DO D* IM
Pour b ou
;Vr.-
Moment Mi=jiG'6ôc«=:
\3 fti/c"/
G'Oftc»
Valeurs de
Valeurs de
>i (moins
Tariables).
Même
nomeot
Mi =
li'.40
Valeurs ûe\L'
Plus grand gtissemenl tu milieu
des côtés b
Valeurs de Y
des côtés c
g"«=Yij9
Valeurs de Yi
Limites à imposer à M^
(prendre la plos ptAite des deux.)
Valeurs de!!;
Valeurs de 2hlc*G' Î7 6«G"
N. B. -^ On peut remplacer très*approximatifemenl les colonnes des valeurs de |&,
2tt 2tt c*G'
de -!- et de -^ -— par les formules empiriques :
= 1-0.21008^-^ (l-lî^),î!î== 3 ' A./w,\ 42Ô*G"«'' Y
2ii c«G' __
dont la deuxième donne, quand la contexture est égale, on quand G' = G", T'* =T",
Alt* V-.T.v^
ABT. T. TOBSiON.
(Dd d* IAO).
Gliisementi aux divers points des contours autres que les milieux des câtte. (On en verra Tosage pou la torsion et U flexion simultanées).
Sur les côtés 6; g=g'=rr'fa=tg'^
Pour
âtt ^ — =0 b
Valeurs de i. =: 4«
b ,G" Pour - V -r c ^ G'
Sur les cOlës c; g=g"= — g",
Pour
y" g" Valeurs de ~ = -^r-
b .G" Pour - V -r :
Yi
N. B. — On peut représenter approxlnuLtivement ces résuluts par les formules empiriques
côté k . (hauteur 35 = ^ k^).
Go>*6
Ml = U GA^O = 0,6 . GOJ = ^ = 0,115/170 Gw»0,
36/i SECT. 1. BÊSISTANCfi 0£S SOLIDES.
(Du B* lAO).
g^ = (g aa milieu des côtés) = 1,5 -^6 = 0,A330iA;0 ='Qjrt
g'=0 elg"=g^ (l-^') = ^ (^-^') «^l» côléparaUèle a» r.
lim. Ml = ^T, = 0,8^)^ To = ^T. v^ = 0,175û8T. v^.
•eetioB «irrée enrviligae à mm^l^m Aigns «I eêté«
coBCATe* ^ ôô ^' fièclie , circooscrile à va carré de c6té b^
et formée des deux hyperboles v* — (yS — l)*u' s= '/i^S u« — (y^2 — 1)H;* = V^ 6« (SS 32 et 35).
w = 1,06396% J = 21 = 21' == 0,191536* = 0,16925tii« M, = O,l/i892G6*0 = 0,7783GOJ = O,13172Gw*0,
g« = (g anx milienx B.C des côté-) = y^. - 0 = O«7O7160=A,7&S2 -^ ,
lim. Mj = 0,210626»T, = 0,19193 T. y/^.
0eetioa eairrée earvlllsne 4 aasle* «rroadis
106V+t?«) + 8(M*— 6uV+»*) = 36»(SS 29,32 et 35),
'^ circonscrite aa carré rectiligoe dont le côté est 6.
0) = 1,0318 b\ J = 21= 2r= 0,179356* = 0,16848w«, Ml = 0,1468306*0= 0,8186GOJ = 0,13792G<o«0,
gM = (g aux extrémités B, C des petits diamètres) =1,4 - 0 = 4,7676 -vj ,
lim. Ml = 0,20976 6T« = 0.20013 T.sf?»
fieeU«a e« eroiz de 1IaI(« on ételle à quatre polnies arrondies du hoitième degré ($37), circonscrite 5 ( ^ ^Q ^^^ ^^^^ ^ ^^^ ^ ^^^ moitié de sesdeax grands diamètres
ta) = 1,2202 6», J =21 = 21' = 0,2974 6* = 0,19975 «•, Mi= 0,15983 G6*0 = 0,5374Gej = 0,10735 Ga>»0,
gw = (g aux extrémités des petits diamètres 6) = 1,4754 r ^ = 4»6155 ~~ ,
lim. M, = 0,21676»To = 0,1607 Tv/i?.
ART. T. TOBSION.
(Du D* 16G}.
HocMoA en double •pAtnle analosiie à celle û^un rmkl de chcj^ min de fer; la pins petite lar-
genr C étant le 1/5 = 0,20 de la longneor b de cette seelion ( S 35 , 3*).
w=l,1635f|y, l=0,038/io(|y, l' = 0,46505 ^^V, J=0,37i87u>%
Mj = 0,08M7G ( 2 1 0 = 0,1678 GOJ = 0,06240 Gu)*e,
g« = 0,52750-0 (répondantsur le contour, en E,à;^%(^,^r2-]", ' '/f/^
lim. Ml = 0,16013 | ^ ) T» = 0,12759 T. V^o>».
unvzr-siTY
éme •eetlon ; miU la plus petite largear C = 0,l/i6>{^iyiÂ2.y 3 *« i^ . ^ «0=1,0224^^) , 1-0,0*2783/2) .1'= 0,42564 (^y,J=0,43382w% Ml = 0,0570450 (^)* Û = 0,12712 GOJ = 0,Oj515Gu>«0,
gm = 0,4693 K 0 (répondant sur le contour à u = 0,523 ^j «
lim. Mj =: 0,12283 (^ To = 0,1188Tv/j;?.
SeciloAs d'une Autre ferme.
Si Ton n*a pas le loisir d'appliquer, pour calculer la torsion d'un prisme ayant une section autre que les précédentes, le procédé général du S 38 consistant à déterminer un nombre suffisant de coefficients G de Téquation générale
— ^ + CjU + C, ( )+ — C\i> — =K du S 10
pour qu'elle en représente à très-peu près le contour, on se fera tout au moins une idée de Tordre de grandeur du inoment Mj et de la
limite à lui imposer en calculant, pour la section donnée, le quo-
tient --; du moment dMnertie polaire J par le carré de Taire, et en
SEGT. I. HÊSISTANGE DES SOUDES.
( Du ii« lAO).
Ml ^^ llm. Mt
par analogie et intercalatîon proportion-
nelle» des tableaux récapitulatifs suivants, où les valeurs de ces deux derniers quotients sont mises en regard de celles du premier.
comme le carré, etc. ou aytnl plus géoéralemeot, comme le triangle èquilatéral, elc , leurs momeots d'inertie tous égaui autour de droites tracées sur leur plan par le centre de gratité.
Section eirrâlaira» . ••••••t* ••
Section carrée rectiligne,
Section carrée curnligne à angles arrondis
ffd. à angles aigus. • « • .
Section triangulaire équilatérale
Section en étoile à 4 pointes, du S* degré
rectangulaires principaux.
Rapport -
des denx dimensions ou diamètres principaui.
Rapport -s-
des
moments
d'ineilie
principaux.
Lim* M|
ToV^
Sections elliptiques.
Sections n double spatule du 4* degré ($ 35j.
Ml
cù-i
Go>*0
Lim. M,
ToV^
Sections rectangles.
La section d^ ce genrs répondant i - = i est le
carré à angles arrondis ci-dessus.
