V-V'=ou

Les valeurs qui doivent être attribuées à E et à rV pour le fer forgé ont été indiquées n°* 102 et 182.

343. On a supposé ci-dessus que la distance des deux points où les extrémités du tirant étaient scellées ne variait point par l'effet des cbangemens de la température. S'il en était autrement, il faudrait mettre dans les formules pour à non pas la dilatation de la substance du tirant , mais la différence des dilatations respectives du tirant et du corps dans lequel il est scellé.

De l 'équilibre des voûtes en dôme.

344- L'équilibre des voûtes en dôme diffère principalement de l'équilibre des voûtes en berceau, en ce que, dans ces dernières , le renversement comporte seulement les disjonctions dans les joints indiquées dans les n°* précédens. Il n'est pas nécessaire , pour que la voûte se rompe ,

DE LA MÉCANIQUE , l" PARTIE. 21*]

qu'il se forme aucune autre disjonction , suivant des plans perpendiculaires à la longueur de cette voûte. Une voûte sphérique, au contraire , ne peut être renversée, sans que les joints ne s'ouvrent comme dans les voûtes cylindriques, et en outre sans qu'il ne se forme des lézardes dans la direction des plans méridiens. La formation c|e ces lézardes exige que la cohésion des mortiers soit détruite. La rupture de la voûte exigerait de plus une sorte de désunion et de déplacement relatif des pierres voisines, tels que , si ces pierres étaient grandes , appareillées avec soin , et posées à joints croisés, elles devraient être en parties cassées pour que cette rupture pût avoir lieu. Il est difficile d'évaluer avec une exactitude suffisante l'effet de la cohésion des mortiers, et surtout l'effet de la résistance des pierres. Mais il parait convenable de n'avoir pas égard à ces deux circonstances lors de rétablissement d'une grande voûte (a). Nous regarderons ici une voûte sphérique comme partagée en un grand nombre de parties séparées par les plans méridiens , et n'ayant entre elles aucune liaison.

(a) Il résulte des calculs des PP. Lesueur, Jacquier et Boscowich , que , abstraction faite de l'adhésion des mortiers, le moment des forces agissantes pour le renversement de la coupole de Saint-Pierre de Rome , est au moment des forces résistantes, dans le rapport de 3 à 2 environ. ( Parère di ire matematici sopra i danni che si sono trovati neUa cupola di S. Pietro al fine deW anno 174a. ) Cette coupole est presque entièrement construite en brique , avec du mortier du pouzzolane. L'adhésion des matériaux, a suffi long-temps pour maintenir l'équilibre. Mais des lézardes , produites par de petits mouvemens imprimés par la chute de la foudre et les tremblemens de terre , s'étant multipliées et ayant augmenté peu à peu, les progrès de ces dégradations ont du être arrêtés en entourant les parties inférieures du dôme par des cercles en fer.

3l8 LEÇONS SUR L APPLICATION

345. D'après cela , tout ce qu'on a dit ci-dessus sur l'équilibre des voûtes en berceau pourra s'appliquer aux voûtes en dôme , avec cette seule différence qu'au lieu de considérer des portions de voûte comprises entre des plans verticaux parallèles, on devra considérer l'assemblage d'un très-grand nombre de portions de voûte , comprises entre des plans verticaux qui forment entre eux un trèspetit angle, et se coupent suivant l'axe du dôme. L'équilibre de chacune de ces portions de voûte devra être vérifié, d'après les règles exposées précédemment. Mais il est indifférent de considérer à part une de ces portions , ou d'établir le calcul en considérant à la fois la totalité du dôme. La fig. 41 représentant le plan d'une voûte sphérique, on peut également vérifier l'équilibre d'une portion BOB' comprise entre deux plans méridiens trèsvoisins , ou celui de la moitié ftBB'6' de cette voûte. En adoptant ce dernier parti , on imaginera que la demi-circonférence bBB'b' a été développée en gBB'ê', et que tous les autres élémens demi-circulaires de la voûte ont été également développés sur les arêtes du cylindre horizontal, qui les toucherait dans la section méridienne projetée en BOB'. Il en résultera une portion de voûte en berceau, comprise entre les plans verticaux êOê' , 60 S 7 , à laquelle on appliquera les règles exposées dans dans les n°'3ao et suivans. On remarquera d'ailleurs, en déterminant le poids et la position du centre de gravité des diverses parties, que cette portion de voûte est contenue entre deux plans verticaux inclinés par rapport à l'axe du cylindre, en sorte que les élémens horizontaux ont d'autant moins de longueur qu'ils sont plus voisins du sommet , où leur longueur est nulle.

