On a dans le cas du n
ib a!
tang. a = — : ■ ;
et dans celui du n° 438,
taog. « = ï (V + y/V — bu).
DE LA MÉCANIQUE , l'\ PARTIE. 283
La valeur de la pression , calculée par la formule du et devient aux points extrêmes A et M,
et
T^Qy/i + ^tang.a-^y .
44°« On considérera encore le cas où la courbe étant appuyée en A( Fig. 70) contre un plan vertical, la tangente de cette courbe doit se confondre en ce point avec l'axe horizontal Ax. Lesj^ positives étant supposées maintenant comptées de haut en bas , et remarquant que les
dy
équations du n # 433 doivent donner ~=o, jn=o quand
x=so ; et jr=b quand x=a , en désignant toujours par a et b l'abscisse AB et l'ordonnée BM du point extrême M : on aura
et pour l'équation de la courbe,
44 1 • La valeur de la pression sera
Au point extrême M , la tangente de la courbe forme avec Taxe des abscisses un angle dont la tangente
est — . La valeur de la pression est dans ce point
284 leçons sur l'application
442. On pourrait supposer qu'au lieu du plan fixe placé en A , il existe de l'autre côté de ce point une autre portion de courbe AM' ( Fig. 71 ) égale à la première, et chargée de la même manière. Il suit de là que la parabole ordinaire , représentée par l'équation du n° 44° ? ^ ^ a ^~ gure qu'il convient de donner à une pièce courbe MAM' posée sur deux appuis aux points M, M', et chargée par des poids uniformément répartis sur l'horizontale B B' , pour que cette pièce ne tende point à fléchir sous la charge. Les valeurs précédentes de P et Q représentent les efforts verticaux et horizontaux supportés par les deux appuis. Les valeurs deT du n° 461 donnent la pression supportée par les diverses parties de la courbe, pression qui, au sommet A , est égale à Q.
443* Si, au lieu d'une charge distribuée uniformément sur la ligne AB (Fig. 70), la pièce courbe supportait une charge augmentant uniformément du point A au point B, les équations du n° deviendraient, en désignant par A: une quantité constante ,
d'où
~ Ji = k c p +p 1 a ~ x ] + i * ( a ' ~ x ' } 1 '
— X= ^[ p -* -/»(*•* — ix>)+i*(a'x — 4 x 3 )]•
On doit avoir au point A, x=o,^=îo, — =o ; et au
point B, x=a, jr=b : d'où l'on déduit pour les forces qui doivent être appliquées au point extrême,
DE LA MÉCANIQUE, l re . PARTIE. 285 — P=pa+; ka>,
et pour l'équation de la courbe d'équilibre,
b(3px*+kx 3 ) 3pa*-\-ka 3
444- La valeur de la pression , calculée par la formule du n° 434 > serait ici
et deviendrait, au point extrême M,
La courbe forme en ce point avec l'horizon un angle dont la tangente trigonométrique est
3 b ( 1 p + k a ) 3 p a -\- ko 1
445. Si Ton supposait la charge distribuée uniformément sur la longueur de la pièce courbe , la figure qui conviendrait à l'état d'équilibre serait la courbe connue sous le nom de chaînette. La pression supportée dans les diverses parties de la pièce se calculerait comme on calcule la tension dans cette courbe. On peut donc recourir, dans ce cas, aux formules données dans les traités de statique (a).
[a) On peut aussi voir l'ouvrage intitulé : Rapport et Mémoire sur les ponts suspendus.
De la flexion des pièces courbes.
44^. On considérera une pièce courbe AmM (Fig. 72) encastrée horizontalement à l'extrémité A , et l'on supposera que deux forces verticale et horizontale P et Q, ayant été appliquées à l'extrémité M de de cette pièce , elle ait été fléchie suivant la courbe Aro'M'. 11 s'agit , la figure de la courbe AM étant donnée, ainsi que le moment de résistance à la flexion de la pièce et les forces P et Q, de connaître la figure de la courbe AM'. On nommera
x, j les coordonnées horizontale et verticale A/), mp
d'un point quelconque de la courbe AM; s la longueur de l'arc Am;
j/, y les coordonnées du point m' de la courbe AM' dans lequel se transporte le point m,-
a , b les cordon nées AB , M B du point extrême M;
a', b' les coordonnées AB', M'B' du point M', dans lequel se transporte Je point M ;
q> l'angle que la normale de la courbe AM menée au point m forme avec la verticale;
y l'angle que la normale de la courbe AM' menée au point m' forme avec la verticale;
e le moment de résistance à la flexion de la pièce courbe AM , dont l'expression générale est donnée n° 80.