De ces tableaux récapitulatifs des résultats obtenus» on peut déduire plusieurs conséquences remarquables.
(Ou D« !&•).
On voit d'abord qu'à égale superficie o> des sections , ou à égale quantité de matière f làrésisiance élastique à la torsion^ mesurée par
le moment M^ , ou, spécifiquement, par le quotient — |g, est d'autant plus petit que le moment d'inertie polaire J ou le quotient —^ est plus grand.
Et il en est de même de la résistance à la rupture par torsion^ me-
lim. Ml surée par lim.M| ou plutôt par le quotient rr~7=f P^^r abstraire
ce qui vient des grandeurs partioullères de T« etto, de même que nous
mesurons Tautre résistance par ^-^ pour abstraire ce qui vient
des grandeurs de 6, de (o et de la torsion 0 et faire ressortir ce qui vient uniquement de la forme de la section.
C*est tout Vopposé de ce que donnait la théorie ancienne, où Ton supposait que les sections restent planes et normales à Taxe de torsion,
et d'après laquelle, par conséquent, *4 était constamment égal à J.
De là on peut déjà conclure que parmi les sections pleines, ou non évidées , c*est la section circulaire qui donne » à égal volume de matière, le plus de résistance; car c'est elle qui, pour même surface, a le plus petit moment d'inertie.
On voit aussi que les grandeurs des résistances spécifiques r~\r et
lim. M| 5
*ir~^ n'ont que peu ou point de rapport avec le quotient - des
deux dimensions; car si, d'une part, on trouve qu'à partir de
- =3 2,5, avec les sections elliptiques et les sections rectangles, les
résistances sont à peu près les mêmes pour mêmes grandeurs de - ,
on peut voir d'autre part que les résistances sont très diflérentes avec diverses sections égales dans les deux sens ou pour lesquelles
- = i constamment.
Ces grandeurs des deux résistances spécifiques ont encore moins
368 SECT. I. RÊSJSTAftCE DES SOUDES.
(Dn D* ISS).
de rapport avec celles du quotient j des moments d'inertie, comme
on peut voir par la comparaison des sections elliptiques avec les sections en double spatule.
Mais on remarque que pour môme grandeur de -^ , les valeurs
M, 'ï™' Wj
soit de — fr , soit de ,-j ne diffèrent guère de plus de 1/10 à 1/5
avec les sections de diverses formes, égales ou inégales dans les deux sens; et une pareille approximation suffit souvent dans la pratique. C'est ce qui motive la règle que nous venons d'indiquer pour acquérir une idée du degré de résistance d'un prisme dont la section a une forme donnée quelconque , que Ton aura soin de comparer avec la forme la plus analogue mentionnée au tableau, susceptible d'acquérir de plus en plus d'utilité à mesure qu*on y ajoutera de nouveaux résultats de calculs exacts faits sur des sections d'autres formes.
S Al- Torsion des prismes creux. Courbes de glissement ou d'action transversale sur une section pleine ou évidée quelconque, — Ce qui vient d'être donné n'est relatif, avons nous dit, qu'aux prismes ou cylindres pleins.
En faisant usage de prismes creux ou de sections émdées^ il est clair qu'on augmentera à la fois, pour même superficie, le moment dinertie et le moment de torsion^ ainsi que les deux espèces de résistance M^ et lim. M,.
La torsion des prismes creux est facile à calculer si le contour de la section intérieure ou d'évidement a la même équation
^L±JL 4- Citt+C,(tt«-c')-h 4-C> + =Kdu s 10
ou S-? + 5-7? + ....= K' du S 39 que le contour de la section ex-
térieure, à cela près de la grandeur du second membre K ou K', ou
si les coefficients C^ , C, C\ du premier membre sont les
mêmes ; si , par exemple , les contours sont deux cercles concentri^ ques^ deux sections elliptiques semblables ^ etc. En effet si , sur le plan de la section d*un prisme on cylindre dont
le contour est représenté par Tune ou Tautre de ces équations relatives aux cas d'égale et d'inégale contexture, on trace les diverses courbes intérieures au contour qui ont la même équation à cela près de la valeur ûqK ou K', on a ce qu'on peut appeler, sur la section , dans le cas d'égale contexture, les courbes de glissement^ et, dans le cas plus général, les courbes d^ action transversale^ auxquelles les directions des glissements g= v/g'*H-g"* ou des actions
\/(G'g')*+ (G"g")*. dio sont partout tangentes ; car, en ne pariant que du cas plus général qui comprend l'autre, comme les expressions de g\ ^' du S 39 en u, v, ne contiennent pas K', elles sont les mêmes, pour un point (u, r) quelconque, que si la section avait pour contour celle de ces courbes qui passe par ce point; et comme K' disparaît quand on dilTérentie l'équation 5-74-5-7, + ... =K' de ces
courbes pour en tirer le rapport ^, la condition du même $ 39
g'V dv G"g^^du — G'g'dv = 0 ou —7^ = -j- est satisfaite sur toutes ces
G g du
courbes comme sur celle qui sert de contour à la section, en sorte que l'action résultante de G'g'dco, Gg^'dco leur est tangente ou n'a aucune composante dans le sens de leurs trigectoires orthogonales. Or il en résulte bien qu'en supposant le prisme ou cylindre creusé suivant une de ces diverses courbes, prise pour base du cylindre intérieur ou d'évidement, la condition d'une pression nulle ou normale comme celle de l'atmosphère sur sa surface latérale sera remplie du côté intérieur comme du côté extérieur si les plans des sections ont pris la forme courbe déterminée par la même équation ( S 10) z = 0 [Cl» + C, . 2Mt? + ... + C> + C,(u« — V») + ... ] , ou (S 39)
z = Ov^gV' [ ] que s'il s'agissait de la torsion de l'un ou de l'autre cylindre supposé plein.
D'où il suit qu'alors :
l*" Le moment de torsion M^ a simplement pour valeur la difiTérence de celles qu'il aurait pour le cylindre extérieur et pour le cylindre intérieur supposés pleins, ou son expression est celle
Mt = oer dw(u*+t?'+ .. 0 du S 16 ou M| = G Ve Tdcu f îf^ + ~ 4. . . . j 1. U
370 SËCT. I. RÊSlSTANCii DES SOLIDES.
(Du Qo 150).
do» dans retendue co des sections, contenue entre les contours extérieur et intérieur.
2"*' Les points dangereux seront sur le contour de la section du cylindre extérieur précisément aux mêmes endroits que sMl avait été tordu plein, ce qui donne facilement le plus grand glissement prln-
T cipal gm dont la limite est à égaler à -^ si la contexture est égale
dans tous les sens transversaux ; ou les glissements composants g', g''
/g'k'N" /o"g"\* rendant un maximum le binôme ( -^ I + ( -^^ ) dont la limite
esl à égaler à 1 ($ 39) si la contexture est inégale, mais symétrique par rapport aux plans rectangulaires principaux.
Exemples :
fieetl«B eireaUiro évidée d'an iayAn on eylliàdrè ercttx.
