DE L'ÉTABLISSEMENT DES VOUTES

3ig. La figure et les dimensions générales d'une voûte sont déterminées par la destination de l'édifice dont cette voûte fait partie. Ainsi Ton regarde ordinairement comme données l'ouverture de la voûte , la courbe d'intrados , la hauteur des pieds-droits, la distribution des poids que la voûte doit supporter. On se donne aussi d'avance, d'après l'exemple des constructions analogues à celle que l'on projette, et regardées comme les plus parfaites, l'épaisseur de la voûte au sommet. Cette épaisseur est conservée la même dans toute l'étendue de la voûte, ou bien on l'augmente progressivement du sommet aux naissances. Quand une voûte est projetée , on doit s'assurer qu'elle demeurera en équilibre lors du décintrement. On établit l'équilibre d'une voûte, soit en chargeant davantage les parties qui tendent à être soulevées , soit en donnant plus d'épaisseur ces parties. On doit vérifier également que les pressions exercées dans les diverses parties de la voûte ne sont pas assez considérables pour causer l'écrasement de la pierre, ou des .autres matériaux dont les voussoirs sont formés. Ces recherches, dans lesquelles consiste proprement l'établissement des voûtes, ne comportent que des applications des notions présentées dans l'article i* r .

De ï équilibre des voûtes en berceau

3^0. Considérons une voûte en berceau , composée de deux parties égales séparées par un joint vertical. L'action des poids supportés parla voûte produit perpendiculairement à ce joint, entre les deux moitiés, une pression. On pourrait supprimer une des moitiés de la voûte , et la

DE LA MECANIQUE , l". PARTIE. 197

remplacer par une force horizontale égale à la pression dont il s'agit. Si cette force horizontale est assez grande pour opérer une rupture dans la moitié restante, en la repoussant en dehors en totalité ou en partie , ou si elle n'est pas assez grande pour empêcher cette moitié de tomber en dedans , la voûte ne pourra se maintenir en équilibre. Elle s'y maintiendra dans le cas contraire. La recherche des conditions de cet équilibre comporte divers cas qui doivent être distingués et examinés à part.

ABNM (fig. 34) représentant la moitié d'une voûte en berceau , et mn étant un joint quelconque, dans lequel on suppose que la rupture peut s'effectuer, on nommera

b, b f les distances OM , ON ;

x f y les distances Ap , mp ;

x',y les distances Aq, nq;

z la longueur mn du joint;

9 l'angle que ce joint forme avec la verticale;

G le poids de la portion de voûte /n/iNM pour une

unité de longueur de cette voûte; a la distance AD du point À à la verticale passant par

le centre de gravité C de cette portion de voûte; T la pression normale exercée contre le joint mn , pour

l'unité de longueur de la voûte ;

y, R auront les significations indiquées n° 290.

3a 1. Supposant d'abord que la rupture de la voûte ne peut s'opérer que par le glissement des voussoirs le long des plans de joint , on voit facilement, d'après le n° 291 , que la force horizontale Q appliquée en NM , nécessaire pour empêcher la portion de voûte mnNM de glisser de haut en bas sur nm, a pour expresion

G(cos.O— Ain.O)— yz

Iû8 LEÇONS SUR L APPLICATION

Les valeurs (A) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte, la plus grande de ces valeurs devra être prise pour la pression que les deux moitiés de la voûte excercent Tune contre l'autre à la clef, pression que Ton désigne ordinairement sous le nom de poussée horizontale de la voûte.

On remarquera ensuite que la force horizontale Q , appliquée en MN , qui serait assez grande pour repousser la portion de voûte m/iNM, en la faisant glisser dans le sens mn, aurait pour expression

G(cos.Q+/8in. Q)+yz V sin.e— /cos.0 ( J

Les valeurs (À,) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte , on sera assuré que la voûte est en équilibre, si toutes ces valeurs sont plus grandes que la poussée horizontale , déterminée comme on vient de le dire. Dans le cas contraire, l'équilibre ne pourrait subsister.

