La plus grande valeur de qui répond k x=so, est

On aura donc, comme ci-dessus, pour l'équation servant à régler les dimensions de la section transversale ,

IV Q .Sj>/ a \ i/{P—pa) et'- e-f

Ë"~Ëi"^"Q~V ei«+e-f«/ + g Q 'ef + e-f'

dans laquelle on doit substituer à la place de Pet Q leurs valeurs , conformément à ce qu'on a vu n Çâ 584 e * 585.

597. L'équation du n° 587 peut être appliquée au cas dont il s agit , lorsque Ton suppose la courbure de la pièce très-petite.

598. Dans les derniers systèmes que Ton vient de considérer, 1 es ex trémi tés des sous-poutres étant a t tachées à des points fixes, l'équilibre est stable, et les moises qui Lent les contrefiches les unes aux autres ne sont utiles que pour prévenir la flexion de ces pièces.

599. La fig. 1 36 indique une autre disposition des contrefiches, d'après laquelle aucune action n'est exercée dans le sens de la longueur des sommiers du plancher. Supposant toujours les parties des sommiers disjointes aux points D, D„D a ...., chacune de ces parties DD',DD t , D,Dj...., résistera à la charge placée dans l'intervalle correspondant du plancher comme une pièce supportée à ses extrémités. Les efforts exercés verticalement aux points D, D f , D a se décomposeront dans le sens des deux contrefiches qui partent de ces points, et produiront sur chacune de ces pièces des pressions longitudinales.

Ce dernier système n'étant point sollicité à changer de

DE LA MECANIQUE, I re . PARTIE. 3^5

figure , quelle que soit la distribution de la charge , pré-* sente par lui-même un équilibre stable. Mais l'emploi des moises pendantes indiquées sur la figure serait nécessaire, en général, pour s'opposer à la flexion des contrefiches, et soutenir le poids de ces pièces en les tenant suspendues aux points D, D,,D»,....

De (action des ponts formés de poutres et de contrefiches sur les piles ou culées.

600. Lorsque les fermes sont formées d'une seule poutre, comme on Ta supposé n° 58o, les extrémités de cette poutre exercent seulement un effort vertical sur leurs points d'appui , effort que l'on évalue facilement d'après les lois de l'équibre du levier.

601. Dans le cas du n° 58 1 , les points d'appui À et A' ( Fig. i3a) supportent chacun un effort vertical égal à l'effort vertical exercé sur les extrémités supérieures D,iy des contrefiches ; et de plus un effort horizontal égal à la pression longitudinale supportée par la pièce DD'. Les points B,B' supportent un effort vertical dû au poids réparti dans les parties BD, B'IK.

Lorsqu'il y a plusieurs contrefiches, l'extrémité inférieure de chacune de ces pièces exerce toujours contre la culée de semblables efforts verticaux et horizontaux. La somme des efforts horizontaux exercés contre chaque culée est égale à la somme des pressions longitudinales supportées par les pièces placées dans l'intervalle DIX (Fig. i34).

Les efforts horizontaux tendent à écarter les culées ; les efforts verticaux tendent à les maintenir sur leurs bases. L'action par laquelle les culées pourraient être renversées est mesurée par la différence des momens des efforts

verticaux et horizontaux , pris par rapport à Taxe autour duquel tournerait la masse de ces culées.

602. Dans le cas du n° 591, les extrémités inférieures des contrefiches exercent toujours contre les culées les mômes efforts verticaux et horizontaux dont il vient d'être question. Mais de plus, la partie supérieure de ces culées, à laquelle les sous-poutres doivent être attachées, est sollicitée par l'effet des tensions longitudinales supportées par ces pièces. La somme de ces tensions horizontales est égale à la somme des pressions horizontales exercées par les extrémités inférieures des contrefiches; et comme les premières forces agissent pour faire tourner la masse de la culée avec des bras de levier plus grands que les secondes , la culée est ici sollicitée à se renverser en dedans.

603. Dans le cas du n° 599 , l'extrémité inférieure de chaque contrefiche exerce contre la culée un effort vertical et un effort horizontal, égaux aux composantes verticale et horizontale de la pression longitudinale supportée par la contrefiche. La somme des efforts verticaux exercés par les contrefiches DA,DÂ' qui parlent d'un même point D est égale à l'effort vertical exercé en D ; et. les efforts horizontaux exercés par ces mômes contrefiches sont égaux entre eux.

604. On peut , clans le système du n° 090 , supprimer toute action horizontale contre les points d'appui, au moyen d'un tirant dont la tension résisterait à la poussée des contrefiches (Fig. i^ 1 ])- Dans ce cas le tirant, suspendu aux poutres et aux contrefiches, supporte ordinairement le plancher du pont (a).

