DE L ÉQUILIBRE ET DE L'ÉTABLISSEMENT DES CONSTRUC- TIONS EN CHARPENTE
353. Les constructions en charpente consistent généralement clans un système de pièces assujetties les unes aux autres , aux extrémités seulement , ou dans divers points de leur longueur. Ces constructions offrent des propriétés différentes , suivant qu'elles sont supportées pardessous, ou suspendues à des points fixes plus élevés que la construction. Il est toujours nécessaire que l'équilibre du système soit stable ; mais , dans le premier cas , cette condition exige que la figure de ce système soit invariable ; dans le second cas , l'équilibre sera toujours stable, lors même que la construction serait parfaitement flexible.
Le principe le plus général dont on puisse faire dépendre la disposition d'un système de charpente , consiste en ce que les pièces principales doivent être placées suivant des lignes droites tracées des points où s'exercent les efforts aux points d'appui. Dans une construction ainsi disposée, les efforts quelle supporte ne tendent point à en changer la figure eu faisant tourner les pièces sur les assemblages placés à leurs extrémités. Ce principe est principalement applicable aux constructions soutenues par-dessous.
354. Chaque pièce d une construction en charpente doit offrir une résistance proportionnée aux efforts qu'elle peut avoir à supporter.
On se formera une idée précise du degré de résistance qu'une pièce doit présenter si Ton remarque que l'effet
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d'un changement de iigure quelconque subi par une pièce, en vertu des actions auxquelles elle est exposée, est toujours d allonger ou d'accourcir dans une certaine proportion les fibres de cette pièce. Si rallongement ou raccourcissement étaient trop considérables, la pièce romprait, ou par une disjonction, ou par un écrasement. Les allongemens ou accourcissemens dont il s'agit doivent toujours être beaucoup moindres que ceux qui amèneraient la rupture ; mais on doit , dans tous les cas , les regarder comme donnant la mesure de la fatigue à laquelle la pièce est exposée. D'après cela , dans chaque cas particulier, la question se réduit à examiner, étant donné une pièce et les efforts qu'elle doit supporter, dans quelle proportion les fibres sont le plus allongées ou le plus accourcies. Si cet allongement ou cet accourcissement répond a une tension ou une à compression qui ne dépassent point les limites indiquées dans l'article VII de la première section ( n 0 ' 173 et suivans ) , on est assuré que la pièce aura la force demandée.
ARTICLE PREMIER
DE LA RÉSISTANCE d'une PIÈCE PRISMATIQUE POSÉE HORI- ZONTALEMENT, CHARGÉE ET SUPPORTÉE DE DIVERSES MA- NIÈRES.
355. Les résultats présentés dans les n° s 86 et suivans font connaître les conditions de l'équilibre pour une pièce prismatique , dans les cas 2e plus simples. Cette pièce étant encastrée à une extrémité (Fig. 5 et 7 ) , chargée à l'autre extrémité d'un poids P , et sur chaque unité de la longueur d'un poids p, on a ( n 0 ' 86 et 89 )
328 LEÇONS SUH INAPPLICATION
pour rabaissement BM de l'extrémité libre; a étant la longueur AM , et i le moment de résistance à la flexion dont l'expression générale est donnée n° 80.
356. Lorsqu'une pièce est posée librement sur deux appuis ( Fig. 6 et 8 ) , chargée au milieu du poids aP, et sur chaque unité de longueur d'un poids p , on a ( n°* 87 et 90 )
Pu» -5«* /= 7'3 +< ^
pour l'abaissement CA du milieu du solide; a étant la moitié A M de l'intervalle des appuis.
357. Les résultats présentés dans les n 0i . 121 et suivans lont connaître les conditions de l'équilibre pour une pièce prismatique chargée de la même manière, dans le cas de la rupture. D'après les n°* 121 et 122, 124 et 125, lorsqu'un solide est encastré horizontalement à une extrémité, chargé à l'autre d'un poids P, et sur chaque unité de longueur du poids p; ou bien quand un solide est posé horizontalement sur deux appuis , chargé au milieu du poids 2P, et sur chaque unité de longueur du poids p; on a également (en négligeant la considération delà courbure du solide )
a représentant la longueur du solide dans le premier cas, ou la moitié de l'intervalle des appuis dans le second, p est le moment de résislanceàla rupture, dont l'expression générale est donnée n 0 ' 1 13 et 114.
358. Jx>rsque la figure que prend un solide prismatique par l'eftct de la flexion est connue , on eu déduit immédiatement les conditions de l'équilibre relatives au cas de la rupture. Le solide tend à se rompre dans le. point où la courbure est le plus grande ; et quand il
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est prêt a se rompre le moment de la résistance à la flexion , en ce point , est égal au moment de la résistance à la rupture. Ainsi les conditions d équilibre dont il s'agit s'obtiennent en égalant p à la valeur maximum
de e— 4; x ^ y étant l'abscisse et l'ordonnée de la
dx 2
courbe du solide , e ayant la signification indiquée n° 80 , et p la signification indiquée n° 1 13.