Rayons extérieur et intérieur r «t r' = r «— e«
Vr^âP
M, = G;: !^^~^ 0 = G8J = 0,15915 / ^ ^- — i\ Ga>«e,
\r""2r« / g (an eoDlooi extérieur) s g^» s Or,
lixn. M, = î: i-jT- To = p To = 0,2821 /-^— ^- Tov/<«|^
N. fi. On voit le grand arantage de réTidement, si - rst petit.
lidttie 0e«tl#a p«ër le «■• d'Inégale eoatëxtdr» (fomiilei se éédnisant du cas de la section elliptique en faisant 6 = c 3= 2r, b' s=:c' zs 2r')
AKl. V. TOUSION. 371
(OU n* idtt).
lim. Ml = la plus petite des deni quantités 7: — T^o ^^ ^ — s '^ '«
Secllon elll|itiqae évidée. €•• d^lnéc»le eontextnre.
Axes, ou diamètres principaux exléneurs 6, c; intérieurs 6', c'; -r = -.
lim,Mi = la pins petite des deux quantités U — — j !L|^To' = (^+ Tr)^^'^"»
La figure des %% 30 et 83, p. 806 et 813^ donne deux exemples de séries de courbes dont chacune pourrait être prise pour contour extérieur de la base d*un cylindre creux eu choisissant à volonté pour contour intérieur Tune de celles qu'elle enveloppe» sans cesser de satisfaire à la condition énoncée ( p. 369) de simplicité des expressions du moment M^ et de sa limite*
Aucune courbe intérieure n'est géométriquement semblable à la courbe extérieure, excepté quand leur degré ne passe pas le secondi c'est-à-dire quand ce sont des cercles ou des ellipses.
Si Vètsidement n'a pas lieu suivant des courbes obtenues ainsi de réquation $ 10 ou S 39 en ne faisant varier que le second membre K ou K\ si 9 par exemple, le contour extérieui* n'étant pas circulaire , Y épaisseur ou la distance des deux contours est constante ^ on n'a aucun moyen de calculer exactement la torsion.
Mais on peut la calculer approximativement lorsque cette épaisseur est peu considérable , en assimilant la surface ;r =: [ .. ...] des SS 10 et 39, et, par suite, les glissements g', ^' et Texpression du
moment M| = \ do) [ ] des §§ 16 et 39, à ce qtfion datait pour
un prisme plein dont la section serait limitée par une courbe
[Du n* ««•).
(racée à égale dUlance des deux coîtfourt donnét, et en ne calculant toiLJouis les Intégrales \ qu'entre ces contours.
Par exemple, pour un tuyau à section elliptique dont le grand et le petit aie sont b, c mesurés &u milieu de son épaisseur e coa- Etante et supposée très-petite , on peut prendre , si la conteituix;
transversale est égale en tous sens, les expressions ($ 23J
«, = =»^ï^. ..= ^'. -M,=2^if T.,
I et l'étant les moments d'inertie, autour des axes b, c, de la couronne comprise entre tes contours extérieur et intérieur, en sorte que
, c'(36+c) + eV3c+t) ,, fc*(3c + 6)+eM36 + c) I = rt. âô • '="« ^ '
d'où, su1)3titnant et négligeante' devant
(ù + cr
■'(ft + c)
S ù3. Torsion etjtexiott iiimtUanées, atec ou sans une dilalaiioti ou contraction longitudinale et un cisaillement traruversal. — Une pièce est simplement tordue lorsqu'elle n'est sollicitée que par des forces se réduisant, & chacune des extrémités, à un couple perpendiculaire à sou axe supposé rectiligne.
Mais elle est en même temps fléchie lorsqu'il y a aussi un couple parallèle à l'axe de la pièce; ou bien si, comme la pièce AB encastrée en A , elle est sollicitée & une extrémité B par une force transversale unique P agissant à une certaine distance Bc de son axe (voyez plus loin ce cas traité complëtemeot); et, plus généralement, si les forces sollicilantss ont des résultantes transversales ou ne font pas couples , ce qui arrive pour tuus les arbres tournants tels que a'a" transmettant le mouvement
(Do n* iftS).
«• < dans les machines, et qui sont
sollicités par des forces P, P' agis-
Té» \r\ fà) s*^* ^^^ ^®"^ roues d'engrenage
ou deux poulies de courroie, et , aussi, par les réactions de leurs coussinets d'appui.
Ces résultantes transversales produisent, en même temps, des glissemenis latéraux de sections Tune devant l'autre , comme ceux qui ont été considérés aux notes des n"*' 153, 15^, et qui, variables d'un élément db> à l'autre, s'ajoutent aux glissements constituant la torsion. Nous dirons quelquefois que la pièce est cisaillée (*) par Taction de ces forces , bien que leurs effets de glissement n'aillent pas jusqu'à la séparation latérale des parties.
Enfin si , en outre , les forces extérieures ont des composantes totales dans le sens longitudinal^ la pièce éprouve en même temps une extension ou contraction générale dans ce sens, accompagnée, comme nous savons, de contractions ou dilatations dans les sens transversaux (S 6 note du n* 3, S 3 note du n" 21.)
L'effet total, quant aux déplacements des points, s'obtiendra sans difficulté au moyen du principe de composition du $ 2 de la note du n* 21; car on n'aura qu'à regarder la pièce comme éprouvant à la fois la torsion, la flexion, l'extension, les glissements latéraux ou le cisaillement, dus à chaque couple et à chaque résultante partielle supposés agir isolément, et à composer ensemble, pour un point quelconque, les déplacements qui en proviennent, et qui doivent être petits pour que ce principe soit applicable.
C'est ce que nous avons déjà fait au S A de la note du n** 153 , où nous avons déterminé Isijlèche complète due à la fois à une flexion et un glissement latéral.
S U^* Condition générale de cohésion permanente ou de résistance à la rupture éloignée , pour ces cas complexes, — L^établissement de cette condition demande une attention plus particulière, mais
(0 ce qoe Tb. Young ippclalt deiruéled, (Voy. $ 4, note n* 159^ et lous-note du $ t de la oote du n* 156.)
rentre dans remploi de formules comme celles qui ont été démontrées aux S$ 1 et 9 de la note du n** 15/i.
Ces formules , dressées pour la résistance aux effets composés d*un glissement latéral et d'une extension longitudinale accompagnée de contraction transversale , ont déjà reçu des applications aux §S Zi à 9 de la note citée, pour des cas même où il y avait aussi nnejlexiont es qui vient de ce que la flexion consiste dans des dilatations et contractions inégales des diverses fibres. Nous pouvons aussi les appliquer quand il y a simultanément une torsion, puisque la torsion consiste de même dans des glissements de diverses directions et grandeurs sqr les éléments des sections.