{a) Le pont tic Schaflouse était dispose sur ce principe , aussi bien que le pont de Wettingen , la plus grande arche en charpente qui ait existé.

DE LA MÉCANIQUE, 1 re . PARTIE. O97

Des ponts supportés par des arcs.

Go5. Nous regarderons d'abord les arcs, qui forment la partie principale des fermes dans les ponts de cette espèce (Fig. i38 et 1 39 ) , comme un corps homogène, auquel on peut appliquer les résultats exposés ci-dessus, article VI.

Si le poids de la construction et les surcharges placées sur le plancher étaient distribués uniformément dans l'intervalle BB', la figure qu'il faudrait donner à la pièce courbe, pour qu'elle n'eût aucune tendance à fléchir, serait, conformément au n° 44 2 » un arc ^ e parabole. Dans la réalité les parties situées près des extrémités sont un peu plus chargées que celles qui sont situées au milieu, et on donne ordinairement à ces pièces la figure d'un arc de cercle. Mais, eu égard à l'épaisseur de la pièce et au peu d'amplitude de sa courbure, on peut la regarder comme n'étant nullement sollicitée à fléchir par l'effet du poids delà construction et dune surcharge distribuée uniformément sur le plancher, et supportant seulement une pression longitudinale, dont ou calculera la valeur par les formules des n" 44° e ^ 44 1 • ^ a valeur de Q donne la pression horizontale exercée par l'arc contre les points d'appui.

606. Si , indépendamment d'une charge répartie uniformément sur l'intervalle BB', un poids était placé au sommet C delà courbe, l'arc cesserait d'être en équilibre. On connaîtrait par les n" /fi6 et 4^7 l'action exercée par ce poids pour augmenter la pression horizontale contre les points d'appui , et la pression longitudinale dans les différentes parties de l'arc. On pourrait évaluer ensuite, par le n° 4&>, faction du poids pour faire fléchir l'arc,

398 LEÇONS SUR LAPPLICATIOK

et les plus grands efforts que les parties de cet arc auraient à supporter.

607. Le milieu C de l'intervalle BK n'est pas le lieu où un poids exerce la plus grande action pour fléchir l'arc. Il est donc nécessaire de rechercher les conditions de l'équilibre, en supposant le poids placé en un point quelconque de cet intervalle.

Considérons la pièce courbe MGM' (Fig. 140) formée de deux parties symétriques séparées par l'axe vertical AC, et dont les extrémités M, M', situées sur une même ligue horizontale, sont portées par des appuis qui ne leur permettent pas de s'écarter l'une de l'autre. Si Ton sus* pend un poids ail en un point quelconque N de la pièce courbe, ce poids fléchira cette pièce , obligera le point N à se déplacer, et exercera de certains efforts verticaux et horizontaux contre les points d'appui. Chacune des parties NM , NM' de la pièce se trouvera alors dans Je même état d'équilibre que si , la pièce étant supportée en N par un appui fixe, on avait appliqué aux extrémités M, M' des forces égales aux efforts supportés par les points d'appui. Les déplacemens des extrémités , qui auraient lieu dans ce dernier cas , répondent aux déplacemens du point N qui ont lieu dans le premier. On peut trouver les conditions de l'équilibre de chacune des parties de la pièce en appliquant les formules du n° 448; il faut seulement remarquer qu'ici la pièce étant simplement supportée en N sur un appui , la direction de la courbe en ce point n'est pas déterminée d'avance, comme elle l'est pour une pièce courbe encastrée à l'extrémité supérieure. On nommera

a, b les distances ÀM , ÂC ;

a la distance horizontale CD du point N au sommet de la courbe;

x , y les coordonnées horizontale et verticale des points de la courbe, comptées du point N.

La courbe, supposée de figure parabolique , aurait

pour équation , en comptant les coordonnées du point C , bx*

y=z — . Les coordonnées étant ici comptées du point N, l'équation de la partie NM est jr = — ( a ax -f- x 2 ) , *^ 0 * 1 dx~ "^T ( * "t"* *0 • Substituant ces valeurs dans les formules du n* 44**, où l'on écrira —(a 2 — a 2 ) à la place

de b, et négligeant les puissances supérieures de ^ , il vient pour la partie NM de la courbe

<)— 1 TT-t|]

m étant une constante introduite par l'intégration, et dont la valeur dépend de l'inclinaison que la courbe doit prendre sur l'appui N. On en déduit

' )--?+Hr)?-îl

et en faisant x=a — a pour connaître les déplacemens h et f du point M ,

i 2&r*/5a 4 a z x û'o' ao? <*4 \

Qb/^a s a 4 a # a a 3

Les mômes formules conviendront à la partie NM' de la courbe, en changeant le signe de a et celui de m. Par conséquent, désignant par P, , Q, les forces appliquées au point M', et par h t , f x les déplacemens de ce point, on aura