OBLIQUEMENT

4ia. On suppose une pièce A M (Fig. 60) posée obli* quement, dont l'extrémité inférieure A est encastrée, et dont l'extrémité supérieure M est chargée d'un poids ÏL Soit nommé

a l'angle forme par la direction AB de la pièce avec la

verticale; a la distance A B;

a) l'aire delà section transversale de la pièce;

jc,j l'abscisse Ap et l'ordonnée mp d'un point quelconque m de la courbe affectée par la pièce; f l'ordonnée MB du point extrême ;

P, Q les composantes perpendiculaire et parallèle à AB du poids n suspendu au point M, d'où P=^I sin. « , Q=lTcos. *;

t ayant la signification indiquée n° 80.

«,66 leçons sur l'application

L'équation d'équilibre sera

et faisant pour abréger p 2 = - , q 2 = - , on aura pour l'intégrale de cette équation

f— r = A sin. q ( x+B ) — P - (a— x ) ,

A et B étant deux constantes arbitraires.

On a au point A, x = o,7=o, ^ =o; et au point M , x = a 9 jr?=fî ce qui donne les trois conditions

f = A sin. q B-— S^-,

oz=zqK cos. ^ B + ~ , o = sln. y(fl + B).

On en déduit

sin. y B t=8În. q a , cos, q B =5— cos. q a ,

£ 3 cos. q a

f=^(tzns.qa — qa).

D'après les valeurs précédentes , l'équation de la courbe sera

j>» /sxn.qa-sm.gia-x) \ . q i \ an. q a /

l'expression de f donnera la valeur delà flèche de courbure en fonction des forces P, Q. Cette flèche devant demeurer très-petite , il est nécessaire que tang. q a —9 a soit une très-petite quantité. Donc, o, , etc., étant la

DE LA MÉCANIQUE) l re . PARTIE. 267

suite des arcs dont la longueur est respectivement égale à celle de leur tangente , on ne peut attribuer à la composante Q que des valeurs qui surpassent peu les nombres

—T'^7~* ' etc * ^ u ^optant l a première de ces

valeurs, la pièce se courbera de la manière indiquée fig. 60. Les valeurs suivantes répondent à des courbes offrant un nombre de points d'inflexion de plus en plus grand , et dont l'existence supposerait que certains points de ces courbes ont été maintenus fixement dans la ligne AB. Si tous les points sont libres dans l'intervalle A B, les poids II que la pièce pourra supporler sont donc assujettis à la

condition que le nombre a soit compris entre o et

y[ 9 et que la valeur précédente de f soit fort petite. Cette valeur de f indiquera le déplacement du poiut M causé par Faction du poids II.

4i 3. La limite des poids dont la pièce peut être chargée se détermine ici de la même manière que pour la pièce considérée n* 406. &> et J ayant ici les mêmes signi-

fica lions quau n° 407 , on aura = — pour raccourcisse-

ment des libres résultant de l'action de la force Q dirigée parallèlement à l'axe de la pièce; et pour raccour-

cissement des fibres placées à la face concave produit parla flexion. La plus grande valeur de cette dernière quantité,

qui a lieu au point A, étant ici v' tang. qa, le plus grand accourcissemeut total des fibres est

^'Ptang. «y —

Par conséquent, si Ton ne veut pas que le plus grand ef-

fort exercé pour comprimer les fibres, rapporté à l'unité de surlace , surpasse R', ou posera 1 équation

*/P tang. a\J ~

cest-à-dire

COS a

sf sin. a. tang. a

E w 1 \/u cos. *. r

En déterminant le poids n de manière que cette équation soit satisfaite, on connaîtra la limite cherchée.

4 1 4- Si la section transversale de la pièce est un rectangle ayant b pour largeur et c pour hauteur,

w — £c,g = E— , s/ =- : l'équation obtenue ci-

dessus devient

C COS. a •+

^ . /12. Il cos. *

o sin. a. tang. a y — Jg~b~^3 —

cos. a

Efcc 3

r . , 12. D" COS. a . r

-La quantité — c 3 — ^ I e P ms souvent lprt petite, et par conséquent cette équation différera très-peu de

qui donne

c cos. a 6 a sin

in.-a^

c cos. a -{- 6 a sin. «

Les valeurs qu'il convient d'attribuer à R' pour les divers matériaux, ont été indiquées n 0 ' 181 et suivans.

4i5. On suppose maintenant la pièce A M (Fig. 6i) fixée et encastrée à l'extrémité supérieure A , et chargée a l'extrémité inférieure, de manière que le poids n tend à l'étendre et non à lacontracter. En conservant les dénominations du n° 4 12, on aura ici pour l'équation d'équilibre

DE Là MÉCANIQUE, l re . PARTIE. 26*)

OU

L'intégrale de cette équation est

/— y = A cf(«— ) + Be-f («-») + ^(a—x),

e étant la base des logarithmes hyperboliques, A et B

deux constantes arbitraires.