Rappelons donc , en supposant en premier lieu, comme à la note citée du n** ibkf que la matière est d'égale contexture en tous sens, et en na^mant, comme au $ i de cette note ( p. 316)» pour un point quelconque ou un élément dtû d'une section eu d*un prisme»
g le glissenient principal ou résultant ;
t la dilatation longitudinale (positive ou négative) de la fibre dont la base est cet élément (Z(o ;
k = Tii = T^ t les contractions transversales qui en sont une eon*
séquence lorsque les faces latérales ne supportent aucune action normale, comme on le suppose ; contractions égales dans tous les sens transversaux quand la contexture est égaljB;
ii la dilatation qui résulte, dans une direction obliqi^e quelconque,
^'^ de ces trois sortes de modifications ;
qu'Ole a, en ce môme point pu pour ce môme élément c^ :
Maximum da i, =r i^ i + ^ [^p i^\l^' , (>)
(>) Depuis que ce qui pKcëJe rsl imprim/^, M. le général Poncelct a bien voulu nous conmuuiquer lea feuilles ioédiles du Cours de Mécanique physique et Indiifr Irielle professé par lui à la Faculié des sciences de Paris en 1839. En citant arec sa bienTeillance accoutumée nos feuilles lithographiées de 4837-1838 où se trouve eelte formule Maiimom d« f| =: . . . . , l'illustre académicien en a donné une démoDStratioo parement géométrique et élégante qu'on nous saura gré de rapporter
(Du n» 1511).
et par conséquent , vu que limite de ij = ^^ = ^ — ( môme $iÛQ
E 2G la note n* 15/i, p. 217), on a , en multipliant par |î- = =r i
Limite
'-^hs/i'pïï-i^y--
C'est,en faisant ï) = -, ou ^ =: ^ , ^ = g, l'équation de
çQbésion permanente de la matière d'un prisme d'égale oontoi^ture à la fois tordn, fléchi, étendu ou comprimé, et cisaillé ou soumis i^ des efforts transversaux tendant à séparer ses parties par glisse-^ ment des sections les unes devant les autres.
n convient, avant nos nouvelles applications, d'étendre cette équation aux cas de contexture inégale.
Elle reste , d'abord , la même, avec un nombre ï]| un peu différent
ici à peu de chote prèf , et qui pourrait être substituée à celle ^u $ 1 de la note dunM»4.
Soit, comme i ce g (p*949), ftinqp la coupe, par le plao du glif • cernent y, d*uue portion de fibre avant les déplacements des points du solide; et loit, après, mçi 11 si* luaiion et la grandeur prises par la diagonale mq en vertu :
1o De 14 dilatation longitudinale t' qui, seule d^abord, aurait fait nb»« miner g de çr = t X ^^ ^^^^ "° ^^"^ parallèle i mn;
2* De la coniraclion transversale h qui aiirait fait cheminer g et r de qz=:rr' = A X ^9 dans un sens parallèle i gn;
3» Du glissement g qui, ensuite, aurait fuit cheminer r' de r'q^ = g X m» dans un sens parallèle i nq.
L'allongement, supposé petit, éprouvé par la diagonale mq, est g^, si t est le pied de la perpendiculaire abaissée de q^ sur mq prolonge. Le rapport àj de cette ligne g< A ifig est la même chose que le rapport de if à oin, W étant la perpendicu* laire abaissée de t sur nq prolongé. Comme mn est supposé constant quelle que soit riocljnaisoo de la diagonale mg, le problème de la direction à donner à cette dia-
ttf gonale pour que la proportion t^ = — de sa dilatation soit un maximum, est
fiifi
de rendre la distance Uf la pins grande possible. Or, en prolongeant r'z jusqu'en s
à la rencontre de mg on a ar' mr' + sz= (t + A) mn puisque iz est i garsAXn^
comme mn est i ng. Et comme on a aussi r^qi == g X ^^^ on voit que les lonr
376 SECT. I. nÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du n* fê%].
de 7) = 1/4, Ji /a contexiure est égale dans les divers sens transver» sauXf et autres eulement dans le sens longitudinal, comme cela arrive dans les corps fibreux.
£n effet , et sans chercher ici & construire une démonstration toutà fait élémentaire pour ce cas plus général que celui de la note du n* ISA, prenons la valeur établie au S i de cette note (p. 217),
do la dilatation t\ suivant une ligne oblique dont la direction quelconque est donnée par les projections x, y, d*une de ses por> tiens =r 1 sur la fibre et sur la section ta ; en sorte que
Et appelons
i\ la limite à imposer à cette dilatation i| , limite qui varie avec sa direction^ ou qui est fonction dex, y ;
^ ( comme au S i3 de la note du n" 113 ) la valeur particulière de
gucors des côtés tr^, r^q^ du triangle sr'qi soDt iDdépeDdaots de la direcUon de mq. En décriYant une circonrérence de cercle sur l'hypolhénuse sq^ comme dia<* mètre, le point f, comme le point r', s'y trouve placé ; la plus grande Yaleur if s'obtiendra donc en prenant la distance, à nq prolongé, du milieu x de l'are r'Ifi, ce qui peut se faire en projetant le centre o du cercle .en o' sur la corde sr* et
ajoutant zo' =:-cr'-»iz au rayon o« =-«9}. Le plus grand rapport de tt' à «iii
est donc - (t + A} — ft + - y (t + *}* + gs, et on a, par conséquent
Mtxlanm de t| =
ou la formule à démontrer, en remplaçant k par t|«.
On voit également que si on joint «e, l'angle xsr' donne la valeur de l'angle ar^qmn qui rend la dilatation de mq la plua grande possible. Cet angle arar' est la moitié de
l'angle qytr' dont la tangente est -^. Done on a, si l'on veut déterminer l'inclî-
naison de la ligne mq suivant laquelle la dilalaUon dn solide est la ploi grande :
""«'»= if*'
eiprossion conforme à ce qu'on obtient par dlfférentiation comme on a dit au haut de la page S48.
(Du D* 150).
cette limite t'i pour le sens transversal ou pour xr= 0, ^=1» de même que -^ est sa valeur pour le sens longitudinal des
fibres ou pour y = 0» a; = 1.
La condition de cohésion permanente sera que t'i ne surpasse i\ dans aucune direction, ou que
Maximum de -^ = ou < !•
11 faut faire (comme au % 39) une hypothèse sur la loi inconnue de variation de la limite i\ entre ses valeurs extrêmes -^ pour y =0
et -=r pour x= 0 ; elle doit être telle que cette limite i\ reste la
même pour les diverses directions également obliques sur les fibres, ou pour des valeurs soit de x soit de y égales au signe près. Adoptons en conséquence Texpresslon très-simple
qui donne pour la limite des dilatations une loi elliptique comme celle des dilatations elles-mêmes» ou comme celle des moments d'inertie d*une même figure plane autour de diverses droites qui y sont tracées. Nous aurons, en posant la condition de maximum du
quotient 4 :
d . ./- = 0 ou t 'jdî, — ijdt'i = 0 ;
et, substituant à tj, i\ leurs valeurs dans les dilTérentîelles di'i, dî*!,
xdx puis remplaçant dy par en vertu de x* + y* = 1 :
I'. (sit + Sto-g^ + gy)dx-t.(2 I x-2 ^ i)dz= 0,
équation qui, divisée par xdx, peut être écrite
»',(2ti« + giy)-2J, l'x» t',(-2*y» + giy)-2.-, ^ y» ? = yi ' •
378 8ECT. I. RÊSISTAMCB DBS SOUDBS.
(Du n* 150 ].
