PREMIERE
iléche de coarbare observée.
mètre.
o,ooi5
o,oo5
o,ooi5
o,oo5
Charge qui a causé la première inflexion.
Charge qui a causé la rupture.
kilogrammes. I kilogramme».
M. Rondelet (a), sur des pièc chargées sur l'extrémité supé toutes un pouce d'équarrissage.
Espèces 01 bois.
Chêne
Sapin.
Lobguecr des pièces.
Charge qui a causé la rupture.
livm.
L'auteur conclut de ces expériences la règle suivante. Prenant pour unité la force nécessaire pour écraser un cube, qui est de 44 livres par ligne quarrée de la section
(a) Art de bâtir, tome IV, page 68.
transversale pour le chêne, 52 livres pour le sapin (n° 12), la force nécessaire pour rompre une pièce dont la hauteur est
12 fois l'épaisseur, sera |.
D'après le même auteur, une pièce de bois chargée verticalement peut céder en pliant lorsque la longueur surpasse 10 fois 1 equarrissage.
Expériences sur la résistance des pièces de fer forgé
chargées verticalement.
398. Expériences faites à l'école des ponts et chaussées, sur des pièces de fer forgé, posées verticalement, et chargées sur l'extrémité supérieure (a).
Longueur des
pièces.
Labgecb
des
pièces.
Épaissedr
des pièces.
Chaegb
qui a causé la rupture.
millimètre.
20,3 ao,3 i3,5
millimétrés.
kilogramme».
399. D'après un très-grand nombre d'expériences faites par M. Rondelet (b), sur des pièces ayant de 6 à
(a) Traité de la construction des ponts, par M. Gauthey, tome II, page i5i.
[b) Art de bâtir, tome IV, page 5aa.
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. ^55
12 lignes cPéquarrissage , et de i 7 pouce à 30 pieds de longueur; cet architecte établit que la charge nécessaire pour comprimer un cube de fer forgé étant de 5ia livres par ligne quarréede la section transversale (n° 17), la charge nécessaire pour faire plier et rompre une barre dont la longueur est égale à 27, 54, 81, 108, i35, 162, 189, 216, 243 fois l'équarrissage , est 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4> 1 livres, par ligne quarrée de la section transversale.
4oo. Expériences faites par M. Duleau , sur des pièces de fer forgé posées verticalement et chargées sur l'extrémité supérieure (a).
PIÈCES
SOPMISES A L EXPERIENCE.
Fer du Périgord. La leclion est un triangle équilatéral ,
de o w ,o38 de côté
Idem
Idem , doux ( destiné pour les
fers des chevaux )
Même pièce , fixée au milieu Fer du Périgord (tel qu'on l'a trouvé dans la for^e). . .
Fer du Périgord
Même pièce, fixée au milieu.
Fer du Périgord ( tel qu'on l'a trouvé dans la forge). . .
Idem
Idem
Idem
Idem
Idem
Idem
Fer rond, de Bîlbao, avan o-,o3i8 de diamètre ....
Longueur
Laroeur
Épaisseur
Charge
des
des
qui a causé
pièces.
pièces.
pièces.
la llexion.
millimélr.
kilogrammes.
5oo
a,ot
2,Ol
{a) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 26.
a56 leçons sun l application
Le résultat général de ces observations est qu'en calculant les valeurs des charges qui causent la flexion
d'après la formule Qs=7r 2 ^ (dans laquelle on mettrait,
bc l
à la place de e, E — pour une pièce rectangulaire , et
E^- pour une pièce cylindrique, en faisant Eî=
30 ooo ooo ooo k ) , on trouve des valeurs plus petites que celles qui ont été données par l'expérience, dans le rapport de n à 8 environ (a). L'auteur attribue en partie cette différence au frottement du levier employé pour transmettre la pression.
Expériences sur la résistance des pièces de fer fondu , pressées dans le sens de la longueur.
4oi. On peut voir sur ce sujet les expériences de M. G. Rennie, rapportées ci-dessus, n° 19.