On a, au point A, x = o, / = o, — = o; et au

point M , x=a>y=f donc

/=Acî" + Be-ï«4-^ r ,

o = ? (Aef«-B«-f) + ^ .

d'où Von déduit

Le poids n doit être tel que cette formule donne pour/" une valeur très-petite.

L'équation de la courbe est

' " ? V * x ef-+e-f- /

416. Les considérations employées n° 4°7 peuvent s'appliquer ici. Les fibres dn la pièce sont d'abord éten-

dues également, par Faction de la composante Q , de

la quantité . Les fibres situées aux faces convexe

et concave sont ensuite étendues et comprimées au point A, par l'effet de la courbure, de la quantité

sion des fibres ne doit pas surpasser R', on posera l'équation

La plus grande valeur qu'on puisse attribuer au poids II est déterminée par la condition que les composantes P, Q de ce poids satisfassent à cette équation.

4i7. Si la section transversale de la pièce est un rectangle ayant b pour largeur et c pour hauteur,

bc 3 c

w = 6c,6 = E— , 1/ =2 — . L'équation précédente devient

R' = Jbc>

c'est-à-dire

/ 12 II COS. a /li.lICOS. a

Il ; ,6 sin. a e — e

- — \C COS. a -f- — 1 ■

OC* § /12.IIGOS. x */ 12. Il COS. a /12.IICOS. a

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 27 1

Lorsque la fraction "g"^ * «era très-petite, ce qui

aura lieu dans la plupart des applications, cette équation différera très-peu de

n ( c cos. « + 6 a 8 '°- « ) R = b? '

d'où Ton tire

bc*

c cos. a -A- 6 « sin. a

comme dans le cas précédent.

Equilibre dune pièce inclinée chargée entre les extrémités.

4 18. Le cas le plus simple est celui d'une pièce inclinée AB ( Fig. 62 ), chargée en C du poids II , et supportée aux extrémités par des portions de plans horizontaux. Cette pièce ne tend pas à glisser, parce que le glissement ne produirait pas rabaissement du poids II. En désignant

par a, a! les longueurs AC, BC, on aura n et n

pour les efforts verticaux exercés en A et en B. Chaque portion AC, BC de la pièce peut être regardée comme encastrée en C , et sollicitée à l'extrémité A ou B par ces efforts. Par conséquent la partie AC , qui est comprimée dans le sens de sa longueur, est dans le même cas que la pièce considérée n° ^12 , la force désignée par II dans ce

numéro étant ici n ; et la partie B C, qui est étendue dans le sens de sa longueur, est dans le mâme cas que la pièce considérée n* 41 5, la force désignée par II dans

ce numéro étant ici n— 7—7.

2^2 leçons sc;n l'application

419. La pièce A B (Fig. 63), supportée dans une direction inclinée par le point d appui C sur lequel elle ne peut glisser, et chargée aux extrémités de poids qui se font mutuellement équilibre, est sollicitée de la même manière que la pièce précédente. La partie B C , qui est comprimée, est dans le même cas que la pièce considérée n°4i2; et la partie AC, qui est étendue, est dans le même cas que la pièce considérée n° 41 5.

420. La pièce inclinée AB (Fig. 64), chargée en C du poids n, est souvent supportée d'une manière différente de celle que Ton a supposée dans le n° 418. L'extrémité supérieure B est appuyée contre un plan vertical , et Vextrémité inférieure A sur un plan horizontal : mais comme cette dernière extrémité tend alors à glisser, elle doit butter contre iin appui , ou être retenue par un tirant. Le poids II est ici entièrement supporté par l'appui A. La pièce exerce en B une pression horizontale , déterminée par la condition de faire équilibre autour du point A, avec le bras de levier AE, au poids II agissant avec le bras de lev : er AD ; et cette même pression horizontale se reporte coutre l'appui placé en A. Nommant a , a' les longueurs AC, BC, et a l'angle A CD, on aura donc

atang. «

pour 1 la pression horizontale dont il s'agit. Chaque partie AC et BC de la pièce est dans le mênie cas que si elle était encastrée en C , et sollicitée à l'autre extrémité par les forces qui viennent d'être indiquées. Par conséquent : i v la. partie AC, qui est comprimée, doit être assimilée à la pièce considérée n° 4» 3, les forces désignées par P, Q, II dans ce numéro étant

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE.

ici respectivement égales à n sin. « ^ i — ^ ,