Ainsi l'équilibre de la voûte exige que le maximum de (A) soit plus petit que le minimum de (A,).

3aa. D'après les formes et les proportions que les voûtes offrent le plus communément, le joint de rupture qui donnera la valeur maximum de l'expression (A) sera placé dans les reins de la voûte. Le joint qui donne la valeur minimum de l'expression (A,)est le plus souvent le premier joint horizontal placé au-dessous des naissances. Alors la voûte tend à se rompre de la manière indiquée fig. 35 , la partie supérieure s'abaissa nt , en même temps que les parties inférieures sont, de chaque côté, repoussées en dehors.

Il peut arriver aussi que le joint qui donne le maximum de l'expression (A) soit placé aux naissances, ou près des

DB LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 199

naissances de la voûte, tandis que le joint qui donne le minimum de l'expression (A, ) est placé près du sommet. Alors la voûte tendrait à rompre de la manière indiquée %. 36, la partie supérieure s'éleva nt, en même tempsque les parties inférieures glissent en dedans de chaque côté.

323. En admettant présentement que la rupturedc la voûte ne peut s'opérer que par l'écartement des voussoirs, tournant sur les arêtes supérieures ou inférieures des joints , on verra , d après len° 292 , que la force horizontale Q( fig. 34), appliquée au point N, nécessaire pour empêcher la portion de voûte m/iNM de tourner de haut en bas sur l'arête m , a pour expression

Les valeurs ( B) ayant été calculées pour tous les joints compris dans la demi-voûte , la plus grande de ces valeurs devra être prise pour la poussée horizontale de la voûte.

On remarquera ensuite que la force horizontale Q , appliquée en N , qui serait assez grande pour faire tourner la portion de voûte mnSM de bas en haut sur l'arête n , aurait pour expression.

Les valeurs (B,) étant calculées pour tous les joints de la demi-voûte , on sera assuré de l'existence de l'équilibre , si toutes ces valeurs sont plus grandes que la poussée horizontale. Danslecascontraire, l'équilibre n'aurait pas lieu.

L'équilibre de la voûte exige donc que le maximum de (B) soit plus petit que le mininum de (B,).

Ce que l'on vient de dire suppose d'ailleurs le maximum de (B) donné par un joint de rupture voisin du sommet ,

et le minimum de (B,) donné par un joint de rupture voisiu des naissances. Alors la voûte tend à se rompre de la manière indiquée fig. 37, les parties supérieures s'abaissant en s appuyant l'une contre l'autre par l'arête supérieure du joint placé au sommet, tandis que les parties inférieures, renversées en dehors, tournent sur les arêtes extérieures de leurs bases. Les parties supérieures portent alors contre les parties inférieures par l'arête du joint de rupture placée à l'intrados.

324. Mais la voûte, comme on l a vu n° 3i3, peut également se rompre de la manière indiquée fig. 38 , les parties inférieures tombant en dedans en tournant sur les arêtes inférieures de leurs bases, tandis que les parties supérieures sont soulevées en portant Tune contre l'autre par l'arête inférieure du joint placé au sommet. Les parties supérieures portent alors contre les parties inférieures par l'arête d'extrados du joint de rupture. Pour vérifier l'équilibre relatif à ce dernier genrede rupture, on doit remarquer que la force Q , appliquée en M ( fig. 34), qui empêcherait la portion de voûte twwNIYI de tourner de bas en haut sur l'arête m, a pour expression

Le maximum de cette expression doit être pris pour Ja poussée horizontale delà voûte.

On remarquera ensuite que la valeur nécessaire à la force Q appliquée en M, pour soulever la portion de voûte mnNM en la faisant tourner sur J'arête n , est

Q- j^zp • M

L'équilibre exige donc ici que le maximum de {b) soit plus petit que lemininumde (6.)