Equilibre d'une pièce posée sur deux appuis, et chargée en un point quelconque de fintervalle des appuis.
35g. On suppose quun solide MM' (Fig. 46), posé sur deux appuis placés sur une même ligne horizontale , est chargée d'un poids 2P suspendu au point B, qui n'est pas placé au milieu de l'intervalle des appuis. Il s'agit de connaître les conditions d'équilibre du solide par rapport à la flexion et par rapport à la rupture. On nommera
a la moitié CM de l'intervalle des appuis; z la distance CD; x l'abscisse B/> ; y l'ordonnée mp; y l'abaissement BD du point B; ça l'angle que la tangente à la courbe du solide forme
au point B avec l'horizon, e aura la signification indiqué n° 80 ; p aura la signification indiquée n° 1 1 3.
Les composantes du poids aP, représentant les efforts exercés sur les appuis M et M*, sont respectivement
P — — et P ;
et chaque partie BM, BM' du solide est fléchie de la même manière que si , étant encastrées en B , elles étaient sollicitées aux extrémités M et M' par ces composantes. On aura donc ici, comme au n° 86, pour la partie BM
d*y P a+z ,— = — ■- — (a — z — x) , dx 1 i a
dy P fl+J r x' -i
— = T — [ (a-z) x- - J + tang. »,
y = [<«-»)— --5-]+* tang. o> f
P (a+z) (a-z)^ / = 7 . Va + (a-z) tang. ».
On aura également pour la partie BM'
dy P a — z r x 3 -i
p (q-z)(*-H) 3 /= — . ^ (a+z) tang.».
f et Ung.o) devant avoir les mêmes valeurs dans ces équations , on trouvera par l'élimination
,ang.»=--. — ,
36o. Les équations des parties BM et BM' de la courbe sont respectivement
y = ~.^ [2(<z-z)zx + + U z) x'—*-x*],
y = ?. ÎZf [ - 1 ( a+z) zx++[a+z) x' — $- x* ].
DE LA MÉCANIQUE , i". PARTIE. a3l
On connaîtra l'ordonnée minimum en faisant dans la seconde de ces équations ^ = o, ce qui donnera
En appelant y t la valeur de y correspondante à cette valeur de x , la flèche de la courbe du solide sera f— jr t . Le point B est celui où la courbure du solide est le plus grande , et où ce solide tend à se rompre : on le nommera point de rupture.
36 1 . D'après cette dernière remarque , et conformément au n° 358 , les conditions de l'équilibre relatif à la rupture seront exprimées par l'équation
On le voit aussi en remarquant que p doit être égal au moment de l'une ou de l'autre des forces agissant en M, M' , pris par rapport au point de rupture B.
Equilibre dune pièce posée sur deux appuis, et chargée sur une portion de sa longueur.
36a. Le solide MM' (Fig. 47 )» posé sur deux appuis placés sur une même ligne horizontale , étant chargé , dans l'intervalle NN' seulement, d'un poids p sur l'unité de longueur , on demande les conditions de l'équilibre. Supposant que le point B est au milieu de l'intervalle NN', on nommera
z la distance CD ;
a la moitié CM de la distance des appuis ;
a' la moitié DE de l'intervalle dans lequel est placée
la charge; x y y l'abscisse Bp et l'ordonnée mp;
f rabaissement BD ou MP du point B; a> l'angle que la tangente à la courbe au point B forme
avec l'horizon; e et p auront les significations indiquées n° 35g.
Les composantes de la charge zpa' représentant les efforts exercés sur les appuis M et M' sont respectivement
pa'.ït et p
Chaque partie BM, BM' du solide est fléchie de la même manière que si , étant encastrée en B, elle était sollicitée dans un sens par les poids placés en BN, BN', et dans l'autre sens par les forces précédentes agissant en M , M\ Par conséquent on aura d'abord , pour tous les points compris entre B et N ( voyez les n°' 87, 89 et 90 ) ,
d* y pa' a-\-z , n / a'* . x* \
dx' ta « \ 2 a /
dy pa' a+zr x'1 p /a"x d x* x* \
pa' tf+sf x* x 3 "] p/d % x J dx 3 , x* \ , y= T-a~ V a - Z) >- 6 J-f(,1 6-+^) + Xt ^ M
et les deux dernières équations donneront , pour les valeurs qui conviennent au point N , en y faisant x = a' >
dx s a L 2J « 6 0
pa'a+zr a> d* 1 p d*
On aura ensuite pour tous les points compris entre N et M, en déterminant les constantes de manière que
dy
pourx=a' les valeurs de et y soient égales aux précédentes ,
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