D'après d'autres expériences de M. Reynolds (b) , faites sur de la fonte très- douce , deux barres d'un pouce anglais quarré et de 3 pieds de longueur, ayant une extrémité posée sur une barre horizontale, avec laquelle elles formaient un angle de 45° , et s'appuya nt l'une contre l'autre par les extrémités supérieures , ont supporté sur ces extrémités une charge de i568o livres avoir-du-poids , produisant dans le sens de chaque barre un effort de 11 087 livres.
Dans un autre essai, deux barres semblables, mais
{à) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 24.
{b) Bank* 3 on the power of machines, page 89.
DE LA 1IÉCASIQLE, l'\ PARTIE. 2D7
posées de manière à former avec la barre horizontale des angles de 2a 0 ont supporté sur les extrémités supérieures une charge de 8960 livres, produisant dans le sens de chaque barre un effort de 1 1 709 livres.
Remarques sur î usage que Ion doit faire des résultats précédens dans les applications.
403. Les résultats exposés dans les n°* 383 et suivans supposent essentiellement la force représentée par Q dirigée dans le sens de Taxe de la pièce, ou du moins dans le plan vertical passant par cet axe, perpendiculairement auquel la flexion s'opère. Dans la réalité, lorsqu'une pièce est chargée verticalement, le poids est ordinairement réparti sur toute l'étendue de la section transversale. 11 faudrait donc , pour que l'expérience s'accordât exactement avec ces résultats, que les pièces fussent terminées aux extrémités par une pointe ou par une arête.
En exposant les résultats dont il s'agit, on a supposé le sens de la flexion de la pièce déterminé, et on a représenté par e la valeur du moment de résistance à la flexion qui devait avoir lieu en conséquence , et qui se calculerait d'après la figure de la pièce par les règles des n°* 80 et suivans. Quand une pièce est chargée sur l'extrémité supérieure , le sens de la flexion , en général , n'est pas déterminé. Il est naturel d'admettre que la pièce fléchira dans la direction pour laquelle la valeur du moment t est la moindre possible. Si la section transversale est circulaire , celte valeur est la même dans toutes les directions. Il en est de même si la section transversale est un quarré, comme on la vu n* 83. Dans le cas d'une section rectangulaire, la moindre valeur du moment de résistance à la flexion répond au cas où la pièce fléchit dans le sens
du plus petit côte. Dans les expériences , les pièces à base quarrée fléchissent indifféremment dans le sens de la diagonale ou des côtés. Les pièces à base rectangulaire mêmes , à moins que les deux côtés de la section ne soient très-différens , ne fléchissent pas toujours exactement dans le sens du plus petit côté, la direction de la flexion étant ordinairement déterminée par quelque défaut d'homogénéité dans la pièce, ou par la manière dont la pression s'exerce aux extrémités.
Ces remarques indiquent par quelles raisons les expériences connues ne donnent pas toujours, pour Je poids qui peut faire fléchir une pièce à base rectangulaire chargée verticalement , une valeur conforme à
celle que Ton calculerait par la formule Q = tc 2 ~,
en supposant que la flexion ait lieu dans le sens du petit côté de la section transversale. Mais, lorsqu'on prend les précautions convenables pour accorder les circonstances de l'expérience avec les hypothèses sur lesquelles les formules sont fondées , le résultat est alors représenté exactement par cette formule.
