COS
L'équilibre de la portion de voûte ABNM exige que Ton puisse attribuer aux composantes P , Q des valeurs telles que ces conditions soient satisfaites, pour l'un quelconque des joints mn.
292. Pour exprimer maintenant les conditions relatives au mouvement de rotation autour des arêtes supérieure ou inférieure du joint mn , on supposera en premier lieu que la portion de voûte m/iNM tend à tourner de haut en bas sur l'arête m , et que les forces P,Q sont appliquées en N , ce qui est le cas où elles ont le moins de tendance possible à favoriser ce mouvement. Le moment des forces qui tendent à faire tourner la portion de voûte est
et le moment des forces qui s'opposent à ce mouvement, en évaluant le moment de la résistance provenant de la cohésion comme on l'a fait n° 211 , est
Q(tf-- < r)+H(6-y)+*Rs'.
Ainsi, pour que le mouvement de rotation n'ait pas lieu, on doit avoir
P {a'-x) — Q {b'-y) <- G M) + H -f-yRz 3 .
On supposera en second lieu que la portion de voûle mrcNM tend à tourner de bas en haut sur l'arête n, et que les forces P,Q sont appliquées en M, ce qui est le cas où elles ont le moins de tendance possible a favoriser ce mouvement. Le moment des forces qui tendent à faire tourner la portion de voûte est
et le moment des forces qui s'opposent à ce mouvement ,
P(tf-x') + G(a.r') + iR S >.
Ainsi , pour que ce second mouvement de rotation n'ait pas lieu , on doit avoir
L'équilibre de la portion de voûte ABNM exige , outre la condition indiquée dans le n° précédent, que les valeurs attribuées aux composantes P, Q soient telles que ces dernières conditions se trouvent encore satisfaites, pour l'un quelconque des joints mn.
Réciproquement, lorsque les conditions précédentes seront satisfaites pour tous les joints , la portion de voûte demeurera nécessairement en équilibre.
293. La valeur de la pression exercée perpendiculairement au joint mn, est
T = (P + G)sin. 0 + (Q + H) cos. 9.
29/j. Si Ton supposait nulles les résistances provenant du frottement et delà cohésion , les conditions du n° 291 ,
DE LA MÉCANIQUE , I PARTIE. , «jq
relatives à 1 équilibre de glissement , se réduiraient à une seule équation ,qui serait
P-Qtang.ô^-G + Htang.Q, ou tang. e = JL±<J L Q + H '
exprimant que la résultante des forces appliquées à la portion de voûte mnNM doit être perpendiculaire 1 au joint m n. Dans l'hypothèse dont il s'agit, l'inclinaison de chaque joint a une valeur déterminée, lorsque les forces appliquées à la voûte sont données. La force appliquée au dernier joint MN, dont P et Q sont les composantes verticale et horizontale, doit être normale à ce joint.
2 9 5. En supposant toujours nulles les résistances provenant du frottement et de Ja cohésion, les conditions du n° 292, relatives à l'équilibre de rotation , deviennent
elles expriment que la direction de la résultante des forces appliquées à la portion de voûte mnlSM doit passer entre les points m et n.
296. On voit par ce qui précède que, pour que l'équilibre existe dans un système de voussoirs, il est nécessaire en général que Jes deux composantes P, Q satisfirent » quatre inégalités , qui doivent être vérifiées pour tous lés joints de la voûte par les valeurs de ces forces. Il en résulte qu'il existe certaines limites , au-dessus et au-dessous desquelles les valeurs deP et Q doivent se trouver. Si les conditions dont il s'agit ne se contredisent pas, et s'il existe des valeurs deP et Q au moyen desquelles on puisse y satisfaire, l'équilibre pourra subsister dans le système de voussoirs proposé. Et si l'on conçoit le dernier joint MN appuyé contre un plan fixe, comme l'est le premier
l8o LEÇONS SUR INAPPLICATION
joint AB , et le système soumis à l'action des forces qui sont appliquées aux voussoirs , on est assuré qu'il n'y surviendra aucun mouvement.
Application à une plate-bande.