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 201

3a5. On a supposé, dans le n° 32 1, queJa rupture de la voûte devait s opérer seulement par glissement , et dans lesn 01 323 et 324 que cette rupture devait s opérer seulement par écartement. La rupture peut aussi avoir lieu en partie par glissement, et en partie par écartement. Le cas le plus ordinaire est celui où la voûte tend à se rompre de la manière indiquée n° 323, fig. 37 ; et il arrive aussi quelquefois que les parties supérieures s'a baissant comme le représente cette figure, les parties intérieures sont repoussées de la manière indiquée fig. 35. Il est évident que, pour prévenir ce mouvement, le maximum de l'expression (B) doit être rendu moindre que le minimum de l'expression (A,). Les autres cas de rupture se présenteront très-rarement , et il est inutile de vérifier l'équilibre qui leur est relatif pour la plupart des voûtes que Ton peut avoir à construire. 1

On aura d'ailleurs égard à toutes les combinaisons possibles , en remarquant que l'équilibre exige i° que les expressions (A) et (B) soient, dans toute l'étendue de la voûte, plus petites que (A,) et (B,); 2° que les expressions (A) et (b) soient , dans toute l'étendue de la voûte, plus petites que (A,) et (b,).

Si Ton veut négliger les résistances provenant du frottement et de la cohésion , on supposera dans les formules précédentes/, y, R égaux à zéro. Dans le cas contraire, on évaluera ces quantités d'après les résultats rapportés n°' 25 et suivans, 280 et suivans.

3 26. Lorsque la voûte est élevée sur des culées ou piedsdroits dont chaque assise est formée d'une seule pierre, tout ce qui vient d'être dit doit être appliqué, eu regardant les culées ou pieds-droits comme faisant partie de la voûte.

327. D'après ce qui précède, le procédé que l'on doit suivre pour vérifier l'existence de l'équilibre dans une

voûte, consiste (a), dans la presque totalité des cas qui peuvent se présenter, i° à chercher la valeur de la poussée horizontale Q appliquée en N (Fig. 34), en supposa ut diverses positions au joint de rupture mn dans les reins de la voûte, et s arrêtant à la position pour laquelle l'expression du n° 3a3,

' ou simplement (en négligeant l'adhésion des mortiers)

donne la plus grande valeur (£).

{a) Le procédé que l'on indique ici , fondé sur les notions exposées dans les numéros précédens , est conforme à la théorie donnée par Coulomb , dans les Mémoires des savans étrangers présentés à l'Académie des sciences , 1773. M. Audoy a remarqué , dans le n° 4 du Mémorial de l'officier du génie, que les conditions d'équilibre obtenues par ce procédé ne différaient point de celles que l'on trouve par les méthodes moins simples exposées dans le Recueil d'expériences et d'observations de M. Boistard , et dans le Traité de la construction des ponts de M. Gauthey.

(b) Lorsqu'on néglige l'adhésion des mortiers , la recherche du joint de rupture mn (fig. 34 ), c'est-à-dire du joint auquel répond

la valeur maximum de l'expression Q — - G — , peut être facilitée au moyen de la proposition suivante. Admettons que la rupture doit s'opérer , non pas suivant le joint normal mn, mais suivant une ligne verticale passant par le point //t, et désignons par <j> l'angle qu'une tangente menée à la courbe d'intrados forme avec la verticale : on aura au point de rupture m la relation tang. ? = « — x

Ainsi l a tangente menée à la courbe d'intrados au point de

2° A examiner si l'action de la poussée horizontale , ainsi déterminée , est assez grande pour renverser en dehors , en la faisant tourner sur l'arête des voussoirs , une partie de la demi-voûte ABNM, ou la totalité de cette demi-voûte. On reconnaîtra généralement, à la seule inspection, que la poussée horizontale renverserait plus facilement la demi-voûte entière qu' une portion de cette demivoûte. Ainsi on devra faire la vérification dont il s'agit en supposant la rupture dans le premier joint AB ; c'està-dire s assurer que l'expression

^ G(«-y) + -iIU '

ou, en négligeant l'adhésion des mortiers,

calculée pour ce joint, est plus grande que la poussée horizontale.

