V.-S. + ÙJLI ! .) + tang

E E ^ |co,« V 5- j V 4

dans laquelle ou mettra pour Q la valeur

[Tn+/>(û + îfl')]taDg. *.

Cette équation, lorsque la section transversale de la pièce est un rectangle ayant b pour largeur et c pour hauteur, devient

587. On peut ici, comme au n° 583, avoir une expression approchée de R', en négligeant dans 1 équation d équilibre le terme Q(/— j)- ^ P lua g^ude valeur de ^ est alors — P — 4- — , et par conséquent

ou, en mettant pour Pet Q leurs valeurs,

U' [n+p(^4^')]tang.« , ^ ( n<x ) .

équation qui devient, lorsque la section transversale de la pièce est supposée rectangulaire,

588. Le système représenté fig. 1 32 , si Ion suppose que les contrefiches peuvent tourner librement sur les points d'assemblage qui en forment les extrémités , et que les

DE LA MÉCANIQUE, l r *. PARTIE. 389

extrémités B, B' de la poutre sont simplement posées sur des appuis , ne présente pas un équilibre stable, Il est donc nécessaire de prévenir les cbangemens défigure, et Ton emploie ordinairement pour cet objet les moïses BE, B'E'. Ces pièces peuvent servir aussi à fortifier les cont refiches , en s'opposa nt à ce qu'elles ne fléchissent dans le sens du plan des fermes.

589. Lorsque la distance des points d'appui est trop grande pour que Ton puisse faire la poutre d'une seule pièce, on assemble les contrefiches aux extrémités d'une sous-poutre placée dans fintervalle DD'(Fig. 1 33). Dans ce cas la sous-poutre et les parties correspondantes de la poutre sont ordinairement liées Tune à l'autre de manière à se fortifier mutuellement. En supposant toujours les parties de la poutre disjointes aux points D , D', on pourra appliquer a ce système tout ce qui a été dit ci-dessus. D convient seulement de remarquer i° que Ton doit avoir égard au poids de la sous-poutre en évaluant les efforts verticaux exercés aux points D, D' ; 2° que la pression longitudinale exercée dans l'intervalle DD' nepeutguères être transmise à la poutre, et doit être supportée entièrement par la sous-poutre. D'où il résulte qu'en appliquant les équations des n°* 58a et 583 , 586 et 587, on doit, dans le premier terme du deuxième membre, mettre pour» l'airede la section transversale de la sous-poutre seule, tandis que l'on peut évaluer dans les autres termes le moment e dans la supposition que la poutre et la sous-poutre résistent ensemble a la flexion , d'après les indications données n OÏ 5o8 et suivans.

590. Lorsque la distance des points d'appui est considérable, on peut employer un système analogue en mettant plusieurs rangs de sous-poutres et de contrefiches (Fi g. 1 34)«

Nous supposons toujours, pour plus de simplicité, les par* ries des poutres et des sous-poutres disjointes aux points D,D„D a ,.... On évaluera facilement les efforts verticaux qui s'exercent sur les extrémités supérièures de chacune des contrefiches, les pressions qui en résultent dans le sens de la longueur de ces pièces, et les pressions qui en résultent également dans le sens de la longueur des sous-poutres. On déterminera la résistance de chaque partie du système d'après ce qu'on a vu dans les numéros précédens.

Les contrefiches pouvant exiger des pièces très-longues, ou formées de plusieurs parties mises les unes au bout des autres, il est nécessaire ici d'en prévenir la flexion, non-, seulement par le moyen des moises pendantes contenues dans le plan de la ferme, mais par des pièces horizontales et inclinées liant les fermes les unes aux autres. L u^ sage des moises pendantes est d'ailleurs nécessité par le défaut de stabilité de l'équilibre, comme on l'a remarqué n° 588.

591. Si l'on supposait, comme cela a été indiqué n* 58 1, les contrefiches maintenues par l'effet d'une tension établie des culées aux extrémités supérieures de ces pièces, on pourrait disposer un système de sous-poutres et de contrefiches de la manière indiquée fig. i35. La solidité de ce système exige que les parties dont chaque souspoutre est formée soient attachées les unes aux autres par des liens de fer, et que les extrémités de ces sous-poutres soient attachées aux culées. Comme il est difficile d'attacher solidement ces pièces à la partie supérieure d'une culée, le système dont il s'agit paraît convenir principalement à un pont composé de plusieurs travées, parce que les deux moitiés des travées adjacentes à une même pile pourraient se faire mutuellement équilibre.

DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 3g I

592. En supposant toujours les joints des parties des poutres et sous-poutres placés aux points D, D t , D a ...,on évaluera facilement, comme ci-dessus, les pressions exercées dans le sens de la longueur de chaque contrefiche, et les tensions supportées par les sous-poutres. Pour régler en conséquence la force de ses dernières pièces, il faut connaître les conditions de l'équilibre d'une pièce qui serait supportée aux deux extrémités, chargée de poids distribués sur sa longueur, et tendue dans le sens de cette longueur.

Chaque moitié de cette pièce peut être assimilée à la pièce AM (Fig. i3o) encastrée horizontalement en A, chargée de poids distribués sur sa longueur, et sollicitée en M par la force verticale P agissant de bas en haut, et par la force horizontale Q , dirigée de manière à exercer une tension dans le sens AB. Nommant

p le poids porté par la pièce sur chaque unité de longueur;

x, y les coordonnées horizontale et verticale Ap,mp

de la courbe AM; a la distance AB ;

f l'ordonnée BM du point extrême; e ayant la signification indiquée o° 80;

l'équation d'équilibre sera

ou , comme Ton a ici P==pa,

en écrivant, pour abréger, ff à la place de ~.

L'intégrale de cette équation est

/- r = Ae *-+Be-»* + -^( a .-*')-^.

À et B représentant deux constantes arbitraires, et e la base des logarithmes hyperboliques. On doit au point A

avoir x— 0,^=0, ~ = 0; et au point B y x =a >y— f;

ce qui donne les trois conditions

d où l'on déduit

f pa* *p / 2 \

et pour l'équation de la courbe,

593. La plus grande valeur de ~£ , qui a lieu au point A, est ^1 — - ^. Q n aura (1 0I]C) comme au

n° 407, pour l'équation servant a régler les dimensions de la section transversale,

dans laquelle on doit substituer pour Q la valeur delà tension longitudinale à laquelle la pièce est exposée.

DE LA MÉCANIQUE, i". PARTIE.

594. Si Ton supposait la courbure de la pièce très-petite, et queTon négligeât en conséquence le terme Qif—J') dans l'équation différentielle, le résultat ne différerait pas de celui qui a été donné n° 583.

595. Si Ton veut maintenant, comme on Ta fait n* 585, considérer le cas où un poids II serait placé sur le milieu de la pièce, on devra conserver à l'équation différentielle la forme générale

dry

et l'intégrale sera

p /a* jt' > \ P

Ae?(«-*) + B e-f (•-•) — £( ax + — )4-— (a — J) —

Les conditions relatives aux points extrêmes donneront

>» « , n pa % , Va tp

doù Ton déduit

^ LE. c ~ qn ^ — / ,/z

i~\ 1 .. a jm I — no ^ / ■

et en substituant dans l'équation précédente,

Pj: — p{ax—\x*) tp c ç»L. e -f» — 2 ^ Q Q 1 * eï--+-e-f

P — pa ci" — e — n« — ei ( -- )-|-e~f Q * ei «-f-e-î- '

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