Elle exprime Tégalité de deux fractions, qui seront aussi égales & une troisième fraction ayant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs. Cette dernière somme est x* + y' = i ; et la somme des numérateurs est nulle, car elle revient, diaprés les valeurs de i, et i\ en j, y, à
Chacun des deux numérateurs esc donc égal aussi à zéro, d'où les deux équations
En les multipliant Tune par Tautre, x ety s'éliminent et on obtient réquation du second degré en 4- '
Vi Ro/ Vt Roi/ ■" R, Roj 4 qui donne, en la résolvant
Cette quantité ne doit pas excéder Tunité comme on vient de dire.
Or il en résulte , dans le cas particulier i = 0, A: = 0 où il n*y a
ni dilatation longitudinale ni contraction transversale de la fibre,
l = ou> l\/^=^-, d'Où
Limite de g
Comme nous désignons déjà par -^ cette limite du glissement g quand il est seul, noug pouvons, sous le radical, remplacer le dernier terme par f •;p j • Il en résultera, en faisant toujours k = r,t, et posant
la condition de cohésion permanente
(Du n* 1511).
Limite
'-^hVWWWf'^-
ne différant, comme on voit, de celle de la page 375 que par 7]| au Heu de n.
Remarquons bien que le 1" membre, ou le rapport -^ qu'i) s'agit
* 1 de limiter et de rendre au plus = 1» est une quantité essentielle-
ment positive. Or le radical , plus grand que —^ =-- numérique-
ment ou abstraction faite du signe, excède numériquement à plus
forte raison — s-^* ^ puisque ri^ est supposé toujours positif. Il faut
' 2 Ko
donc (comme on a dit déjà $ 2 de la note n"" iSU) prendre toujours 'positivement la quantité que le radical représente; et, ceia, quel que soit le signe de i , ou soit qu'il y ait longitudinalement dilatj^tion proprement dite ou contraction; en aorte que quand g= 0,
on doit mettre pour ce radical -~îi z^ ou — -~^ ^ selon que i
est positif ou pégatif .
Supposons enfin que la contexture soit inégale même dans les divers sens transversaux, mais, comme au $ 39, sjrmétrique en chaque point par rapport à trois plans rectangulaires dont Tun est celui de la section passant par ce point, etc. Nous poserons,
g' et g'' étant toujours les glissements suivant les deux autres plaQS de symétrie sur la section,
-f , ~ étant comme au § 39 les limites respectives à imposer au
glissement g' quand il est seul et au glissement g^ quand il est
seul,
réquation générale de cohésion permanente
Lîmiui *-"*î* ^**4-i //i + ^^EA', (<^'Sy, [O'^S'Y^ 4 /radical tou-U
ou , en chassant le r^ic^l
(Du n* 15^).
équation qui redonne et relie ensemble avec continuité toutes les équations de cohésion particulières ; car
1* Elle se confond arec celle du haut de la page précédente lorsque G' =G"= G, T,' = T". = T.;
2* Lorsque i = 0» elle rentre dans celle (S 39) du cas où il n*7 a que des glissements g', g^' :
3* Lorsque ceux-ci au contraire sont nuls, elle donne, si i est positif ou représente une dilatalion proprement dite
Lim. » = Y •
U* Lorsque, g' et g'' étant encore nuls et la contexture transversale égale, i est négatif = — j, ou lorsqu'il rCy a qu'une contraction longitudinale j avec les dilatations latérales qui en sont la conséquence, cette équation devient, en rendant encore positif le
terme provenant du radical : Lim . "T^* . ^^^ -h —^ . ~ =1, ou
Lim. ; = -«-.
Or, d'après la valeur de ce que nous venons de représenter par v]|i on a
ïli B "" E. RoE "n K«*
ce qui est la même chose que
si Ton appelle, comme aux notes des n*^ 3 (S 9} et 113 (SS !x^ 6, 10, 13), R • la limite à imposer aux efforts longitudinaux de compression par unité de section ii> du prisme; car, d*après le S 13 de cette dernière note (p. 109), on doit prendre, théoriquement
(Du no 160).
et, par conséquent, -^', que la formule générale nouvelle- fient de
R nous donner pour y, représente bien la limite •— ^ imposer aux
contractions longitudinales j pour le cas d'égale contexturc dxins les sens transversaux (*).
5* Enfin lorsque cette contraction longitudinale^ a lieu pour un prisme de contexture transversale inégale mais symétrique, cas où il faut prendre
R' \ / la plus petite des deux
Limite — des 1 1 . « « »
E > = { r.A i Ku i Rot,
( J quantités -— et — •=—
coQtncUoDs loDgitudioales ] ( lu Eu 1v Ev
(^Ittf R<»u 9 ^ivf R»v» Ev, E« , étant les Taleurs de 7}, R,, E pour les sens U, v) ,
rien n'empêche de faire, dans la formule précédente, le nombre r^
égal au rapport do -=? à cette limite — quelle qu'elle soit, ou de
E Ci
faire généralement , pour tous les prismes :
{}) c'est entièrement k M. Poncelet qu'est duc Tidée ai simple et si naturelle d'expliquer la rupture par comprettion longitudinale au moyen des dilatation* tran*vertale9 que cette compression occasionne, et, par suite, de prendre tlièori-
quement — = - =î 4 pour le rapport des Umiles des efforts de compression et Ro H
d'extension auxquels on peut soumettre sans danger d'une manière permanente un prisme dont la matière est isotrope ou d'égale contexture en tous sens; sauf k modifier ce rapport (§§ 8 et 43 des notes des n** 3 et 413) en raison des circonstances dont la théorie ne tient pas compte, celle entre autres qui empêche la matière des prismes courts soumis k une compression de se dilater en toute liberté dans le sens latéral, ainsi que II. Poncelet l'a également obscrjré.
On peut se rappeler que nous avions attribué à M. le capitaine du génie Uichon (§$ 3 et 8 delà note du n"* 3) cette théorie de l'écrasement, qui est bien plus conforme aux faits que celle de Coulomb, et qui rentre ioéviiablement dans la théorie générale, constamment appliquée et dérivant du principe généralement admis du
§ i de la néme note du n* 3 ; en sorte que le rapport — ? = donné au $ 4 3
R« Ti E( R«
de la note du n* 443^ où cette théorie est étendue aux prismes de contexlor^
fibreuse, a dû se retroufer en particularisant la formule générale donnée tout i
rbeure, et susceptible ainsi d'embrasser tous les modes de solUcitaiion k la
rupture. riy^f^
La communication récentb des feuilles manuscrites du cours de M. Poncelet
en 4839 i la Faculté nous met à même de faire cette rectification. U. Miehon ayait
reçu la même communication et reconnaiiMii y aroir puisé les bases de son
cours, comme nous avons dit*
362 SEGT. 1. BÉSlStAJSCE DES SOUDES.
{Du 0*160).
et la formule donnera encore lim.^' = -^ pour le cas extrême où
il n*y a qu'une contraction longitudinale^' ^ -^i, aveo les dilatations latérales inégales qui en résultent , et dont nous n'avons pas besoin de considérer les grandeurs t)^;, r^^j.