3° A examiner si la poussée horizontale peut faire glisser sur les plans de joint une partie ou la totalité de la demi-voûte; c'est-à-dire à s'assurer que l'expression

G(co».0+/sio.0)4 7 z ^ sin.ô— /cos.ô

ou , en négligeant l'adhésion des mortiers ,

sin.9 — /cos. ô'

rupture m, et la verticale CD passant par le centre de gravité du poids G de la partie supérieure de la voûte, doivent se rencontrer en un point de l'horizontale menée par le point N. Cette proposition a été donnée par MM. Lamé et Clapeyron. Mémoire sur la stabilité des voûtes , Annales des Mines , tome 8 , i8*3.

calculée pour un joint quelconque voisin de la naissance delà voûte, est plus grande que la poussée horizontale. Si ce joint était horizontal , l'expression précédente deviendrait simplement

ou , en négligeant l'adhésion des mortiers,

On pourra s'aider , pour la recherche de la situation du joint de rupture et de la poussée horizontale , des résultats rapportés n°* 3 1 4 et suivans. Dans les voûtes en arc de cercle et en plate-bande, la position du joint de rupture est connue d'avance, et la valeur de la poussée horizontale peut être calculée immédiatement.

Lorsque le résultat du calcul a fait connaître que la voûte projetée ne serait pas en équilibre ,on doit augmenter l'épaisseur au sommet, ou la largeur des pieds-droits, ou les poids dont ils sont chargés. Si le défaut d'équilibre provenait de ce que les parties inférieures sont exposées à glisser sur les plans de joint, on pourrait y remédier sans augmenter le volume de la maçonnerie , soit en interrompant les joints par des pierres posées debout , soit en inclinant en dedans les plans de joint , soit enfin en liant les parties de la maçonnerie par des armatures en fer.

3a8. Lorsque les parties inférieures de la voûte , ou les culées ou pieds-droits sur lesquels elle est établie, ne sont pas formés avec des pierres qui en occupent toute l'épaisseur, il est nécessaire d'avoir égard à la possibilité d'une rupture dans la maçonnerie de ces pieds-droits, conformément à ce qu'on a vu n°' 2 1 1 et suivans. Par exemple , dans la voûte dont la Gg. 39 représente la moitié, on sait d'avance que la rupture tend à s'opérer suivant mno. On

DE LA MÉCANIQUE, l'\ PARTIE. 3o5

calculera donc la poussée horizontale Q , d'après la condition que cette force , appliquée en N , empêche la partie TW/ioNM de tourner sur l'arête m. Pour s'assurer ensuite que la poussée Q, ainsi déterminée, ne peut opérer le renversement du pied-droit en le faisant tourner sur l'arête B, on doit regarder ce pied-droit comme pouvant se diviser suivant une ligne inclinée Bl, et établir les conditions d'équilibre de la masse ABCNM, soumise à l'action de la force horizontale Q qui tend à la faire tourner sur l'arête B , en se conformant à ce qui a été fait dans les n" cités.

Si la force de cohésion du mortier , dans la maçonnerie de la culée , était supposée très- petite ou nulle, on devrait admettre immédiatement (conformément aux n*' 214 et 21 5) que la rupture du pied-droit aura lieu suivant la direction Bpm , et ne tenir aucun compte de la portion de maçonnerie ABpm.

329. Lorsque la fondation d'une voûte est établie sur un terrain compressible , on doit avoir égard aux considé^ rations exposées n°* 257 et suivans. Ainsi , pour la voûte dont on vient de parler, la largeur «S de la fondation devrait être déterminée par la condition que le moment du poids de la masse de maçonnerie aSCNMm, pris par rapport au milieu de aê , fût égal au moment de la poussée horizontale Q , pris par rapport au même point.

Des pressions exercées contre les plans de joint dans

les voûtes en berceau.