Reprenons les considérations exposées n° 77 , en désignant, comme dans ce numéro, par v la distance d'un point quelconque de la section transversale de la pièce à l'axe d'équilibre. Avant la flexion , la longueur d'une portion infiniment petite d'une fibre placée à la distance ede cetaxeest ds -h vdo , parce que l'angle de deux normales consécutives est ûf 9. Après la flexion , et eu faisant abstraction du changement qui peut être survenu dans la
DE LA MÉCANIQUE , l" PARTIE. 387
longueur de l'élément ds , la longueur de la même portion de fibre sera devenue ds La proportion suivant laquelle cette portion de fibre s'est allongée est donc
—7- — ; — -7— , ou simplement — j i> ,
ds -{-t> dy r ds
en négligeant vdy à l'égard de ds , ce que l'on peut faire dans les cas ordinaires des applications, l'épaisseur de la pièce étant fort petite par rapport au rayon de courbure. On conclut de là , que les conditions de l'équilibre d'une pièce courbe s'expriment de la même manière que celles
d'une pièce droite, en remplaçant la fonction - ,ou -j-^, dj-d ? P
^ r -Ts—'
447- L'équation exprimant les conditions de l'état d'équilibre de la pièce courbe AM sera donc
d'où l'on déduit
La flexion de la pièce étant toujours supposée très-petite, les angles et doivent différer très-peu l'un de l'autre. Le second membre peut donc être regardé comme un angle très-petit, qui ne diffère pas de son sinus, et dont le cosinus est égal à l'unité. Ainsi Véquation précédente donnera
2 88 LEÇONS SLR L APPLICATION
SI
dx dy , dxf
Mais on a cos. q> = ^- , sm. 9= — ; cos. 9 = ,
sin. ^ = ; en supposant toujours que les parties de
la pièce ne changent pas de longueur quand elle fléchit. Donc
<U- dx = - -dy j<**\/ 1 P^-^+Q ( ]-
dy>-dy= \dx jdx y/ 1 +(^0 [P(*-*)+Q( *-^) ].
équations qui, étant intégrées, feront connaître les déplacecemens de chacun des points de la pièce courbe, quand la figure de cette pièce sera donnée.
448. En développant le radical en série, les^xpressions précédentes deviendront
dx t -dx=-\d J r^dx[i+^(^
dy- d y = ;^ï<**[ « 4- [ (jj- etc ] +Q(^-tr)]-
On pourra presque toujours dans les applications, à raison du peu d'amplitude de la courbe des pièces , se borner au deuxième terme de la série. On ne commettrait même dans beaucoup de cas que de très-faibles erreurs en négligeant ce terme.
449» Dans une pièce courbe sollicitée delà manière indiquée n° 446 , les parties sont tendues dans le sens de la longueur de la pièce par l'action de la force P, et com-
primées par l'action de la force Q. La tension ou compression produite par chacune de ces forces, en un point quelconque de la courbe, est égale à la force décomposée parallèlement à la direction de la courbe en ce point. Ainsi T désignant comme ci-dessus une pression, on a ici
ou
Application au cas où la figure de la pièce courbe est
une portion de parabole.
l)x % dy ibx , 45o. On a dans ce cas / =— , ^ = — ; et en substituant dans les formules du n° 468,
d'où Ton tire en intégrant
— ; .CW-tMt-£)]
29O LEÇONS SUR LAPPLICATION
Si Ton désigne par h et /les quantités dont le point extrême M est déplacé horizontalement et verticalement, ces formules donneront , en y faisant x=a y
, P/5a'ô f 6 3 \ , Q/Sab' 16b* \
— A=-( etc. ) + ~ ( — F" + etc. )
*\ 12 10 / c \ i5 io5a /
„ P/ a 3 , ab' \ , Q / 5<z>& 6 3 \
45 1 . Considérons une pièce courbe M AM' ( Fig. 7 3 ) formée de deux parties égales , supportée verticalement sur deux portions d un plan horizontal , et chargée au milieu A du poids 2II. La pièce cédera à l'action de ce poids, et le sommet s'abaissera en même temps que les extrémités s'écarteront l'une de l'autre. La moitié AM de la pièce est dans le même état d'équilibre que si , étant encastrée horizontalement en A , elle se trouvait sollicitée à l'extrémité M par une seule force verticale n agissant de bas en haut. Par conséquent, faisant P=— n et Q=o dans les équations précédentes , et se bornant aux deux premiers termes des séries , les valeurs
exprimeront respectivement la quantité dont chaque point M ou M' se déplace horizontalement, et l'abaissement du sommet A de la pièce. Cet abaissement est un peu plus grand qu'il ne le serait pour une pièce rectiligne, à distance égale des points d'appui.
452. La formule du n° 449 donnera à fort peu près, pour la pression exercée dans le sens de la courbe au point dont l'abscisse est x t
DE LA MÉCANIQUE y l r \ PARTIE. 39!
Gomme on suppose ici b petit par rapport à a, la plus grande valeur de cette pression aura lieu aux points extrêmes M ou M', dans lesquels x = a.