297. Soit la portion de voûte dont on cherche les conditions d'équilibre la moitié ABNM (Fig. 25) d'une plate-bande uniformément épaisse. Faisons abstraction des résistances provenant du frottement et de la cohésion, et supposons la plate-bande uniquement sollicitée par Faction de la pesanteur. Conservons les dénominations du n° 290 , et nommons
a la demi-largeur A M ; c l'épaisseur MN;
II le poids de l'unité de volumt de la matière des
On aura, dans l'équation du n° 294, P=o, H=:o, G =: II [(a — x) c ■+- \ c* tang. 0] : cette équation deviendra
tang. 0 =
iQ-nc»
et donnera, si 0' désigne l'inclinaison du premier joint AB,
mac „ . - iac + c 1 tang. </
tang. V =— - d'où Q = n ^— •
e aQ- lic a x 2 tang. &'
On déduit de là
tang. 0 a — x tang.ô' a
Ainsi, l'inclinaison 0' du premier joint AB étant donnée , la valeur de Q est déterminée par l'expression précé-
DE LA MÉCANIQUE , I »\ PARTIE. l8l
dente, et 1 équilibre exige que les directions de tous les joints se rencontrent en un même point 0.
298. Quant aux conditions dun° 2g5 relatives à l'équilibre de rotation , elles deviennent , en les appliquant au joint ÀB,
Qc>ina*c — £ n c 3 tang. « tf, —Qc<?n ac{a+ic tang. ô') + î n c 3 tang.' ô 7 .
La secondé inégalité, exprimant que la portion de voûte ABNM ne peut tourner sur l'arête supérieure B de ce joint , est satisfaite , quelle que soit la valeur positive donnée à Q; et on voit effectivement , d'après la figure delà voûte , que ce mouvement est impossible. Quant à la première inégalité , exprimant que la portion de voûte ABNM ne peut tourner sur l'arête inférieure A, elle devient en mettant pour Q la valeur trouvée ci-dessus, n w 297 ,
ac > i (<z a — c a ) tang. tf — | c 9 tang.» ©\
On vérifie que cette inégalité est toujours satisfaite, quel que soit l'angle g', lorsque la demi-largeur a de la voûte ne surpasse pas la valeur que l'on trouverait en faisant tang. q' = 1 dans l'équation
ac — { (a* — c*\ tang. + ± c a tang. 3 = o ,
valeur qui est a=sc ( 1 + V t )• Si la demi-largeur « surpasse cette valeur , il sera nécessaire, pour que l'inégalité dont il s'agit soit satisfaite, que tang. 0' ne surpasse point la valeur qui serait donnée par l'équation précédente. S'il en était autrement la résultante du poids de la portion de voûte ABNM, et de la force Q qui doit être appliquée horizontalement en N , se trouverait dirigée de manière à rencontrer la ligne AB au-dessous du point À , et ten-
lB2 LEÇONS SUR L APPLICATION
drait par conséquent à faire tourner la portion de voûte autour de ce point.
299. Si l'épaisseur de la plate-bande était très-petite par rapport à l'ouverture, la limite dont il s agit serait donnée, à fort peu près, par l'expression
Ung. = - ■ a
et l'on aurait sensiblement ,
0— , , ou Q r= i u a \
tang. 6
300. En substituant dans la formule du n° 29^ les valeurs qui conviennent à la plate-bande, on trouve pour l'expression de la pression normale supportée par le joint AB,
\sin. G' 2 cos. e y
3oi. Dans le cas où l'épaisseur de la plate-bande est très- petite par rapport à l'ouverture, cette expression devient
" sin. G'
3o2. Si l'on considère deux moitiés égales de platebande ( Fig. 26 ) , séparées par le joint vertical MN , l'équilibre ne pourra subsister à moins que tous les joints ne soient dirigés suivant des lignes passant par le même point 0 , et que l'angle 0' formé par le joint extrême avec la verticale ne soit déterminé conformément à ce qui a été dit n° 298. Si cette dernière condition n'était pas satisfaite la plate-bande se romprait, les deux moitiés portant l'une contre l'autre en N , et les arêtes A, A' remontant le long des plans fixes contre lesquels lesvoussoirs extrê-
DE LA MÉCANIQUE, I r \ PARTIE. l83
mes sont appuyés. L'expression de Q du n° 297 , donnera la pression horizontale que les deux moitié de la voûte exercent Tune contre l'autre dans le joint MN; et l'expression de T du n° 3oo donnera la pression normale supportée par les joints extrêmes A B, A'B'. Les pieds-droits de la plate-bande devront présenter la stabilité nécessaire pour résister à ces pressions.
Conditions de F équilibre dun assemblage de vous soirs , en supposant tous les joints perpendiculaires à la courbe d intrados.