33o. Supposant que la valeur de la poussée horizontale Q ait été calculée conformément au n° 327, et conservant les dénominations du n° 320 , qui se rapportent à la fig. 34 , on aura

T = G sin. 0 -|- Q cos. 0

pour la valeur de la pression exercée normalement contre un joint quelconque mn. Cette pression , pour un joint horizontal tel que AB , se réduit à

représentant le poids de ABNM. Pour le joint vertical MN , elle se réduit , comme cela doit être , à

33 1. La connaissance de la valeur des pressions exercées perpendiculairement aux plans de joint ne suffit pas pour vérifier que ces pressions ne sont pas assez grandes pour causer l'écrasement de la pierre. Il faudrait connaître de plus la manière dont les pressions peuvent être réparties dans la hauteur mn des plans de joint. Considérons une voûte dans laquelle la rupture tend à s'opérer de la manière indiquée fig. 3^, et qui est en équilibre, en sorte que si l'on diminuait un peu la largeur des piedsdroits, la rupture aurait lieu; et regardons les voussoirs comme des corps parfaitement durs appliqués les uns contre les autres. La pression qui s'exerce contre le joint MN ( Fig. 34) , et qui est la poussée horizontale Q, sera évidemment appliquée contre l'arête supérieure N. Si était le joint de rupture, la pression exercée contre ce joint serait aussi évidemment appliquée contre l'arête m. Enfin la pression exercée contre le dernier joint AB le sera évidemment contre l'arête B. Quant aux joints intermédiaires, on doit admettre qu'aux joints voisins de MN et AB, la pression est appliquée contre les arêtes supérieures; et qu'aux joints voisins du joint de rupture, la pression est appliquée contre les arêtes inférieures. On distinguerait les joints intermédiaires entre ceux où la pression est appliquée à l'arête supérieure , et ceux où elle

DE LA MÉCANIQUE, I re . PARTIE. 207

est appliquée à l'arête inférieure , par la condition que la résultante des deux forces G et Q , qui produisent cette pression , passe a égale distance des arêtes supérieure et inférieure.

332. Dans la réalité les voussoirs n'étant pas des corps parfaitement durs, on ne peut admettre que les pressions s'exercent ainsi contre des arêtes. Cela n'empêche pas que Ton ne puisse calculer , avec une exactitude suffisante, l'équilibre des voûtes d'après les règles énoncées précédemment; mais il parait nécessaire d'avoir égard à l'élasticité de la matière des voussoirs, pour évaluer les efforts auxquels les parties de la pierre sont exposées. Cette question serait un cas particulier d'une question plus générale, qui consiste à déterminer les effets qui se produisent dans un corps élastique de Ggure quelconque, soumis à l'action de diverses forces. La solution de ce dernier problème ne pouvant être donnée ici, on cherchera à déterminer les efforts dont il s'agit d'après des suppositions qui paraissent s'éloigner très-peu des effets naturels, et qui sont propres à donner des limites, dont la connaissance est très-utile pour l'établissement des constructions.

Supposons, comme dans le n° précédent, la voûte en équilibre, et la rupture prête à s'opérer de la manière indiquée fig. 37. Les joints pour lesquels il importe le plus de connaître la valeur de la pression supportée par la pierre sont les joints de rupture , savoir les joints extrêmes MN et A13 (Fig. 34), et le joint de rupture placé dans les reins, que nous supposerons être mn.

En considérant d'abord le joint MN, et remarquant que, la voûte étant prête à se rompre , ce joint tend a s'ouvrir en M, nous admettrons i° que les deux voussoirs séparés par ce joint ne pressent point l'un contre

30Ô LEÇONS StR ^APPLICATION

l'autre par l'arête inférieure M; a° que, par l'effet de L'élasticité de la matière dont ils sont formés, ils se sont un peu comprimés en s'appuvant l'un contre l'autre, de manière que la compression, qui est nulle à l'arête M , augmente uniformément depuis cette arête jusqu'à l'arête supérieure N; 3° que les élémens de la hauteur du joint résistent avec des forces proportionnelles aux compressions qu'ils subissent, et qui augmentent aussi uniformément, depuis l'arête M où elles sont nulles, jusqu'à l'arête N où elles sont à leur maximum. Cela posé, nommant