Par cette substitution, à y)|, du rapport de R« à R',, Téquation générale de cohésion , ou de résistance à la rupture éloignée sous les divers genres d'efforts agissant ensemble, devient
revenant, en transposant et élevant au carré, à :
Les nombres R» et R'o devront y être déterminés pour chaque matière comme on a dit aux notes du n"" 2i ($ 12, p. ^U à 26) et du n' 3 (S 9, p. 12, 13), mais surtout à la note du n" 113 (§S 10 & là, p. 103 à 115) , où Ton a bien remarqué qu'il ne faut pas faire varier
autant le rapport ^=ni des résistances permanerites k l'extension
Ko
et à la compression longitudinale, que le rapport ^ fourni par les
expériences entre les résistances instantanées ou les charges capables de produire la rupture immédiate par traction et par écrasement. Il ne faudra généralement pas faire ce rapport ni au-dessous de Vs i^i au-dessus de Vr
Or, on verra au $ û5, par un tableau de résultats numériques plus nombreux que ceux qui ont été rapportés vers la fin du S 1 de la note du n** iSli , que la formule donne pour des valeurs de r^i
ou g^ entre les limites V, et V,, à très-pei^ près la môme chose
qu en adoptant généralement V^ comme quand la matière est iso-^ trope. On peut donc, dans l'équation de cohésion»
(Du D* 1511).
2\R, n'.l 2R« StijR'o 2\Ro^R'»/ 8IU StijR'o
mettre - -- ^^ ô ^ qoand le danger vient plus des
o Ro o Rq
extensions que des compressions longitudinales;
«* 3 r7- <>t 3 ;w" q^iM* te danger tient plus des
compressions que des extensions.
Au reste la formule de la page précédente se prête à toutes les suppositions sur Bo et R'».
J àA* Équation de cohésion ou formule générale de résistance permanente rendue plus immédiatement applicable en y introduisant lef forces extérieures tendant à fléchir et à étendre ou coni* primer la pièce, et en séparant les effets de celles qui tendent à la cisailler et à la tordre. — Si l'on appelle
Q, F, F' les résultantes partielles ou sommes de composantes des forces extérieures dans le sens longitudinal et dans les sens transversaux des coordonnées u, v prises parallèles aux axes du plus petit et du plus grand moment d'inertie I = Jv'dc» , r =- lu^db} de la section co , directions qui sont aussi supposées celles des lignes de rencontre du plan de la section avec les deux autres plans de symétrie de contexture du solide,
M|, M\ M'' les sommes de moments des forces extérieures autour de r&xe longitudinal passant par les centres de gravité des diverses sections, et autour des axes transversaux d'inertie u^ v de la section particulière c»,
g, g'^ les glissements dans les sens t/, v, sur un élément (f<o, qui sont dus à la torsion seule, ou à Faction du moment M|,
S'tt ^\ 1^ glissements dus, dans les deux mômes sens, aux efiforts de cisaillement ou aux actions simultanées des deux forces transversales P', F^ (dont chacune peut produire des glissements dans les deux sens);
On aura (un peu plus généralement qu'au S 6 de la note du n* ibU (p. 2^6) où nous avons déjà considéré un cas complexe de cisaillement avec extension et flexion simultanées) l'expression suivante
88& SEGT. I. BÉSISTANCB DES SOLIDES.
(Do D* 16e).
de la dilatation longitudinale de la fibre dont les coordonnées transversales sont u, V :
Ew ^ El ^ El' '
car le premier terme représente bien ce qui vient de la seule force de traction ou de compression longitudinale Q ; et les deux autres peuvent être déduits de ce qui a été dit au $ 2 de la note du n* 83 où W et M'' étaient désignés par M cos 9, M sin 7, et, les deux parties de la dilatation qu'ils produisent, par — ^-i-i, — 5î5Jl. Mais,
sans invoquer ce S» nous pouvons, directement, considérer que s'il n'y a qu'une flexion et si elle s'opère autour de Taxe d'inertie de tt) parallèle aux t/, i désignant la dilatation de la fibre particulière qui en est la distance v, M sera (note du n° 80] la dilatation d'une autre fibre quelconque dont appellerait v^ la distance au même axe, et Ei-^dco sa résistance élastique; d*oà, pour l'équilibre
de rotation autour des deux axes principaux d'inertie, u^ étant la distance de la même fibre quelconque au deuxième, les deux équa-
tions M' = jEi 2l dta .V, = ~ Ju\dw = El -, et M" = 0 puisque
^u^c^dm = 0; en sorte que lorsque le moment M' agit seul on a
jkÊf bien i=:^v ou le second terme. De même quand M" agit seul ou
a t= le troisième terme, et la dilatation totale, -en vertu du principe de composition ($ 2, note n" 21) a bien l'expression que nous venons d'écrire.
En la substituant à i dans la formule du $ précédent et en y mettant g'i + g', g", + g" au lieu de g', g" qui désignaient , à ce S» les glissements totaux, on a
( Du D« 160).
OU
Nous DO pouvons pas mettre pour les glissements g'p g'',, g', gf\ comme nous avons fait pour les dilatations t, des expressions générales fonctions des forces extérieures et de u, t-, et indépendantes de toute particularlsation de la forme du contour des sections co; si ce n'est toutefois pour quelques sections du prisme qui peuvent se trouver dans la situation exceptionnelle considérée au $ 10 de la note n« 152 (p. 203), à la fin du S 1 de la note n" 153 et au S 6 de la note n** ibU , c'est-à-dire pour celles qui sont astreintes à rester planes, comme les sections à encastrement complet de M. Vicat, scellées et soudées avec une matière plus rigide que celle du prisme, ou les sections qui se trouvent serrées et sollicitées latéralement dans leur plan même par des forces tendant à trancher, ainsi quMl arrive aux rivets, ou aux bases des prismes tordus de longueur nulle (comme dit aussiM.Vicat); ou, enfin, lessections qui , d'après le mode de sollicitation symétrique des deux portions de prisme qu'elles séparent, n'ont aucune raison de s'infléchir plutôt d'un côté que de l'autre. On a, en effet, pour ce cas rare, ou pour les sections ainsi placées, quelle que soit la forme de leur contour:
g' = — Or, g" = Oîi, Mi=J Ju)(G''g''tt-G'g^i?) = 0(G'I + GT),
en sorte qu'on peut éliminer les g comme les i ; et les deux derniers termes (G'— )• + (G"—)* sous le radical sont pour ces sections particulières, lorsqu'il en existe :
T'.« \a> G'I -h G"l7 "^ TV \tù^^ G'I + G"l7 •
Pour toutes les autres sections des prismes, qui peuvent librement se gauchir et s'infléchir, les expressions des glissements composants e\ , g", , g', g" en fonction de M^ , de F, de P" et
386 SECT. I. BÊSISTANGE DES SOUDES.
(Du n« tftH].
des coordonnées des points, dépendent de la forme du contour.
Celles de g', g^^sont données à la récapitulation faite, S 40, des formules de torsion seule, et nous allons donner ou rappeler, aux SS suivants à5 et 46, celles de g', , g^'^ , ou des glissements de cisaillement dont on 8*est déjà occupé à la note du n* 153.
L'élimination de g', ^' d*une manière générale se fait cependant encoro lorsqu'on se contente d'une approximation telle que celle qui résulte de Vassimilation {$ 24) de sections données, inégales dans les deux sens, à des ellipses ayant mêmes moments d'inertie, quant au gauchissement que la torsion donne à leurs plans, supposés ainsi se changer en paraboloîdes hyperboliques dont Téquation est ($$ 21 et 39) :
a; = — 6 -p wr.