3o3. Considérant une portion de voûte ABNM, dans laquelle tous les joints des voussoirssont perpendiculaires à la courbe d'intrados AmM, appuyée à une extrémité contre un plan fixe AB, et maintenue à l'autre extrémité par une force dont les composantes verticale et horizontale sont P et Q : on nommera
x,y les coordonnées S>p,pm d'un point quelconque m de la courbe d'intrados ;
z la longueur du joint mn;
s la longueur de l'arc Am;
a, b les coordonnées du point extrême M;
S la longueur totale AmM de la courbe d'intrados ;
ù le rayon de courbure de cette courbe , au point m ;
K la valeur de la force appliquée aux voussoirs, pour le point m de la courbe d'intrados, cette valeur étant rapportée à l'unité de longueur , et donnée en fonction de l'^rc de la courbe.
9 l'angle que la direction de la force F forme avec l'axe horizontal des abscisses , cet angle étant également donné en fonction de l'arc de la courbe.
T la valeur de la pression exercée perpendiculairement
au joint mn, par Tune des parties de la voûte contre l'autre.
Faisant abstraction des résistances provenant du frottement et de la cohésion , et appliquant ici les notions présentées n 0 ' 390 et suivans , la première condition de l'équilibre du système est que la pression normale T , supportée par le joint mn , soit égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces appliquées à la partie /nwNM de la voûte. En remarquant que les composantes verticale et horizontale de la pression T
(Iy dx
sont respectivementT ~etT— , et que les sommes des
composantes verticales et horizontales des forces appliquées à la portion m/iNM de la voûte sont respectivement j d5.Fsin.cp et j ds.Fcos.y, cette condition donnera les deux équations ,
ds. F sin. j,
dx f S
F cos.
3o4* La seconde condition de l'équilibre du système est que la direction de la résultante de toutes ces forces passe entre les points m et n ; mais il est inutile d'y avoir égard. Cette condition est implicitement comprise dans la supposition que les joints des voussoirs sont normaux à la courbe d'intrados , puisqu'alors les directions successives des résultantes dont il s'agit formeront nécessairement une seconde courbe parallèle à la première.
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. J 85
305. Différentiant les deux équations du n - 3o3, multipliant la première par -~ , la seconde par — , et
/ dx* dy*
ajoutant ^en observant que -^-^ — = 1 , et par con-
dx 1 dx , dy dy \
équation d'où Ton déduira la valeur de la pression. Cette pression varie, quand on passe d'un point de la courbe à un autre , d'une quantité égale à l'action de la force F sur l'élément compris entre ces deux points décomposée dans le sens de cet élément.
Cas ou les forces appliquées aux voussoirs sont partout normales à la courbe d'intrados.
306. Danscecas, sin.<ç=:^ et cos.os — L équation trouvée dans le n # précédent donne
dT = o,
en sorte que la pression est constante dans toute l'étendue de la voûte.
On aura donc , en différentiant les deux équations du n° 3o3,
d y dx Td.-f = — Frfs.sio.j, Td.— = — Fds.cos. »
ds ds
d'où (en ayant égard aux valeurs de sin. <p etcos. <y)l'on déduit
Tdf = — Fds,
ou y parce que dy ( qui est l'angle de deux normales consécutives) = — ~,
T = pF, et F = — .
1 86 LEÇONS SUR LAPPLICATION
Ainsi la pression exercée d'un voussoir à 1 autre est égale à la force appliquée normalement à chaque point de la courbe d'intrados , multipliée par le rayon de courbure en ce point; et l'équilibre exige que cette dernière force ait, dans toute l'étendue de la courbe, des valeurs réciproques au rayon de courbure.
307. Si la courbe d'intrados était un arc de cercle, la force appliquée aux voussoirs , perpendiculairement à cette courbe, devrait avoir une valeur constante dans toute 1 étendue de la voûte. L'équation précédente donne la relation qui existe entre cette force, et la pression qui s'établit entre les voussoirs. On en conclut que , si la courbe d'intrados était un cercle entier , la somme des forces normales appliquées à la voûte dans toute l'étendue de ce cercle , et la pression exercée d'un \oussoir à l'autre , seraient entre elles comme la circonférence est au rayon , ou comme 2tt est à 1 .
308. On a supposé précédemment que les voussoirs pouvaient glisser sur les plans de joint , sans qu'aucune résistance provenant du frottement ou de la cohésion s'opposât à ce mouvement. En admettant l'existence du frottement et de la cohésion , il n'est plus nécessaire, pour que la voûte se maintienne en équilibre, que les forces appliquées perpendiculairement à la courbe d'intrados soient assujetties à loi indiquée n° 3o6. Mais , quelles que soient les valeurs de ces forces, la pression normale existant entre les voussoirs, qui pourra alors varier d'un point de la voûte à l'autre , se calculera toujours en chaque point au moyen de la formuleT=: pF.
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. l8y
Cas où les forces appliquées à la voûte se réduisent en
, Poids des voussoirs.