K la pression maximum qui s'exerce contre l'arête N, la valeur de cette pression étant rapportée à l'unité de surface;

v la distance d'un point quelconque de MN à l'extrémité inférieure M;

c la hauteur totale MN de ce joint ;

on aura ^ vdç pour la pression qui s'exerce contre Té-

lément dv de la hauteur du voussoir placé à la distance v de l'arête inférieure. Or les pressions exercées contre tous les élémens doivent être telles que la somme de leurs momens, pris par rapport à l'arête m , soit égale au moment du poids G de la portion de voûte mrîNM , pris par rapport à la même arête. Cette somme de momens étant

— I d».\>{ 6—^4-1»). ou ? K [3 - y)c+*c' *

on a donc l'équation

iK[i{6-r)tf+^] = G(>-*).

doù

K 6G(« — x) 3 (A— yjc+ac'

DE LA MECANIQUE, J re . PARTIE. 209

On pourra calculer , au moyen de cette formule , la valeur de la plus grande pression à laquelle la pierre est exposée à la clef d'une voûte sur l'unité de surface, et vérifier, d'après ce qui a été dit n°* 174 et suivans,si cette pierre a la force nécessaire pour y résister.

333. Nous remarquerons ici que, dans les hypothèses qui viennent d'être établies , on doit prendre pour la poussée horizontale de la voûte la somme des pressions exercées dans la hauteur du joint MN. En désignant cette somme par Q', on aura

dv. v = \ K c ;

et en mettant pour K la valeur précédente,

3G(«-.r) î{b-y)+ic

Le point d'application de la résultante Q' est aux ^ de la hauteur du joint, à compter de l'extrémité inférieure M. Cette nouvelle valeur de la poussée horizontale surpasse un peu la valeur désignée ci-dessus par Q, c'est-à-dire

V b-jr+c'

et qui est calculée en supposant cette poussée appliquée en N. Il est plus exact , pour vérifier l'équilibre de la voûte, de prendre la force Q pour la poussée horizontale; mais les résultats différeront généralement très -peu de ceux que l'on obtiendrait en regardant cette poussée comme représentée par la force Q , conformément au n° 327.

334. En considérant maintenant le joint de rupture mn , on admettra également que la pression est nulle

3l 0 LEÇONS SUR INAPPLICATION

à l'arête supérieure m , où le joint tend à s ouvrir , et qu'elle augmente uniformément depuis cette arête jusqu'en n, où cette poussée est à son maximum, z désignant toujours îa hauteur mn du joint, K la valeur maximum de la pression , v la distance d un point quelconque de m n à l'extrémité supérieure «, on aura comme

ci-dessus £^ pour la pression supportée par un élé-

ment de la hauteur du voussoir. La condition à laquelle les pressions supportées par les divers élémens sont assujetties, est ici que leur somme soit égale à la pression normale exercée contre le joint par le poids G de la portion de voûte /n/iNM, et par la poussée ho-

KÇ Z

vizontale Q. Cette somme étant - I vdv , o\i- t Kz , on

a donc l'équation

i Kz = Gsin. e + Q' cos. G ;

ou

2 (G sin. G JY.=

2 (Gsin.Q+Q' cos. 6) K — —————— — ^— ,

formule qui fera connaître la valeur de la plus grande pression normale à laquelle la pierre est exposée sur l'unité de surface , dans le joint de rupture. Cette valeur est double de celle qu'on trouverait , en supposant L'effort uniformément réparti dans toute la hauteur du joint.