On a, en effet (S 40, p. 360) pour les glissements qui en résultent
en sorte que si pour tenir compte, aussi par première approximation, <l6 g\ , g^\ ou des effets de cisaillement ordinairement négligés, on les
suppose partout égaux à leurs valeurs moyennes 777-, r;;;-, les deux
Ijr (1) Ij Ct)
derniers termes sous le radical prennent la forme
plus simple que celle qu'on a posée au bas de la page précédente et qui est cependant bien moins approchée, quant à la torsion , que celle qu'on vient d'écrire, lorsqu^on l'applique à toutes les sections (et non pas seulement à des sections exceptionnelles) comme font les auteurs qui ne prennent pas en considération le changement des plans des sections en surfaces courbes (<).
" ' ■ * ■■"■ I ■ ■ ■Maini.M.i I ^. Il ,
(') G'Mfc Mir cette double première apprexioMUoD, ou eur l'adoption, d^ râleurs
(Du n» 150}.
Mais rassimilation à Tellipse, quant à la torsion et aux glissements g' , ^' qui lui sont dus , ne donne pas ordinairement des résultats assez approchés.
Et les glissements de cisaillement g',^ ^\ dus aux forces transversales F, V sont loin d'avoir des grandeurs constantes pour tous les points de chaque section , car ils s'annulent sur diverses
parties du contour, et ils excèdent, par suite» vers le centre,
p/ p// leurs moyennes ^, ^^ , comme on a vu aux $$ l et 2 de la note
du n*" 153 et comme on va le montrer avec plus de détail aux deux $$ suivants. I4 substitution des expressions exactes de ces divers glissements dans Téquatlon de cohésion rendrait généralement impossible la recherche analytique du maximum de la quantité qui en occupe le premier membre.
Heureusement quMl n'est pas nécessaire d'exprimer analytiquementg'i, ^\^ ni même g', g^ en fonction des coordonnées v, v
4 /p' làxV\ K /p" ll,tl\
-77 ( Y ) » ?v ( *" ^^ "^ ) P**"' '•• «Wisemeatt toirn ttUDués panUé*
lement tut axes prioeipaox 4'fnertie des aectioDS^ qu'ett fondée une partie de ce que noui afons donné à un Mémolfe présenté à TAcadémle et approuvé en 4843, les 30 octobre, 6 et ^7 nOYCmbre : 5ur U CàtctU de la réêistùnce et de la flexion des pièceê solides à simple et à double courbure en prenant timultanèment en considération les divers efforts auxqaeU elles peuvent être sonmites dans Ums les êenSf et dont les extraits, réunif â diTerses notes (Comptes rendus des séances, L XVII, p. QitH, 10)0, 4480, 4S3i, et XIX, p. 40, 81 ), ont été publiés en 4844 sous le titre : Mémoires sur la résistance des solides.
On obtient^ par cette supposition , une approximation néêessalrement bien plus grande qn*en attribuant aux plans des aeetions ime simple mcUnaison sans fouchissement, ainsi que nous avions fait en 4837 dans un premier travail (Leçons litbograpbiées], et qu'il vient d'être fait dans un Cours imprimé en 4859, et dont Tauteur considère aussi (au moins sous le rapport 4e leur déformation ou dti déplacements de leurs points), des piéeea courbes soUîeitées simultanément de diverses manières. Nos formules générales qui donnent les déplacements dus à cette action compjexe (4843, Comptes rendus t. XVn^ p. 40t4, ferm. 48 et SO), et qui ont été vérifiées par divers géomètres de l'AUeinagne ainsi que les considéraiioos propres à déterminer les constantes [id.^ p. 40S7] , sont d'ailleurs faciles à modifier dans le sens de nos nouvdies recherches, de manière à les débarrasser de la double hypothèse de rineurration paraheloTdale ei des glisse* menls eonstaals, coame on le verra aux notes de U section IV où nous nous occuperons de la flexion non plane ^ qui est toi^ours accompagnée de torsion i
388 S£GT. I. RÉSlSTAiNGE DES SOLIDES.
(DU n* 150 ).
pour trouver le point dangereux où a lieu la plus grande valeur de cette quantité positive (p. 379 et ZSU) *
2 Ro^'' V.2B, 2R',A o> 1 r y '
qui donne déjà le maximum du rapport ^ (S A3, p. 378} relatif aux
•diverses directions en chaque point, et dont il s*agit maintenant de trouver le maximum maximorum ou relatif aux divers points, afin d'exprimer son égalité à 1 au plus. La situation de ce point où a lieu
le plus grand rapport -4- des écartements moléculaires à leurs li-
mites, lorsque la recherche analytique ne peut en être entreprise, peut s'obtenir, comme on verra, par un t&tonnement numérique fondé
sur le calcul des dilatations longitudinales! ou des valeurs de ±: - +
-r- + -^-f et des glissements g', g'j, etc., en un nombre suffisant
de points des sections ou de leur contour, et sur leur substitution dans ce preAiier membre dont le maximum ne doit pas dépasser Tunité, ou, plus simplement, dans Texpression rationnelle
dont le maximum est astreint à ne pas dépasser zéro.
Il est entendu que lorsqu'on pourra faire cette recherche analytiquement on ne se bornera pas à prendre ce qu*on obtient en égalant à zéro la différentielle de Tune des expressions dont on veut avoir le maximum. On examinera si les valeurs ainsi trouvées ne sont pas étrangères, comme répondant à des points hors des sections; et, en tous cas, on les comparera avec celles qui répondent aux valeurs limites des coordonnées u, v^ et qui donneront trèssouvent le véritable maximum , comme on en a vu un exemple au S 32 pour un cas de torsion seule.
On est même dispensé de rechercher le point dangereux, et 11 s'indique de lui même, dans des cas où les plus grands dangers de rapture par les seuls glissements g, et par les seules dilatations t, ont lieu au même endroit ; car c'est là que se trouve évidemment le point
(Du no 150).
dangereux si (1— ïii)i y est positif, puisque, alors, — ^^ 5- + V^ • somme de deux quantités positives, augmente constamment, soit
Fi Fi
avec ^ ou — T)j -- , qui sont les valeurs qu'il prend lorsque les glis-
r" ) "^ v"t^) ^^ ^^ ^® carré de la valeur qu'il prend lorsque la dilatation i est nulle.
Et, si (1 — T)i)i est négatif, soit qu'il y ait contraction ^ ou soit qu'on suppose R'o plus petit que R. — tjjR', , on verra par les exemples ci-après du cylindre circulaire et même du cylindre elliptique ou du prisme rectangulaire sollicité à fléchir à plat et non de champ en même temps qu'à tordre et & se contracter, que la détermination du point dangereux se réduit ordinairement alors au choix entre deux points seulement du contour.