4o3. A l'égard de la charge qu'on peut faire supporter aux pièces comprimées dans le sens de leur longueur , on remarquera en premier lieu que la pièce cédera nécessairement sous une charge Q donnée par l'expression
qui , pour le cas d'une section rectangulaire, devient
Mais cette expression augmente rapidement à mesure que la longueur a de la pièce diminue. En général les
DE LA MÉCANIQUE, l r \ PARTIE. a5g
pièces employées de cette manière dans les constructions sont trop courtes, eu égard à leur grosseur, pour présenter le genre de flexion auquel s'appliquent les résultats des n - * 383 et suivans. .En supposant E = i ooo ooo ooo k pour le bois de chêne , E = 20 000 000 ooo k pour le fer forgé ; et comparant les valeurs données par celte formule avec les résultats rapportés d'après M. Rondelet dans les n 0< 397 et 399, on trouvera que la formule précédente donne des valeurs plus grandes que ces résultats lorsque l'épaisseur c de la pièce surpasse le environ de la longueur a. Par conséquent , pour les pièces dont la longueur n'est pas égale à 20 fois l'épaisseur , c'est-à-dire dans la plupart des cas qui se présentent dans les constructions, la résistance ne doit pas être déterminée d'après la formule précédente , mais par la considération du poids qui pourrait écraser la pièce.
Le poids qui doit écraser ou comprimer une pièce dont la longueur est égale à une ou deux fois l'épais^ seur, peut être estimé, pour chaque millimètre quarré de la section transversale, à
3 kiU pour le bois de chêne et de sapin , 4o fer forgé ,
100 fer fondu.
On conclut des expériences rapportées ci- dessus < i° Que pour les bots l'évaluation précédente doit être réduite aux £ lorsque la longueur de la pièce «s't égaie à 12 fois l'épaisseur , et à moitié quand cette longueur est égale à 24 fois l'épaisseur;
2 a Que pour Je fer forgé l'évaluation précédente doit être réduite aux \ quand la longueur est égale à 12 fois l'épaisseur, et à moitié quand la longueur est égale à 24 fois l'épaisseur;
a6o LEÇONS SLR INAPPLICATION
3*. Que pour le fer fondu l'évaluation précédente doit être réduite aux \ à peu près , quand la longueur est égale à 4 fois l'épaisseur , à moitié environ quand la longueur est égale à 8 fois l'épaisseur, et au ^ lorsque la longueur est égale à 36 fois l'épaisseur.
Les expériences connues ne donnent pas les moyens d'évaluer avec exactitude la résistance dans les cas intermédiaires différens de ceux que l'on vient de spéciBer.
4o4» Quant aux pièces dont la longueur surpasserait ao fois environ l'épaisseur, on peut en évaluer la résistance par les formules des n" 386 et suivans, avec la certitude que cette évaluation ne dépassera pas les résultats donnés par les expériences.
405. Lorsque dans les applications on aura évalué, conformément aux deux n*' précédens , la résistance qu'une pièce comprimée verticalement peut présenter, on devra , pour en conclure le plus grand poids dont cette pièce puisse être chargée avec sécurité dans les constructions, réduire les résultats au environ pour le bois , au £ ou au £ pour le fer forgé ou fondu.
ARTICLE III
DR LA RÉSISTANCE D'UNE PIÈCE PRISMATIQUE CHARGÉE VERTI- CALEMENT , LORSQUE LA DIRECTION DU POIDS EST DISTANTE DE L'AXE DE LA PIÈCE.
406. Soit une pièce verticale ÀM (Fig. 58), encastrée à l'extrémité inférieure, et supportant le poids II suspendu à l'extrémité de la traverse M G assujettie de manière à former toujours un angle droit avec la pièce A M. L'action du poids comprime la pièce verticale dans le sens MA , et tend a la faire plier et rompre. On nommera
t>E LA MÉCANIQUE, i". PARTIE. 26 1
a la distance AB; / la distance MC;
<o l'aire delà section transversale de la pièce; x,y l'abscisse Ap , et l'ordonnée mp d'un point quelconque m de la courbe affectée par la pièce; J l'ordonnée M B du point extrême, c aura la signification indiquée n° 80.
L'équation d'équilibre sera
et l'intégrale de cette équation ( qui doit donner /=© et quand x=o),
r = -cos.xy/îL^. On doit avoir J~f quand x=a : donc
d'où
et
/ = '(co..V?~')
L'équation de la courbe est
— cos. x
cos. a
a6a ijgçoits sur l application
On doit mettre dans l'expression de n le plus petit des
arcs dont le cosinus est égal à f~çy > moins qu'il
n'y ait certains points de la pièce AB maintenus fixes. La flèche de courbure produite par un poids donné est proportionnelle a la distance MC. Le poids capable de faire prendre à la pièce une flèche de courbure donnée, est réciproque au quarré de la longueur de cette pièce.