335. En considérant enfin le joint AB, et admettant les suppositions indiquées dans le n° précédent , on reconnaît que l'expression prédécente de K convient également à ce joint. G représente alors le poids total de la demi-voûte ABNM; et si le joint dont il s'agit est horizontal , on a simplement

DE LA MÉCANIQUE, I re . PARTIE. 211

336. A l'égard des joints intermédiaires entre les joints de rupture, les hypothèses précédentes ne peuvent pas s'y appliquer généralement avec exactitude ; parce que lors même qu'une voûte est prête à se rompre, comme nous le supposons ici, ces joints ne tendent pas toujours à s'ouvrir, en sorte que l'on ne peut supposer nulle la pression exercée contre l'arête inférieure ou contre l'arête supérieure du joint. Pour les joints dont il s'agit, la pression se répartit d'une manière moins inégale dans toute la hauteur du plan de joint. Par conséquent si, en n'ayant point égard à cette remarque, on calculait pour ces joints la valeur de K par la formule du n° 334, ^ e résultat surpasserait la véritable valeur de la pression normale à laquelle la pierre serait exposée. On conçoit d'ailleurs, à moins que la figure de la voûte ne soit très-irrégulière, que si la pierre a une résistance suffisante à la clef, au joint de rupture, et aux joints inférieurs des pieds-droits, elle l'aura à plus forte raison dans toutes les autres parties de la voûte.

337. On a supposé n° 332 que la voûte était en équilibre , ou prête à se rompre, et cette supposition était nécessaire pour que l'on pût regarder les joints de rupture comme prêts à s'ouvrir. Dans la réalité les voûtes ont toujours un excès de stabilité, au moyen duquel aucun joint ne s'ouvre, si ce n'est par l'effet de la compression des mortiers, circonstance dont on fait ici abstraction. La valeur de la poussée horizontale doit toujours se calculer d'après les règles établies précédemment. Les voussoirs se trouvant partout maintenus en contact sur toute la hauteur des plans de joint, on n*est plus assuré d'être d'accord avec les eflets naturels en supposant la pression nulle à l'arête inférieure ou à l'arête supérieure

du joiut , et l'on doit penser au contraire que la pression s'exerce sur toute la hauteur du joint, quoique moins fortement près de l'arête où le joint s'ouvrirait, si la voûte pouvait se rompre. La valeur totale de la pression exercée contre les plans de joint ne peut jamais surpasser d'ailleurs celle que Ton calculerait par les formules du n° 33o. On conclut de ces remarques que, si Ton appliquait à une voûte où il y a excès de stabilité les formules des n°" 33a et 334 » ^ es valeurs de K ainsi obtenues surpasseraient toujours celles des pressions exercées, et donneraient de* limites dont les véritables pressions seraient d'autant plus éloignées que l'excès de stabilité de la voûte serait plus grand. Les moindres valeurs qu'il soit possible d'attribuer à K sont d'ailleurs celles que Ton obtiendrait en supposant les pressions uniformément réparties dans la hauteur des joints.

338. Lorsque les voussoirs ne* sont pas posés immédiatement les uns contre les autres, et lorsque l'on décintre une voûte avant que les couches de mortier interposées dans les joints aient acquis une dureté suffisante, il peut y survenir des tassemens qui fassent ouvrir un certain nombre de joints près des points de rupture. Dans cette circonstance, la pierre peut être exposée à des efforts plus grands que ceux qui seraient calculés d'après les n°* 33a et 334, parce que la pression doit être regardée comme nulle, non-seulement à Tune des extrémités du joint, mais sur une certaine portion de la hauteur de ce joint. Ces effets, que Ton doit tâcher de prévenir, seraient difficilement ramenés à des termes précis, et soumis à un calcul exact.

DK LA MÉCANIQUE, l r «. PARTIE. 2l3

De l'usage des tirans de fer pour consolider les voûtes

en berceau.