453. Considérons maintenant la même pièce courbe MAM' (Fig. 74), chargée de la même manière , mais en supposant que les appuis ne permettent pas aux extrémités M et M' de s'écarter Tune de l'autre. Chaque moitié de la pièce est dans le même état d'équilibre que si cette moitié, encastrée horizontalement en A , se trouvait sollicitée à l'extrémité M ou M' par une force verticale II agissant de bas en haut, et par une certaine force horizontale Q. Cette force horizontale doit être déterminée par la condition que les points M ou M' ne se déplacent pas horizontalement. Il suit de là qu'en mettant — II à la place de P dans les deux dernières équations du n° 4^0, et faisant h = o, les valeurs qui s'en déduisent, et qui sont, en se bornant aux deux premiers termes des séries ,
fi5a b \
expriment respectivement la pression horizontale que la pièce courbe MAM' exerce contre les appuis, par suite de l'action du poids ail, et la quantité dont cette action fait abaisser le sommet A de la pièce. Ainsi , dans une pièce courbe qui a peu d'amplitude , l'abaissement du sommet est a peu près indépendant de la flèche b de cette pièce; et en le comparant a la valeur de /"du n° 86, on voit qu'il n'est pas le ~ de l'abaissement qui aurait lieu pour une pièce rectiligne des mêmes dimensions. Mais il ne faut pas oublier que la valeur précédente est calculée sans avoir égard à la contraction que doit produire la pression exercée dans
le sens de Taxe de la pièce , et qui contribue avec la flexion à faire abaisser le sommet de la courbe.
454. Dans le cas dont il s agit , les actions exercées sur la pièce ne tendent qu'à la contracter. La formule du n° 449>
en remplaçant P par — n, Q par II ( - ^ ) , et
en ne conservantque les termes de Tordre — , donne pour
la pression supportée dans le point dont l'abscisse est x
/ a5 a b * b x *5 bx* \
La plus grande valeur de cette pression a lieu dans le point dont l'abscisse est , et cette valeur maximum est
Application au cas où la figure de la pièce courbe est
un arc de cercle.
455. Nous conserverons les dénominations du no 466 qui se rapportent à la figure 73, et nous désignerons de plus par
A le rayon de Tare ae cercle suivaut lequel la pièce est courbée;
♦ la valeur de l'angle 9 qui convient au point extrême M de la pièce courbe.
D'après cela, considérant, comme dans ce numéro , le cas d'une pièce encastrée horizontalement à une extrémité , et sollicitée à l'extrémité opposée par deux forces verticale et horizontale PetQ; remarquant que
x = A sin. ? a = A sin. * dt = A rfy \
y = A ( 1 — cos. f ) , b = A ( 1 — cos. ♦ ) ,
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 3<j3
l'équation du n° 447 exprime les conditions de l'état d'équilibre de la pièce courbe , s'écrira
c (dj — <fy)=À J .*fy [P (sin.é — sin. ? ) +Q (cos. y — cos.G)]; d'où Ton déduit par l'intégration
« W — ?) = A» [P(?sin.*+cos. 9 — 1 ) + Q(*' ,n -?— ?cos. ♦)].
Opérant sur cette expression comme sur celle qui est dans le numéro cité, on en tirera de la même manière
i C dx* — dx ) = — Aïdy. sin.? [P sin.* + cos.? — i)-f-Q (sin. ? — ?. cos.*)],
*(dy-dy) =
À 5 df . cos. <p [ P ( 7 . sin.* -f cos. ? — 1 ) + Q (sin. ? — ? . cos. * ) ] ;
et en intégrant
lQ[îf — 7 8in ? cos.y — cos. <>(sin. <p — ycos. ? )] j
a j P [sin. ? (? sin. r+cos. ? — 0+ f **n. <p cos. ? -K ? — sin.?] I IQ[t sin." r — cos. *(?sin. ? + cos. ? — 1 ) ] J
Ces expressions donnent , en fonction de l'angle 9 appartenant au point quelconque ro de la courbe, lesdéplacemens horizontal et vertical de ce point. En y supposant <p = on aura pour les déplacemens horizontal et vertical du point extrême M , désignés par h et /:
| P ( 7 sin.* * — * sin. cos. * + cos. ♦ — 1 ) j iA = A ( Q (- ♦ — J sin. <J>. cos. + *. cos.* * ) I *
jP (*sin. 9 * + îsin.*cos.*— asin.*-r-T*)| «/— A |Q(-sin. 9 * — sin. cos. *+cos. 4»—
456. La contraction T supportée par un élément quelle de la courbe est exprimée par la formule T = — P sin. * + Q cos. « .
457. En considérant d'abord le cas où l'angle * serait peu considérable , on trouverait, en négligeant les puissances dç « supérieures à la cinquième,