S /i5. Valeurs approchées et quelquefois suffisantes des glissements de cisaillement g'^, gf\ dus aux forces transversales P', P". Raisons de leur défaut d'exactitude. Égalité et simultanéité constante des glissements longitudinaux et des glissements transver^ ^oux.— -Nous allons compléter ici, ainsi qu'au $ suivant, ce qui a été dit, à la note du n** 153, de ces sortes de glissements, sur lesquels l'attention des constructeurs commence à se porter d'une manière plus particulière, principalement depuis la publication d'un travail intéressant de M. Jourav^ , ingénieur russe , sur les résistances que les matériaux doivent opposer à la rupture sous les eiTorts qui les produisent ('}•
Dès 1837 (*), et ensuite à un mémoire d'octobre 18A3 C), nous avons défini les glissements et leur mesure, & peu près comme on a vu au S 3 de la note ci-dessus du n** 152 (*) ; et nous avons calculé,
(') Remarquée tur la rétUtance éPun carpi prUmaiique et âfune pièce composée^ eic,^ à une force perpendiculaire à leur longueur ^ par M. Jonravski, Ueutenant-colonel du corps des Ingénieurs des voies et communications de Russie. — Annale» dee ponte et ehauttéeif cahier de novembre et décembre 4 SIM (qui a paru dans le courant de 1857).
(*) Leçons [lithographiées] de mécanique à VÈc, des ponts et ch. (art. 6 et 7).
^) Comptes-rendus des séances de V Académie, 4843, t. XVII, p. 944.
(^) Nous n'avons pas fait mention , i cette note, du mémoire de H. Jouravskl ,
390 SEGT. I. RfiSISTANCB DES SOUDES.
(Du n« tIM).
en i854 Oi par une analyse rigoureuse, la grandeur de ceux qui sont toijjours développés dans la flexion des prismes par des forces transversales ne faisant pas couplea Mais il est bien évident, sans calcul, qu'un glissement dans Tintérieur d*un corps qui se déforme a toujours lieu à la fois et également sur deux droites matérielles perpendiculaires entre elles ; car ce qui le constitue c'est le chan^ gement de leur angle droit en un angle légèrement aigu, et ce qui le mesure c'est (môme note) le petit rétrécissement de cet angle, ou la prqjection sur Tune quelconque des deux droites, de l'unité de longueur portée dans la direction de Tautre après ce changement. Toutes les fols donc qu'il y a glissement sur une section, parallèle* ment it une droite qui y est tracée, ou que deux sections glissent l'une relativement à l'autre suivant cette droite , il y a glissement égal sur des fibres qui leur sont perpendiculaires, ou glissement , Tune devant l'autre, de ces fibres comprises dans un plan parallèle à là même droite.
Nous avons observé aussi, il y a quelques années 0, que la rupture produite par un glissement dépassant une certaine grandeur s'opérait naturellement dans la direction où elle éprouve le plus de facilité & s^accomplir, en sorte que, dans les bois par exemple, au lieu d'une séparation transversale des tranches, il y a plus sou* \Bnt fente longitudinale ou séparation des fibres.
C'est de celle-K^i , ou de la séparation des fibres par glissement les unes sur les autres^ que s'occupe M. Jouravski.
Il commence par cette remarque judicieuse ; que si deux prismes rectangulaires égaux A et B, horizontaux et encastrés du même côté O, sont simplement superposés, ils ne supporteront ensemble, k l'extrémité libre M, jusqu*à rupture ou danger de rupture, qu'un
parée que oot quttorie premières feuilles (p. 4 à SS4 ) éulent. déjà imprimées et oflértes à dlTers saTtnls à l'époque où ce mémoire a<élé connu.
(1) MétHoin tur la flexion des prismes et sur les glistements transversaux et longitudinaux quiVaccompagnentf présenlé le 30 novembre 4854 et lu avec un complément le 30 Juillet 4855 (Compi«« rendus, t. XXXIX p. 4097, et XL p, U3), et Inséré au Journal des matkématiçues pures et appliquées au commencement de 4S56, t. 1*' de la %• série.
f^) Mémoire sur la torsion des prismes, etc., lu é TAcadémle le 43 Juin 4853 (Savants étrangers, t. XIV) art. 38 et 83.
(Du n* iJM).
poids P moitié moindre que s'ils étaient empêchés de gUsser Tun sur a c l'autre ou s'ils ne faisaient qu'un seul et
|n A J même prisme ; car, a désignant leur lon-
— -- — |M gueur OM, b leur largeur commune, c leur B I h.anteur ab ensemble, R, la plus petite des
|:::*:;--i!L-*:;::i d«« »'»'»«« ' ^poeer rune aux tensions,
l'autre aux pressions longitudinales des fibres par unité de section, on a (n* li5) s
bc*
S'ils sont unis, Pa = R« -z*
b /cN* bc* 'ils sont séparés et sans adhésion sur leur laoe de oontaot OM, Pa = 2.Rp z ( ^ ] =Ri>tâ' «
d'où l'on yolt, dit-il très-bien» que Vadhèsion latérale deijibres^ ou leur résistance au glissement longitudinal, ^'oua un rôle impor-tant dans la résistance des solides à la rupture par des efforts per^' pendiculaires à leur longueur (')•
Il évalue l'effort qui tend à vaincre cette adhésion sur une longueur quelconque oM= a — a; de la face de jonction OoM des deux moitiés supérieure et inférieure du prisme unique de hauteur c, en remarquant que cet effort doit être égal à la somme des tractions qu'exerce la partie de gauche Ooa sur la partie de droite ooM de la moitié supérieure du solide h travers la moitié oa de la section aob située ^ la distance Oo == x de l'encastrement ; car cette égalité est nécessaire h l'équilibre de translation horizontale de la partie ooM, de même que la nullité de la somme algébrique des tractions positives et négatives à travers toute la section aob est nécessaire à l'équilibre de toute la partie du prisme à sa droite. Or, v représentant toujours Tordonnée d'un élément superficiel quelconque de la section aob par rapport à la médiane ou ligne des fibres invariables 0, et R la tension par unité de 'section des fibres supérieures
en a, qui répondent à t;=:^, la traction sur l'élément est il ^
(*) Cette obserraUon tTâit d^A été dite en 4767 par Duhamel du Monceau ( Du transpart et de la force dee boiê, in-4*, p. 44 6-44 7).
(Du n« IMI).
multiplié par sa surface, et la somme des tractions est ainsi
R, — .bdv = JI-T-c ti
Mais comme on a pour le moment de flexion, autour de o ; P(a-.x)=f* R,^béb.v=zR.^ = R^,
on peut éliminer R^ ce qui donne pour la même somme de tractions à travers oa, ou pour reflfort égal s*exerçant horizontalement sur la portion de face intérieure oM :
Il est, comme Ton voit, proportionnel à la longueur a — x de cette portion de face. M. Jouravsici , un peu plus loin , le regarde aussi comme proportionnel à la superficie ou le suppose également réparti sur la largeur de la pièce comme on voit qu*il Test sur la Ion • gueur ; ce qui donne pour la mesure, par unité superficielle, de cet effort tendant à séparer par glissement longitudinal les deux moitiés A et B du prisme
2bc'
Et , sur une face longitudinale LmN située & la distance v de la ligne des fibres invariables, Tefibrt analogue doit être, pour une longueur mN =:a— z, afin que amN soit en équilibre de translation horizontale , égal à la somme des tractions s^exerçant à travers la