339. Lorsque les pieds-droits d'une voûte ont trop peu de largeur pour quelle se maintienne en équilibre, cette voûte peut être consolidée au moyen de tirans en fer, placés dans les reins. L'usage de ces tirans est très-commun en Italie, où Ton en voit dans les édifices le plus magnifiques. Supposons que la voûte représentée fig. 4<> tend à rompre dans le joint mn , les parties supérieures s'abaissant en s'appuyant Tune contre l'autre par l'arête N , et renversant les parties inférieures, contre lesquelles elles portent par les arêtes m, et qu'elles tendent à faire tourner sur les arêtes B. On préviendra la rupture de celte voûte en liant les deux moitiés par un tirant horizontal. Il convient de placer ce tirant immédiatement au-dessous du joint de rupture mn. En effet, quand là voûte commence a se rompre, les points m sont ceux qui parcourent horizontalement le plus grand espace. Or on peut s'opposer à cette rupture au moyen d'une force horizontale, dont le moment, c'est-à-dire le produit de la force et de l'espace parcouru dans le sens de cette force par son point d'application , doit avoir une valeur déterminée, pour rendre nulle la somme des momens des forces qui agissent sur chaque moitié de la voûte. On doit donc appliquer cette force dans la direction mm , puisque Fespace parcouru par le point d'application étant alors le plus grand possible, la force sera la moindre possible.

On connaîtra d'ailleurs la tension qui peut s'établir dans le tirant, eu remarquant que le moment de cette tension ajouté au moment du poids de la demi-voûte ABMN, doit être égal au moment de la poussée horizon-

2l4 LEÇONS SUR INAPPLICATION

taie qui s'exerce en N ; tous ces momens étant pris par rapport à l'arête B.

340. Lorsque l'épaisseur d'une voûte et de ses pieds-droits est très-petite par rapport à l'ouverture, il est possible qu'un seul tirant ne suffise pas pour en prévenir la rupture. On s'en assurera en considérant à part les portions de voûte ABmn, mnISM, et appliquant à chacune les règles énoncées précédemment. Si ces portions de voûte n'étaient pas en équilibre, on devrait y placer de nouveaux tirans, à la hauteur des joints où la rupture tendrait à s'opérer, en déterminant, d'après ce qui vient d'être dit, les efforts auxquels ces tirans se trouveraient exposés.

341. Lorsque des tirans sont employés de cette manière, il peut arriver que, par suite d'une élévation dans la température, le tirant soit détendu, et cesse d'exercer l'effort nécessaire; et que par suite d'un abaissement dans la température ce tirant soit tendu trop fortement, et exposé à se rompre. Pour rechercher les moyens de prévenir ces effets , on nommera

a) l'aire de la section transversale du tirant;

T la plus petite valeur de la tension que ce tirant doit

supporter pour faire la fonction à laquelle il est

destiné;

t la teusion qu'on lui fait supporter quand on le met en place;

R' la plus grande valeur de la tension, rapportée à l'unité de surface , à laquelle le tirant peut être exposé sans risquer de le faire rompre ;

Y la plus haute température à laquelle le tirant sera exposé, exprimée en degrés du thermomètre;

v la température qui a lieu quand on met le tirant en place ;

DE LA MÉCANIQUE, l'V PARTIE. 2l5

V Ja plus basse température à laquelle le tirant sera

exposé ;

à la dilatation linéaire de la substance du tirant pour un degré du thermomètre.

£ aura la signification indiquée n* 77.

Nous rappellerons d'ailleurs que les substances suivantes s'allongent ou s'accourcissent par une variation de température de ioo° du thermomètre centigrade, savoir

fer forgé, de 0,00112

fer fondu 0,00 1 1 1

bois de sapin 0,0008

pierre , environ (a). o,ooo5

Lorsqu'on met le tiraof en place, et qu'on lui fait supporter la tension sur l'unité de surface de sa section

transversale , on l'allonge de la fraction de sa longueur primitive. La température s'élevant de V — v degrés, ce qui produit l'allongement V — y), il se détend, et l'effort qu'il exerce est réduit h t — 3](V — v) Eo>. Ainsi l'on doit avoir

De même la température s'abaissant de v à V, le tirant subira un accourcissement égal à 8 (y — V), et sa tension deviendra t + $ (e — V'). E«. On doit donc avoir également

{a) Notice »ur la dilatation de la pierre , par M. Destigny. Journal du génie civil , tome 2, page 227.

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