Il est évident que s'il existe des portes ou des fenêtres dans les parties inférieures du dôme, on doit supposer

DE LA MÉCANIQUE, I ra . PARTIE. 2 1$

des vides correspondans dans la portion de voûte en berceau 6 OS', dont les conditions d'équilibre sont les mêmes que celles de ce dôme.

346. Lorsqu'une voûte en dôme est en équilibre , on peut la couper suivant un plan horizontal , et en retrancher la partie supérieure, sans que l'équilibre cesse de subsister. Si , par exemple , on a enlevé la portion mwNM (Fig. 34 ), et que l'on considère la partie restante Aftnm d'une portion du dôme comprise entre deux plans méridiens très-voisins, il peut arriver, ou que cette portion se soutiendrait d'elle-même , ou qu'il serait nécessaire, pour qu'elle se soutînt , que l'on appliquât une force horizontale en n. Dans le dernier cas, il s'établit entre les voussoirs, vers l'extrémité supérieure de la partie restante ABmn , et perpendiculairement aux joints verticaux, des pressions horizontales qui n'existent point lorsque la voûte est entière.

347. Si une voûte en dôme était efiectivement formée d'un grand nombre de parties séparées par les plans méridiens, et sans liaison entre elles, on ne pourrait la couper suivant ces plans et en supprimer une partie, sans

en causer la rupture. Ainsi les grandes niches, ou hé- # micycles, ne se soutiennent que par l'effet de la liaison , des matériaux , ou parce que le mur de face offre un&*"*^ * stabilité suffisante pour résister à l'action latérale de hr c demi-voûte. ffiBS**!*

LEÇONS SUR LAPPLICATION

De Vusagc des ceintures en fer pour consolider les

voûtes en dôme.

348. L'utilité de ces armatures est prouvée par un grand nombre d'exemples (a). Les considérations qui ont été présentées n° 33g montrent que les cercles doivent être placés de préférence à la hauteur du joint de rupture. En désignant par t la tension d'un cercle , cette tension produit l'effet d'une force horizontale égale à

qui serait distribuée uniformément dans tous les points de la circonférence du cercle, et perpendiculairement a cette circonférence. Par conséquent si , pour calculer l'équilibre d'une voûte en dôme, on la concevait remplacée par une voûte en berceau, de la manière expliquée n° 345, il faudrait concevoir les deux moitiés de cette voûte réunies l'une à l'autre par un ou plusieurs tirans, dont la tension , ou la somme des tensions , serait égale kit t.

La proposition précédente se conclut de ce qui a été dit n° 307. On peut s'en rendre raison directement, en , remarquant que, d'après le principe des vitesses virtuel-

, les , l'équilibre des forces appliquées dans le sens des

v ' ' rayons et de la force appliquée dans le sens de la circon-

, , . , . (a) Voyez le deuxième livre des Memorie istoriche délia gran ,* • cupola del tempio Vaticano , de Poleni , où l'auteur cite plusieurs dômes réparés et consolidés au moyen de cercles en fer. Le dôme intérieur et le cône qui supporte la lanterne , à Saint-Paul de Londres , sont consolidés de la même manière. On a également entyktyé des cercles en fer pour contenir la voûte intermédiaire du dôme du Panthéon à Paris. Rondelet , Art de bâtir , tôme 4 > page 5a 7 .

férence , exige que les premières soient à la seconde comme une variation très-petite de la circonférence est à une variation correspondante du rayon; c'est-à-dire comme la circonférence est au rayon.

Les considérations exposées n" 34<> , 34 1 et suivans , s'appliquent également aux cercles employés pour consolider les dômes.

De Vequibre des voûtes en arc de cloître et des voûtes

d'arête.

349. Les figures 42 et 43 représentent Je plan d'une voûte en arc de cloître , élevée sur une base polygonale. On peut supposer cette voûte partagée, par des plans verticaux passant par les angles du polygone, en parties qui ne sont pas liées les unes aux autres ; et considérer à part deux parties opposées, BOB', BOB', comme une portion de voûte en berceau. On appliquera à cette portion de voûte les règles exposées dans les n°' 3ao et suivans, en ayant toujours égard , dans l'évaluation des volumes et la détermination des centres de gravité , à ce qu'elle est comprise entre des plans inclinés par rapport à Taxe du berceau. Dans la réalité les parties de la voûte sont liées entre elles, soit par l'adhésion des mortiers , soit parce qu'on place ordinairement dans les arêtes des chaînes en pierres plus fortes , qui devraient être désunies et cassées pour que la rupture s'opérât. L'effet de ces liaisous est ici plus sensible qu'il ne l'est dans les dômes, et d'autant plus que la base de la voûte est un polygone d'un moindre nombre de côtés. Mais cet effet n'étant pas de nature à être évalué avec exactitude, il ne paraît pas que l'on doive y avoir égard , surtout dans l'établissement d'une grande voûte.