TT'-S — T
dr pafa-\-zr % «r a l pa' 3
-r~ = - — • — — \(a — z) x I — - . - — \- tang. «.
dx t al 2 J e 6 ^ °
pa! a+zï, / J^l p(d*x a'*\
La dernière équation, en supposant ar=2fl— z , donnera
^ dû' (*+*) (a— s) 3 »p*' 3 (<z— z) , ,
^V-^ — .L— ë — m] + {a ~ z) tang - -
En répétant les mêmes opérations pour la portion BM' du solide, on trouvera
et en éliminant entre ces deux équations, il vient
pa! (4 s a — g' a ) z tang.co = — . - ;
p d\ (a g a — a z a — a' 2 ) (a a — s a ) , a' 3 "1 7 "TL 6^ ^J'
363. On aura les équations des parties BN , NM de la courbe, en substituant dans les expressions précédentes àey qui appartiennent respectivement à ces parties la valeur que l'on vient d'obtenir pour tang. &>. Les expressions de y qui conviennent aux portions BN' , N'M' de la courbe sont semblables aux expressions qui se rapportent aux portions BN , NM; on les déduit de ces dernières en changeant a-f- z en a — z, et réciproquement. On connaîtra donc également la figure de la portion BM du solide. La flèche de la courbure se trouvera de la manière indiquée n° 36o.
3G4- Le point B est celui dans lequel la courbure est le plus grande, et où le solide tenil a se rompre. La con-
dition de l'équilibre relatif à la rupture est exprimée , conformément au n° 358, par l'équation
365. Les exemples précédens suffisent pour indiquer comment on trouve les conditions d'équilibre d'une pièce posée horizontalement sur deux appuis, et chargée d'une manière quelconque. Le point où elle tend à se rompre, et que l'on doit regarder comme le point d'encastrement , est toujours situé dans la verticale contenant le centre de gravité des poids dont cette pièce est chargée. Le point de rupture ayant été déterminé, aussi bien que les efforts exercés sur chaque point d'appui , on doit former autant d'équations différentielles du second ordre qu'il y a, de chaque côté du point de rupture, de parties pour lesquelles les conditions de la flexion ne peuvent s'exprimer par la même formule. Les constantes introduites par l'intégration se déterminent de manière que l'ordonnée et l'inclinaison de la tangente aient les mêmes valeurs dans le point commun à deux parties consécutives.
L'équation exprimant les conditions de l'équilibre à l'instant où la pièce est prête à se rompre, s'obtient en
égalant le moment de rupturè p à la valeur de qui
appartient au point de rupture; cest-à-dire au moment pris par rapport à ce point des forces agissant sur la pièce dans l'une ou l'autre des parties que ce point sépare.
Equilibre d'une pièce chargée d'un poids, dont tune des extrémités est encastrée et fautre extrémité posée sur un appui.
366. La pièce A M M' (Fig. 48) encastrée horizon» talement à l'extrémité A, supportée à l'extrémité M' sur un appui placé sur la même ligne horizontale que le point A , étant chargée en M du poids IT , on nommera
a la distance AB;
a! la distance A M' ;
II' l'effort exercé sur l'appui M';
e et p auront les significations indiquées n° 35g.
On aura en premier lieu , pour la portion AM de la pièce ,
«g=n(.x-Ç)-n'(^-Ç), (ax* x 3 \ j(ctx* x 3 \
On aura ensuite pour la portion MM' , en déterminant les constantes de manière que, pour x-^a y les valeurs
de ^ et y soient égales à celles qui seraient données
par les équations précédentes,
•ë 1= - n ' (a '- jr) '
(a*x a 3 \ ,(dx*
□36 leçons sur l'application
367. Cette dernière expression de jr devant être nulle quand x^a' ' , on aura
a a (3 ai — a )
n' = Il
pour l'effort exercé sur le point d'appui M'. En substituant cette valeur dans les équations précédentes , on trouvera pour l'abscisse du point où l'ordonnée y est le plus grande
et pour la valeur de cette plus grande ordonnée , ou de la flècbe de courbure de la pièce ,
368. La pièce tend nécessairement à se rompre en A ou en M. On a au point A
t f^ =n a.nV = l , a(ao '- a) , (<I, - a) i
dx 1 2 a! '
et au point M,
L'équilibre est exprime à l'instant de la rupture par celle des deux équations
a {ia! — a) {a! — a) a a (3a'— a){a'~ a)
p = Il jz 1
dont le second membre a la plus grande valeur. Le corps tend à se rompre en A si k distance AB est petite ; il tend à se rompre en M si AB diffère pea de AM'.
369. Si Ton suppose le poids n placé au milieu de l'intervalle AM', on aura a f =2a; et en écrivant 2P au lieu de II , il viendra
n' = fP
pour Teflort exercé sur le point d'appui. L'abscisse du point où l'ordonnée est le plus grande sera
et la valeur de cette ordonnée ,
En comparant ce résultat à celui du n° 87 , on voit que la flèche de courbure produite par le même poids est plus petite, dans le rapport de 1 à 1/ 5", qu'elle ne serait si les deux extrémités de la pièce étaient posées sur des appuis.
L'ordonnée du point milieu, où le poids est placé,
est -'^g-' c'est-à-dire les de ce quelle serait dans le
cas dont on vient de parler.
370. En supposant toujours le poids II placé au milieu de l'intervalle AM', la pièce tend à se rompre en A , et la première valeur de p du n° 368 donne
Si les deux extrémités étaient posées sur deux appuis r on aurait p=Pa. Par conséquent, lorsque l'une des extrémités est encastrée , la pièce , à force égale , peut supporter un poids plus grand dans le rapport de 4 à 3.
a38 leçows sur l'application
Equilibre d'une pièce dont les deux extrémités sont encastrées , et qui est chargée cFun poids,
371. On sa p pose la pièce AMM' ( Fig, 4 ( J ) chargée en M du poids n, encastrée horizontalement aux deux extrémités A et M ; et l'on remarque que l'effet de l'encastrement en M' est de rendre horizontale en ce point la direction de la tangente à la courbe. Or on ne changera rien à l'état d'équilibre de la pièce AM', si l'on suppose cet effet produit au moyen de ce que cette pièce , posée simplement sur un appui en M', est prolongée en M'M", et chargée à l'extrémité M" d'un poids dont la valeur a été convenablement déterminée. Cela posé , on nommera
a la distance AB ;
à la distance AM' ;
a" la distance AB";
El' l'effort exercé sur l'appui M' ;
II" le poids suspendu à l'extrémité M" ;
e et p auront les significations indiquées n° 35g.
On aura en premier lieu pour la portion AM de la pièce
« y = n (4 ax'— ^-x 3 ) — n' ( ; a'x>— \ x 3 ) +n" ( 1 x 3 ) ;
On a ensuite pour la portion MM', en déterminant
les constantes de manière que, pour x=za, les valeurs 1 dy
dx et ^ soieDt égales à celles qui seraient données par les équations précédentes ,
DE LA MECANIQUE, i". PARTIE. 23o,
• "j~ =niû , -n'(a'j-|x i )+n"(a"j-ij: > ),
dy
