,
237. Lorsque les terres se changent en un fluide, les expressions précédentes de Q s'appliquent à ce cas en supposant t = 90% ce qui donne tx=z 1 quand la paroi est verticale. La valeur précédente de la distance du point d'application de la pression convient également aux terres non cohérentes, et aux fluides.
DE LA MÉCANIQUE , I r€ . PARTIE. 1 49
Equilibre d'un mur soutenant la poussée des terres.
238. On regarde le mur ABAa (Fig. 22 et 23) comme pouvant se rompre suivant la direction inclinée aS. La rupture peut avoir lieu , soit parce que la partie supérieure SBba glisserait sur le plan de rupture , soit parce que cette partie supérieure serait renversée en tournant sur l'arête a. La rupture par glissement , suivant une direction inclinée tracée dans l'épaisseur du mur , peut être prévenue par divers procédés de construction ; et , abstraction faite de ces procédés , ce genre de rupture n'aura pas lieu, en général, si le mur a l'épaisseur nécessaire pour résister à la rupture par renversement. On considérera seulement ici ce dernier geure de rupture.
Conservant les dénominations des n°' 225 et suivans, on nommera
a la largeur Aa de la base du mur; % h la hauteur verticale AC;
m le rapport de la base à la hauteur , pour le talus de la face extérieure ab d 11 mur;
II le poids de l'unité de volume de la matière du mur ;
R la cohésion de la matière du mur sur l'unité de surface (voyez n° 211);
F le rapport du frottement à la pression pour les terres glissant sur la face intérieure AB du mur.
s représentera , comme ci-dessus, l'angle que le parement intérieur AB forme avec la verticale;
z la hauteur indéterminée SD.
En regardant la pression exercée par la terre contre BS comme une force appliquée en E , perpendiculairement
parement du mur, la valeur de cette force , d'après le n° 23o , est
\*Zt* (X — h') COS. C.
l50 LEÇONS SUR L'APPLICATION
La distance SE , d'après le n° a3i , est