407. La question précédente diffère de celles qui ont été traitées dans les n*' 383 et suivaus, en ce que l'on obtient ici une relation entre le poids n dont la pièce est chargée , et la flèche de courbure f produite par l'action de ce poids; ce qui permet de déterminer, conformément à ce qui a été dit n° 38^, la limite des efforts auxquels on peut exposer la pièce dans une construction.
£ ayant la signification indiquée n° 77, on aura —
pour la compression des fibres résultant de l'action de FI. Désignant de plus, comme au n # 1 1 3 , par t/ la distance à l'axe d'équilibre de la fibre extrême qui subit la plus grande compression , la plus grande compression des fibres résultant de la flexion de la pièce sera exprimée pour un point quelconque , comme on le voit d'après le
n # 77 , par S -j^ , quantité dont la plus grande valeur , qui a lieu au point A , est t^J- — - . Le plus
» / 11 c cos. rt y -
grand accourcissement des fibres est donc ici
y • cos. a y - )
Par conséquent, si l'on veut que le plus grand elFort auquel les fibres sont exposées sur l'unité de surface
DE LA MÉCANIQUE , l". PARTIE. !l63
ne dépasse pas une certaine limite, représentée comme au n° 181 par R' , il ne faudra pas que ce plus grand
accroissement surpasse la fraction — . La valeur de n ne devra donc point dépasser celle qui satisfait à l'équation
\^ t cos. a y — J
Les valeurs qu'il convient d'attribuer au poids R' , pour les divers matériaux, ont été indiquées n 0 ' 181 et suivans.
4o8. Si la section transversale de la pièce est un rectangle dont b soit la largeur et c la hauteur, on
a a) = bc , e = E ,/=—. L équation précédente
devient
La fraction gA g3 sera ordinairement fort petite , et par conséquent cette équation différera très-peu de
H'=JL( c+ 6,), d'où n-g£.
409. On supposera maintenant que l'extrémité supérieure de la pièce est fixée et encastrée (Fig. 59) , et que le poids II fait supporter à cette pièce une tension longitudinale, en même temps qu'il la fait plier. Dans ce cas, en conservant les dénominations du n° 406 , l'équation d'équilibre sera
et supposant pour abréger-^ = r 2 , on aura pour l'intégrale
f+y = A e r * + Be-",
e représentant la base des logarithmes hyperboliques, A et B deux constantes arbitraires.
Cette équation devant au point A donner x = o, jT = o, j^ = o; et au point M , x=a , j=/, on a
o — A — B , / = Ae rB + Be j
d'où Ton déduit
L équation de la courbe est
4 io. On obtient ici , comme dans le cas précédent, une relation entre le poids II et la flèche de courbure f que ce poids fait prendre à la pièce. Le plus grand poids Iï dont la pièce puisse être chargée se déterminera donc également par la condition de ne pas faire supporter aux fibres une tension qui dépasse une limite donnée. En conservant les dénomination du n° 407 , on aura ~- pour
l'extension des fibres résultant de Faction de n , et — —
pour la plus grande extension des fibres provenant de la courbure de la pièce, qui a lieu au point M où cette pièce
DE LA MÉCANIQUE, 1 r# . PARTIE. ûG5
tend à se rompre. Par conséquent , si l'on veut que la plus grande tension ne dépasse pas R', on posera l'équation
Ê = n (ïT w + T>
d'où Ton déduira la valeur de II.
4n. Si la section transversale de la pièce est un rectangle dont b soit la largeur et c la hauteur, on a
a w = b c , c = ,§/=-. L'équation précédente devient
R = — , dou n = R' —
Oc 2 c +6 l
ARTICLE IV
